On a vu, dans le cas d’un espace de Riemann à deux dimensions, que le déplacement associé à un cycle élémentaire se réduit à une rotation autour de l’origine $M$ du cycle. Si l’on appelle $\text {d}\sigma $ l’aire délimitée par le cycle et $\text {d}\Phi $ l’angle de cette rotation, comptée positivement dans le sens de parcours du cycle, on peut écrire :
\begin{equation}
K=\dfrac{\text{d}\Phi}{\text{d}\sigma}
\tag{6.7.1}
\label{6.7.1}
\end{equation}
La quantité $K$ est appelée la courbure riemannienne de l’espace de Riemann au
point $M$. Pour une sphère, la relation (6.5.17) montre que la courbure riemannienne est
égale à $1/R^{2}$.
La notion de courbure riemannienne se généralise à un espace de Riemann quelconque à $n$ dimensions et s’exprime en fonction du tenseur de Riemann-Christoffel.
Évaluons les composantes mixtes $\Omega ^{l}_{i}$ du tenseur de rotation infinitésimale :
\begin{equation}
\Omega^{l}_{i}=\text{d}\mixescomponents{l}{i}(\delta)-\delta \mixescomponents{l}{i}(\text{d})+\mixescomponents{k}{i}(\delta)\,\mixescomponents{l}{k}(\text{d})-\mixescomponents{k}{i}(\text{d})\,\mixescomponents{l}{k}(\delta)
\tag{6.7.2}
\label{6.7.2}
\end{equation}
en fonction des symboles de Christoffel. La quantité $\text {d}\mixescomponents {l}{i}(\delta )$ qui figure dans le membre de droite de l’expression (6.7.2) s’écrit :
\begin{equation}
\text{d}\mixescomponents{l}{i}(\delta)=\text{d}(\sgammaeq{k}{l}{i}\,\delta u^{k})=\partial_{m}\,\sgammaeq{k}{l}{i}\,\text{d}u^{m}\,\delta u^{k}+\sgammaeq{k}{l}{i}\,\text{d}\delta u^{k}
\tag{6.7.3}
\label{6.7.3}
\end{equation}
Un calcul similaire donne l’expression de $\delta \mixescomponents {l}{i}(\text {d})$, d’où par soustraction de ces deux quantités :
\begin{equation}
\text{d}\mixescomponents{l}{i}(\delta)-\delta \mixescomponents{l}{i}(\text{d})=\partial_{m}\,\sgammaeq{k}{l}{i}\,\text{d}u^{m}\,\delta u^{k}-\partial_{m}\,\sgammaeq{k}{l}{i}\,\delta u^{m}\,\text{d}u^{k}
\tag{6.7.4}
\label{6.7.4}
\end{equation}
Par échange des indices de sommation $m$ et $k$ dans le dernier terme de la relation précédente, on obtient :
\begin{equation}
\text{d}\mixescomponents{l}{i}(\delta)-\delta \mixescomponents{l}{i}(\text{d})=(\partial_{m}\,\sgammaeq{k}{l}{i}-\partial_{k}\,\sgammaeq{m}{l}{i})\,\text{d}u^{m}\,\delta u^{k}
\tag{6.7.5}
\label{6.7.5}
\end{equation}
D’autre part, les deux derniers termes qui figurent dans l’expression (6.7.2) nous donnent :
\begin{equation}
\mixescomponents{k}{i}(\delta)\,\mixescomponents{l}{k}(\text{d})-\mixescomponents{k}{i}(\text{d})\,\mixescomponents{l}{k}(\delta)=(\sgammaeq{s}{k}{i}\,\sgammaeq{r}{l}{k}-\sgammaeq{r}{k}{i}\,\sgammaeq{s}{l}{k})\,\text{d}u^{r}\,\delta u^{s}
\tag{6.7.6}
\label{6.7.6}
\end{equation}
Finalement, l’expression du tenseur de rotation s’écrit :
\begin{equation}
\Omega^{l}_{i}=(\partial_{r}\,\sgammaeq{s}{l}{i}-\partial_{s}\,\sgammaeq{r}{l}{i}+\sgammaeq{s}{k}{i}\,\sgammaeq{r}{l}{k}-\sgammaeq{r}{k}{i}\,\sgammaeq{s}{l}{k})\,\text{d}u^{r}\,\delta u^{s}
\tag{6.7.7}
\label{6.7.7}
\end{equation}
Le tenseur de Riemann-Christoffel apparaît dans la relation précédente :
\begin{equation}
\Rcontraeq{i}{l}{r}{s}=\partial_{r}\,\sgammaeq{s}{l}{i}-\partial_{s}\,\sgammaeq{r}{l}{i}+\sgammaeq{s}{k}{i}\,\sgammaeq{r}{l}{k}-\sgammaeq{r}{k}{i}\,\sgammaeq{s}{l}{k}
\tag{6.7.8}
\label{6.7.8}
\end{equation}
d’où l’expression du tenseur de rotattion :
\begin{equation}
\Omega^{l}_{i}=\Rcontraeq{i}{l}{r}{s}\,\text{d}u^{r}\,\delta u^{s}
\tag{6.7.9}
\label{6.7.9}
\end{equation}
Les quantités $\text {d}u^{r}$ et $\delta u^{s}$ étant les composantes contravariantes de deux vecteur quelconques et les quantités $\Omega ^{l}_{i}$, les composantes mixtes d’un tenseur, il en résulte que les quantités $\Rcontraeq {i}{l}{r}{s}$ sont bien les composantes mixtes d’un tenseur d’ordre quatre, une fois contravariante et trois fois covariantes.
Le déplacement associé à un cycle élémentaire se réduit à une rotation d’un angle $\text {d}\Phi $ dans
le cas d’un espace de Riemann à deux dimensions. Cette rotation s’exprime à l’aide du
tenseur de rotation $\Omega ^{l}_{i}$ pour un espace de dimension quelconque.
La notion de courbure riemannienne se généralise alors de la manière suivante. Considérons un espace de Riemann de métrique $g_{ij}$ ; en un point $M$ quelconque définissons un ensemble de deux vecteurs $\mathbf {u}$ et $\mathbf {v}$, de composantes contravariantes respectives $u^{i}$ et $v^{j}$. Par définition, la courbure riemannienne $K$ en ce point est :
\begin{equation}
K(M ; \beq{u},\beq{v})=\dfrac{R_{ijkl}\,u^{i}\,v^{j}\,u^{k}\,v^{l}}{(g_{pr}\,g_{qs}-g_{ps}\,g_{qr})\,u^{p}\,v^{q}\,u^{r}\,v^{s}}
\tag{6.7.10}
\label{6.7.10}
\end{equation}
La courbure riemannienne dépend non seulement du point où l’on se place mais
également de la direction considérée dans l’espace.
Si la courbure riemannienne en un point $M$ ne change pas avec l’orientation de la direction en $M$, alors $M$ est appelé un point isotrope. On démontre que la courbure riemannienne, en un point isotrope, est donnée par :
\begin{equation}
K=\dfrac{R_{ijkl}}{g_{ik}\,g_{jl}-g_{il}\,g_{jk}}
\tag{6.7.11}
\label{6.7.11}
\end{equation}
On en déduit alors de le théorème de Schur qui montre que si tous les points d’un
certain voisinage d’un point $M$ sont isotropes, et si la dimension de l’espace de Riemann est
supérieure ou égale à 3, alors la courbure $K$ est constante dans ce voisinage de
$M$.
Espaces plats - Un espace euclidien pouvant être rapporté à un repère orthonormé,
tous les symboles de Christoffel sont alors nuls et par suite la courbure d’un espace
euclidien est nulle. Réciproquement, on démontre que si la courbure riemannienne
est nulle en tout point et si la métrique est définie positive, alors l’espace est
euclidien.
Un espace de Riemann est appelé un espace plat si l’on peut trouver une transformation des coordonnées qui permettent de mettre l’élément linéaire de cet espace sous la forme standard d’un espace pré-euclidien :
\begin{equation}
\text{d}s^{2}=\pm\,\text{d}x^{i}\,\text{d}x^{i}
\tag{6.7.12}
\label{6.7.12}
\end{equation}
Un espace de Riemann est plat si et seulement si sa courbure est nulle en tout
point.
Espace à deux dimensions - Nous allons voir que tous les points d’un espace de
Riemann à deux dimensions sont isotropes.
L’expression de la courbure donnée par (6.7.10) se réduit, pour un espace à deux dimensions, à :
\begin{equation}
K=\dfrac{R_{1212}}{g_{11}\,g_{22}-g_{12}^{2}}=\dfrac{R_{1212}}{g}
\tag{6.7.13}
\label{6.7.13}
\end{equation}
On a vu en effet que le tenseur de Riemann-Christoffel, pour un espace à deux
dimensions, ne comporte qu’une seule composante indépendante non nulle (relation
(6.6.23)). La courbure est indépendante de la direction et tout point d’un espace à deux
dimensions est donc isotrope.
Considérons à présent une surface de l’espace ordinaire et un point $M$ sur cette surface. Rapportons celle-ci à trois axes rectangulaires ayant le point $M$ pour origine. L’axe $Mz$ est normal à la surface et les axes $Mx$ et $My$ sont des droites de l’espace euclidien osculateur en $M$. Dans ce cas, on a vu que l’élément linéaire de la surface est donné par la relation (6.4.13), à savoir :
\begin{equation}
\text{d}s^{2}=(1+p^{2})\,\text{d}x^{2}+(1+q^{2})\,\text{d}y^{2}+2\,p\,q\,\text{d}x\,\text{d}y
\tag{6.7.14}
\label{6.7.14}
\end{equation}
avec $p=\partial \,z/\partial \,x$, $q=\partial \,z/\partial \,y$. Notons $r, s, t$ les dérivées partielles du second ordre, soit $r=\partial \,p/\partial \,x$, $s=\partial \,p/\partial \,y$, $t=\partial \,q/\partial \,y$.
Calculons la courbure de cet espace au point $M$ où l’on a $p=q=0$. Les quantités $g_{ij}$ sont données par l’élément linéaire (6.7.14) et l’on a $g=1$ au point $M$. Le calcul de $R_{1212}$ donne :
\begin{equation}
K=R_{1212}=rt-s^{2}
\tag{6.7.15}
\label{6.7.15}
\end{equation}
Si l’on choisit pour axes des $x$ et des $y$ les tangentes principales en $M$, on obtient, en ce point :
\begin{equation}
r=\dfrac{1}{R_{1}}\,\,\,\,;\,\,\,\,t=\dfrac{1}{R_{2}}\,\,\,\,;\,\,\,\,s=0
\tag{6.7.16}
\label{6.7.16}
\end{equation}
où $1/R_{1}$ et $1/R_{2}$ sont les deux courbures principales. On a donc :
\begin{equation}
K=\dfrac{1}{R_{1}\,R_{2}}
\tag{6.7.17}
\label{6.7.17}
\end{equation}
Le produit des deux courbures principales est appelée la courbure totale de la surface. Par suite, la courbure riemannienne d’une surface est, en un point donné, égale à sa courbure totale. C’est Gauss qui, le premier, a démontré que la courbure totale d’une surface ne dépendait que de son élément linéaire.
La contraction du tenseur de Riemann-Christoffel $\Rcontraeq {i}{k}{r}{s}$ par rapport aux indices $k$ et $r$ conduit au tenseur :
\begin{equation}
R_{is}=\Rcontraeq{i}{k}{k}{s}=\partial_{k}\,\sgammaeq{i}{k}{s}-\partial_{s}\,\sgammaeq{i}{k}{k}+\sgammaeq{i}{l}{s}\,\sgammaeq{k}{k}{l}-\sgammaeq{i}{l}{k}\,\sgammaeq{s}{k}{l}
\tag{6.7.18}
\label{6.7.18}
\end{equation}
Le tenseur $R_{is}$ est appelé tenseur de Ricci et nous verrons qu’il entre dans les équations de la relativité générale. Ses composantes mixtes sont données par :
\begin{equation}
R^{i}{}_{j}=g^{ik}\,R_{kj}
\tag{6.7.19}
\label{6.7.19}
\end{equation}
On obtient également le tenseur de Ricci ou son opposé, en contractant le tenseur $\Rcontraeq {i}{k}{r}{s}$ par
rapport aux indices $i$ et $r$, ou $k$ et $s$.
Par suite des propriétés de symétrie du tenseur de Riemann-Christoffel, le tenseur de Ricci est symétrique. Pour le démontrer, effectuons une contraction sur les indices $k$ et $r$ en utilisant l’expression de $\Rcontraeq {i}{k}{r}{s}$ en fonction de ses composantes covariantes et en se servant de la propriété (6.6.19) :
\begin{equation}
R_{is}=\Rcontraeq{i}{k}{k}{s}=g^{kj}\,R_{ijks}=g^{kj}\,R_{ksij}
\tag{6.7.20}
\label{6.7.20}
\end{equation}
Les propriétés (6.6.17) et (6.6.18) de permutation des indices appliquées au dernier membre de (6.7.20) nous donnent :
\begin{equation}
R_{is}=g^{kj}\,R_{ksij}=g^{kj}\,R_{skji}=\Rcontraeq{s}{j}{j}{i}=R_{si}
\tag{6.7.21}
\label{6.7.21}
\end{equation}
Le tenseur de Ricci permet d’obtenir par contraction la courbure de Ricci ou scalaire de courbure, noté $R$ :
\begin{equation}
R=g^{ij}\,R_{ij}=R_{i}{}^{i}=R^{j}{}_{j}
\tag{6.7.22}
\label{6.7.22}
\end{equation}
Bianchi a obtenue une première identité (6.6.22) entre les composantes covariantes du tenseur de Riemann-Christoffel. Une seconde identité de Bianchi est obtenue par dérivation covariante de $\Rcontraeq {i}{l}{r}{s}$ en coordonnées normales. Dans ce système de coordonnées, les symboles de Christoffel de $\Rcontraeq {i}{l}{r}{s}$ sont tous nuls mais pas leurs dérivées :
\begin{equation}
\nabla_{t}\,\Rcontraeq{i}{l}{r}{s}=\partial_{rt}\,\sgammaeq{s}{l}{i}-\partial_{st}\,\sgammaeq{r}{l}{i}
\tag{6.7.23}
\label{6.7.23}
\end{equation}
Une permutation circulaire sur les indices $t$, $r$ et $s$ de la relation (6.7.23) nous donne :
\begin{equation}
\nabla_{r}\,\Rcontraeq{i}{l}{s}{t}=\partial_{sr}\,\sgammaeq{t}{l}{i}-\partial_{tr}\,\sgammaeq{s}{l}{i}
\tag{6.7.24}
\label{6.7.24}
\end{equation}
\begin{equation}
\nabla_{s}\,\Rcontraeq{i}{l}{t}{r}=\partial_{ts}\,\sgammaeq{r}{l}{i}-\partial_{rs}\,\sgammaeq{t}{l}{i}
\tag{6.7.25}
\label{6.7.25}
\end{equation}
L’addition des trois relations précédentes, compte tenu de l’interchangeabilité de l’ordre des dérivations, conduit à :
\begin{equation}
\nabla_{t}\,\Rcontraeq{i}{l}{r}{s}+\nabla_{r}\,\Rcontraeq{i}{l}{s}{t}+\nabla_{s}\,\Rcontraeq{i}{l}{t}{r}=0
\tag{6.7.26}
\label{6.7.26}
\end{equation}
D’après leur forme tensorielle, cette seconde identité de Bianchi est valable dans n’importe quel système de coordonnées et en tout point de l’espace de Riemann considéré.
Effectuons une première contraction sur l’identité (6.7.26) pour $t=l$, il vient :
\begin{equation}
\nabla_{l}\,\Rcontraeq{i}{l}{r}{s}+\nabla_{r}\,\Rcontraeq{i}{l}{s}{l}+\nabla_{s}\,\Rcontraeq{i}{l}{l}{r}=0
\tag{6.7.27}
\label{6.7.27}
\end{equation}
En tenant compte de la définition (6.7.18) du tenseur de Ricci et de l’égalité $\Rcontraeq {r}{l}{s}{l}=-\Rcontraeq {r}{l}{l}{s}$, on obtient :
\begin{equation}
\nabla_{l}\,\Rcontraeq{i}{l}{r}{s}+\nabla_{s}\,R_{ir}-\nabla_{r}\,R_{is}=0
\tag{6.7.28}
\label{6.7.28}
\end{equation}
Le changement des indices covariants/contravariants au moyen des $g^{ik}$ étant permutable avec la dérivation covariante, on a :
\begin{equation}
\nabla_{s}\,R^{k}{}_{r}=\nabla_{s}\,g^{ik}\,R_{ir}=g^{ik}\,\nabla_{s}\,R_{ir}
\tag{6.7.29}
\label{6.7.29}
\end{equation}
Multipliant la relation (6.7.28) par $g^{ik}$ et utilisons la propriété de permutation (6.7.29), on obtient :
\begin{equation}
\nabla_{l}\,\Rcontraeqdtop{k}{l}{r}{s}+\nabla_{s}\,R^{k}{}_{r}-\nabla_{r}\,R^{k}{}_{s}=0
\tag{6.7.30}
\label{6.7.30}
\end{equation}
Effectuons une seconde contraction par rapport aux indices $k$ et $s$, il vient :
\begin{equation}
\nabla_{l}\,\Rcontraeqdtop{k}{l}{r}{k}+\nabla_{k}\,R^{k}{}_{r}-\nabla_{r}\,R^{k}{}_{k}=0
\tag{6.7.31}
\label{6.7.31}
\end{equation}
Après contraction, changeons l’indice de sommation $l$ en indice $k$ dans le premier terme de l’équation précédente. De plus, avec l’égalité $\Rcontraeqdtop {k}{l}{r}{k}=\Rcontraeqdtop {l}{k}{k}{r}$ on obtient :
\begin{equation}
2\,\nabla_{k}\,R^{k}{}_{r}-\nabla_{r}\,R=0
\tag{6.7.32}
\label{6.7.32}
\end{equation}
Cette dernière expression peut encore s’écrire sous la forme suivante :
\begin{equation}
\nabla_{k}\bigg(R^{k}{}_{r}-\dfrac{1}{2}\,\delta^{k}{}_{r}\,R\bigg)=\nabla_{k}\,S^{k}{}_{r}=0
\tag{6.7.33}
\label{6.7.33}
\end{equation}
L’expression entre parenthèses qui figure dans (6.7.33) est un tenseur, noté $S^{k}{}_{r}$, dont les composantes covariantes sont données par :
\begin{equation}
S_{ij}=g_{ik}\,S^{k}{}_{j}=g_{ik}\,\bigg(R^{k}{}_{j}-\dfrac{1}{2}\,\delta^{k}{}_{j}\,R\bigg)=R_{ij}-\dfrac{1}{2}\,g_{ij}\,R
\tag{6.7.34}
\label{6.7.34}
\end{equation}
Le tenseur $S_{ij}$ est appelé tenseur d’Einstein. Par suite de la symétrie du tenseur de Ricci, le tenseur d’Einstein est également symétrique. Ce tenseur intervient de manière fondamentale dans les équations de la relativité générale. Selon (6.7.33), il vérifie les identités :
\begin{equation}
\nabla_{k}\,S^{k}{}_{r}=0
\tag{6.7.35}
\label{6.7.35}
\end{equation}
Un tenseur qui satisfait identiquement à des relations de la forme (6.7.35) est appelé un tenseur conservatif.