1 Les vecteurs
 1.1 Conventions d’écriture
  1.1.1 Notation des vecteurs et de leurs composantes
  1.1.2 Convention de sommation
  1.1.3 Sommation sur plusieurs indices
  1.1.4 Symbole de Kronecker
  1.1.5 Symbole d’antisymétrie
 1.2 Généralisation de la notion de vecteur
  1.2.1 Exemple de vecteurs
  1.2.2 Propriétés des opérations sur les vecteurs
  1.2.3 Autres exemples de vecteurs
  1.2.4 Définition générale des vecteurs
  1.2.5 Structure d’un ensemble
 1.3 Bases d’un espace vectoriel
  1.3.1 Exemples de vecteurs indépendants et dépendants
  1.3.2 Vecteurs de base
  1.3.3 Décomposition d’un vecteur sur une base
  1.3.4 Changement de base
 1.4 Produit scalaire
  1.4.1 Exemple de produits scalaires
  1.4.2 Définition du produit scalaire
  1.4.3 Expression générale du produit scalaire
  1.4.4 Vecteurs orthogonaux
  1.4.5 Bases orthogonales d’un espace vectoriel pré-euclidien
  1.4.6 Norme d’un vecteur
 1.5 Espace vectoriel euclidien
  1.5.1 Définitions
  1.5.2 Bases orthonormées
  1.5.3 Composantes contravariantes et covariantes
  1.5.4 Expression du produit scalaire et de la norme
  1.5.5 Changement de base
  1.5.6 Bases réciproques
  1.5.7 Décomposition d’un vecteur sur les bases réciproques
  1.5.8 Produits scalaires des vecteurs de base
 1.6 Exercices résolus
2 Exemples de tenseurs euclidiens
 2.1 Changement de base
  2.1.1 Composantes covariantes du tenseur fondamental
  2.1.2 Produit tensoriel de deux vecteurs
 2.2 Propriétés de changement de base
  2.2.1 Tenseur d’ordre deux
  2.2.2 Combinaisons linéaires de tenseurs
  2.2.3 Tenseur d’ordre trois
 2.3 Exemples de tenseurs en Physique
  2.3.1 Tenseur d’inertie
  2.3.2 Tenseur vitesse de rotation instantanée d’un solide
  2.3.3 Tenseurs des propriétés des milieux anisotropes
 2.4 Exercices résolus
3 Algèbre tensorielle
 3.1 Tenseur d’ordre deux
  3.1.1 Introduction
  3.1.2 Exemple de tenseur : produit tensoriel de triplets de nombres
  3.1.3 Propriétés du produit tensoriel
  3.1.4 Définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels
  3.1.5 Expression analytique du produit tensoriel de deux vecteurs
  3.1.6 Éléments d’un espace produit tensoriel
  3.1.7 Produit tensoriel de deux espaces vectoriels identiques
 3.2 Tenseurs d’ordre quelconque
  3.2.1 Produit tensoriel de plusieurs vecteurs
  3.2.2 Produit tensoriel d’espaces identiques
  3.2.3 Classification des tenseurs
 3.3 Produit scalaire
  3.3.1 Produit scalaire d’un produit tensoriel par un vecteur de base
  3.3.2 Produit scalaire d’un tenseur par un vecteur de base
  3.3.3 Produit scalaire de deux tenseurs de même ordre
  3.3.4 Composantes d’un tenseur pré-euclidien
  3.3.5 Expression du produit scalaire
  3.3.6 Tenseurs euclidiens d’ordre quelconque
 3.4 Bases d’un espace produit tensoriel
  3.4.1 Bases réciproques
  3.4.2 Composantes des tenseurs pré-euclidiens
  3.4.3 Tenseurs d’ordre quelconque
  3.4.4 Changement de base
  3.4.5 Critère de tensorialité
 3.5 Opérations sur les tenseurs
  3.5.1 Addition de tenseurs du même ordre
  3.5.2 Multiplication tensorielle
  3.5.3 Contraction des indices
  3.5.4 Multiplication contractée
  3.5.5 Critères de tensorialité
 3.6 Tenseurs particuliers
  3.6.1 Tenseur symétrique
  3.6.2 Quadrique représentative d’un tenseur symétrique
  3.6.3 Le tenseur fondamental
  3.6.4 Tenseur antisymétrique
  3.6.5 Produit extérieur de deux vecteurs
 3.7 Groupes ponctuels de symétrie
  3.7.1 Symétrie d’un cristal et de ses propriétés physiques
  3.7.2 Effet de la symétrie sur les tenseurs
 3.8 Exercices résolus
4 Espaces ponctuels
 4.1 Espace ponctuel pré-euclidien
  4.1.1 Exemple d’espace ponctuel
  4.1.2 Définition d’un espace ponctuel
  4.1.3 Repères d’un espace ponctuel pré-euclidien
  4.1.4 Distance entre deux points
  4.1.5 Dérivée d’un vecteur
  4.1.6 Notation des dérivées
 4.2 Coordonnées curvilignes
  4.2.1 Systèmes de coordonnées
  4.2.2 Coordonnées rectilignes
  4.2.3 Coordonnées sphériques
  4.2.4 Coordonnées curvilignes
 4.3 Repère naturel
  4.3.1 Définitions
  4.3.2 Repère naturel en coordonnées sphériques
  4.3.3 Changement de coordonnées curvilignes
  4.3.4 Élément linéaire d’un espace ponctuel
 4.4 Exercices résolus
5 Analyse tensorielle
 5.1 Symboles de Christoffel
  5.1.1 Tenseurs sur un espace ponctuel
  5.1.2 Problèmes fondamentaux de l’analyse tensorielle
  5.1.3 Symboles de Christoffel en coordonnées sphériques
  5.1.4 Définition des symboles de Christoffel
  5.1.5 Détermination des symboles de Christoffel
  5.1.6 Changement de base
  5.1.7 Vecteurs réciproques
  5.1.8 Équation des géodésiques
 5.2 Dérivée covariante
  5.2.1 Transport parallèle
  5.2.2 Dérivée covariante d’un vecteur
  5.2.3 Dérivée covariante d’un tenseur
  5.2.4 Propriétés de la dérivée covariante d’un tenseur
  5.2.5 Dérivée covariante seconde d’un vecteur
 5.3 Différentielle absolue
  5.3.1 Différentielle absolue d’un vecteur
  5.3.2 Dérivée absolue le long d’une courbe
  5.3.3 Différentielle absolue d’un tenseur
  5.3.4 Théorème de Ricci
  5.3.5 Symboles de Christoffel contractés
 5.4 Opérateurs différentiels
  5.4.1 Vecteur gradient
  5.4.2 Rotationnel d’un champ de vecteurs
  5.4.3 Divergence d’un champ de vecteurs
  5.4.4 Laplacien d’un champ de scalaires
 5.5 Exercices résolus
6 Espaces de Riemann
 6.1 Exemples d’espace de Riemann
  6.1.1 Surfaces à deux dimensions
  6.1.2 Disque tournant
  6.1.3 Espace de configuration
 6.2 Métrique riemannienne
  6.2.1 Notion de variété
  6.2.2 Définition des espaces de Riemann
  6.2.3 Métrique euclidienne et riemannienne
  6.2.4 Conditions nécessaires pour qu’une métrique soit euclidienne
 6.3 Propriétés géométriques
  6.3.1 Métrique euclidienne tangente en un point
  6.3.2 Propriétés géométriques déduites des métriques euclidiennes tangentes
 6.4 Propriétés différentielles
  6.4.1 Métrique euclidienne osculatrice
  6.4.2 Espace euclidien osculateur
  6.4.3 Différentielle absolue et dérivée covariante des tenseurs
  6.4.4 Transport parallèle
  6.4.5 Géodésiques d’un espace de Riemann
 6.5 Déplacement le long d’une courbe
  6.5.1 Développement d’une courbe
  6.5.2 Déplacement associé à un cycle
  6.5.3 Expression du déplacement associé à un cycle
 6.6 Tenseur de Riemann-Christoffel
  6.6.1 Détermination du tenseur de Riemann-Christoffel
  6.6.2 Composantes covariantes
  6.6.3 Système de coordonnées normales
  6.6.4 Propriétés de symétrie
  6.6.5 Première identité de Bianchi
  6.6.6 Composantes indépendantes
 6.7 Courbure Riemannienne
  6.7.1 Le tenseur de rotation en fonction du tenseur de Riemann-Christoffel
  6.7.2 Courbure riemannienne
  6.7.3 Tenseur de Ricci et courbure scalaire
  6.7.4 Seconde identité de Bianchi
  6.7.5 Tenseur d’Einstein
 6.8 Exercices résolus