Un tenseur est, en pratique, souvent uniquement défini et utilisé sous la forme de ses composantes. Ces dernières peuvent être exprimées sous forme covariante ou contravariante comme pour tout vecteur. Mais un nouveau type de composantes va apparaître pour les tenseurs, ce sont les composantes mixtes. Ces trois types de composantes constituent des décompositions des tenseurs euclidiens sur des bases différentes.
Au cours du chapitre précédent, nous avons utilisé les quantités $g_{ij}$, définies à partir du
produit scalaire des vecteurs de base $\mathbf {e_{i}}$ d’un espace vectoriel pré-euclidien $E_{n}$ à $n$ dimensions,
par : \begin{equation}
g_{ij}=\beq{e_{i}}\cdot\beq{e_{j}}
\tag{2.1.1}
\label{2.1.1}
\end{equation}
Ces $n^{2}$ quantités constituent les composantes covariantes d’un tenseur appelé le tenseur fondamental ou tenseur métrique.
Exemple - Considérons des vecteurs de base de l’espace vectoriel $E_{3}$ des triplets de nombres : $\beq {e_{1}}=(2,0,0)$, $\beq {e_{2}}=(0,1,0)$, $\beq {e_{3}}=(0,0,3)$. Définissons un produit scalaire des vecteurs de base en choisissant, par exemple, les valeurs suivantes :
\begin{equation}
g_{11}=4,\,\,\,g_{22}=1,\,\,\,g_{33}=9,
\,\,\,g_{ij}=0\,\,\,si\,\,\,i \neq j
\tag{2.1.2}
\end{equation}
Ces valeurs satisfont bien aux propriétés axiomatiques d’un produit scalaire. Ainsi qu’on le verra au chapitre suivant, les tenseurs sont des vecteurs ayant des propriétés particulières. On pourrait donc écrire le tenseur fondamental sous la forme classique d’un vecteur, noté $\mathbf {g}$, dont les composantes seraient ordonnées en une ligne, à savoir :
\begin{equation}
\beq{g}=[g_{11},g_{12},g_{13},g_{21},g_{22},g_{23},g_{31},g_{32},g_{33}]=[4,0,0,0,1,0,0,0,9]
\tag{2.1.3}
\end{equation}
Cependant, on classe généralement les composantes des tenseurs sous forme d’un tableau ordonné, soit dans le cas présent :
\begin{equation}
[g_{ij}]=\beq{g}=\begin{bmatrix}
g_{11}&g_{12}&g_{13} \\
g_{21}&g_{22}&g_{23} \\
g_{31}&g_{32}&g_{33}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&9
\end{bmatrix}
\tag{2.1.4}
\end{equation}
Ce tableau constitue la matrice du tenseur.
Changement de base - Étudions comment varient les quantités $g_{ij}$ lorsque l’on effectue un changement de base de l’espace vectoriel $E_{n}$. Soit $\mathbf {e'^{k}}$ une autre base liée à la précédente par :
\begin{equation}
(a)\,\,\,\,\beq{e_{i}}=A’^{k}_{i}\,\beq{e’_{k}}\,\,\,\,;\,\,\,\,(b)\,\,\,\,\beq{e’_{k}}=A^{i}_{k}\,\beq{e_{i}}
\tag{2.1.5}
\label{2.1.5}
\end{equation}
Substituant la relation (2.1.5)(a) dans l’expression de $g_{ij}$ donnée par (2.1.1), il vient :
\begin{equation}
g_{ij}=(A’^{k}_{i}\,\beq{e’_{k}})\,\cdot\,(A’^{l}_{j}\,\beq{e’_{l}})=(A’^{k}_{i}\,A’^{l}_{j})(\beq{e’_{k}}\,\cdot\,\beq{e’_{l}})
\tag{2.1.6}
\label{2.1.6}
\end{equation}
Dans la nouvelle base $\mathbf {e'_{k}}$, les produits scalaires des vecteurs de base sont des quantités telles que :
\begin{equation}
g’_{kl}=\beq{e’_{k}}\cdot\beq{e’_{l}}
\tag{2.1.7}
\label{2.1.7}
\end{equation}
qui apparaissent dans la relation (2.1.6). On a donc finalement pour l’expression des composantes covariantes $g_{ij}$ lors d’un changement de base :
\begin{equation}
g_{ij}=(A’^{k}_{i}\,A’^{l}_{j})\,g’_{kl}
\tag{2.1.8}
\label{2.1.8}
\end{equation}
Rapprochons cette dernière relation de la formule de transformation des composantes covariantes d’un vecteur $\mathbf {x}$ de $E_{n}$, donnée par l’expression (1.5.25), à savoir :
\begin{equation}
x_{i}=A’^{k}_{i}\,x’_{k}
\tag{2.1.9}
\label{2.1.9}
\end{equation}
Les composantes covariantes $g_{ij}$ du tenseur fondamental ne se transforment plus
comme les composantes covariantes d’un vecteur mais en faisant intervenir le
produit des quantités $A'^{k}_{i}$.
Substituons à présent la relation (2.1.5)(b) dans l’expression (2.1.7), il vient :
\begin{equation}
g’_{ij}=A^{k}_{i}\,A^{l}_{j}\,g_{kl}
\tag{2.1.10}
\label{2.1.10}
\end{equation}
Rapprochons également cette dernière relation de l’expression (1.5.27) donnant le changement des composantes covariantes d’un vecteur $\mathbf {x}$, à savoir :
\begin{equation}
x’_{k}=A^{i}_{k}\,x_{i}
\tag{2.1.11}
\label{2.1.11}
\end{equation}
Là également ce sont les produits des quantités $A^{i}_{k}$ qui interviennent dans la formule
de changement de base des composantes covariantes du tenseur alors que les
composantes covariantes d’un vecteur se transforment à partir des quantités
$A^{i}_{k}$.
De manière générale, une suite de $n^{2}$ quntités $t_{ij}$ qui se transforment, lors d’un changement de
base de $E_{n}$, selon les relations (2.1.8) et (2.1.10), à savoir :
\begin{equation}
(a)\,\,\,\,\,t_{ij}=(A’^{k}_{i}\,A’^{l}_{j})\,t’_{kl}\,\,\,\,;\,\,\,\,(b)\,\,\,\,t’_{kl}=A^{i}_{k}\,A^{j}_{l}\,t_{ij}
\tag{2.1.12}
\label{2.1.12}
\end{equation}
constituent, par définition, les composantes covariantes d’un tenseur d’ordre deux sur $E_{n}$.
Composantes contravariantes - Considérons un espace vectoriel euclidien $E_{n}$ de base $(\beq {e_{i}})$ et soient deux vecteurs de $E_{n}$ : $\beq {x}=x^{i}\,\beq {e_{i}}$ et $\beq {y}=y^{j}\,\beq {e_{j}}$. Formons les produits deux à deux des composantes $x^{i}$ et $y^{j}$, soit :
\begin{equation}
u^{ij}=x^{i}\,y^{j}
\tag{2.1.13}
\label{2.1.13}
\end{equation}
On obtient ainsi $n^{2}$ quantités qui constituent les composantes contravariantes d’un tenseur d’ordre deux appelé le produit tensoriel du vecteur $\mathbf {x}$ par le vecteur $\mathbf {y}$. Étudions les propriétés de changement de base de ses composantes. Utilisons pour cela les formules de changement de base des composantes contravariantes d’un vecteur donné par (1.5.23), à savoir
\begin{equation}
(a)\,\,\,x^{i}=A^{i}_{k}\,x’^{k}\,\,\,;\,\,\,(b)\,\,\,x’^{k}=A’^{k}_{i}\,x^{i}
\tag{2.1.14}
\label{2.1.14}
\end{equation}
Remplaçons dans la relation (2.1.13) les composantes $x^{i}$ et $y^{j}$ par leur expression (2.1.14)(a), il vient :
\begin{equation}
u^{ij}=x^{i}\,y^{j}=(A^{i}_{k}\,x’^{k})(A^{j}_{l}\,y’^{l})=A^{i}_{k}\,A^{j}_{l}\,(x’^{k}\,y’^{l})=A^{i}_{k}\,A^{j}_{l}\,u’^{kl}
\tag{2.1.15}
\label{2.1.15}
\end{equation}
Les quantités $u'^{kl}$ sont les nouvelles composantes :
\begin{equation}
u’^{kl}=x’^{k}\,y’^{l}
\tag{2.1.16}
\label{2.1.16}
\end{equation}
La formule de transformation des $n^{2}$ quantités $u^{ij}$ lors d’un changement de base de $E_{n}$ est donc finalement :
\begin{equation}
u^{ij}=A^{i}_{k}\,A^{j}_{l}\,u’^{kl}
\tag{2.1.17}
\label{2.1.17}
\end{equation}
Une telle relation de changement de base caractérise les composantes contravariantes
d’un tenseur d’ordre deux.
On obtient de même les nouvelles composantes contravariantes en fonction des anciennes
en substituant la relation (2.1.14)(b) dans l’expression (2.1.16), soit :
\begin{equation}
u’^{kl}=A’^{k}_{i}\,A’^{l}_{j}\,u^{ij}
\tag{2.1.18}
\label{2.1.18}
\end{equation}
De manière générale, un ensemble de $n^{2}$ quantités $u^{ij}$ qui se transforment, lors
d’un changement de base de $E_{n}$, selon les relations (2.1.17) et (2.1.18) constituent,
par définition, les composantes contravariantes d’un tenseur d’ordre
deux.
Composantes covariantes - On peut former de même les produits deux à deux des composantes covariantes $x_{i}$ et $y_{i}$ des vecteurs $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$, soit :
\begin{equation}
u_{ij}=x_{i}\,y_{j}
\tag{2.1.19}
\label{2.1.19}
\end{equation}
Les formules de changement de base des composantes covariantes des vecteurs sont données par (1.5.25) et (1.5.27), à savoir :
\begin{equation}
(a)\,\,\,\, x_{i}=A’^{k}_{i}\,x’_{k}\,\,\,\,;\,\,\,\,(b)\,\,\,\,x’_{k}=A^{i}_{k}\,x_{i}
\tag{2.1.20}
\label{2.1.20}
\end{equation}
Substituons la relation (2.1.20)(a) dans le produit (2.1.19), il vient :
\begin{equation}
u_{ij}=(A’^{k}_{i}\,x’_{k})\,(A’^{l}_{j}\,y’_{l})=A’^{k}_{i}\,A’^{l}_{j}(x’_{k}\,y’_{l})=A’^{k}_{i}\,A’^{l}_{j}\,u’_{kl}
\tag{2.1.21}
\label{2.1.21}
\end{equation}
C’est la formule (2.1.12)(a) de changement de base des composantes covariantes d’un tenseur d’ordre deux. On vérifie de même que l’on a :
\begin{equation}
u’_{kl}=A_{k}^{i}\,A_{l}^{j}\,u_{ij}
\tag{2.1.22}
\label{2.1.22}
\end{equation}
en substituant la relation (2.1.20)(b) dans le produit : $u'_{kl}=x'_{k}\,y'_{l}$.
Les $n^{2}$ quantités $u_{ij}$ constituent les composantes covariantes d’un tenseur d’ordre
deux. On verra par la suite que ce sont les composantes covariantes du produit
tensoriel de $\mathbf {x}$ par $\mathbf {y}$ dont les composantes contravariantes sont données par la relation
(2.1.13).
Composantes mixtes - Formons à présent $n^{2}$ quntités en multipliant deux à deux les composantes covariantes du vecteur $\mathbf {x}$ par les composantes contravariantes de $\mathbf {y}$, on obtient :
\begin{equation}
u_{i}^{j}=x_{i}\,y^{j}
\tag{2.1.23}
\label{2.1.23}
\end{equation}
Effectuons un changement de base dans cette dernière relation en tenant compte des expressions (2.1.20)(a) et (2.1.14)(a), on obtient :
\begin{equation}
u_{i}^{j}=(A’^{k}_{i}\,x’_{k})\,(A^{j}_{l}\,y’^{l})=(A’^{k}_{i}\,A^{j}_{l})\,x’_{k}\,y’^{l}
\tag{2.1.24}
\label{2.1.24}
\end{equation}
avec $u'^{l}_{k}=x'_{k}\,y'^{l}$, on obtient la relation :
\begin{equation}
u_{i}^{j}=(A’^{k}_{i}\,A^{j}_{l})\,u’^{l}_{k}
\tag{2.1.25}
\label{2.1.25}
\end{equation}
Cette relation de changement de base caractérise les composantes mixtes d’un tenseur d’ordre deux. Inversement, on peut vérifier que l’on a :
\begin{equation}
u’^{l}_{k}=(A^{i}_{k}\,A’^{l}_{j})\,u_{i}^{j}
\tag{2.1.26}
\label{2.1.26}
\end{equation}
Ces composantes mixtes constituent également des composantes du produit tensoriel
de $\mathbf {x}$ par $\mathbf {y}$, selon une certaine base.
De manière générale, une suite de $n^{2}$ quantités $u_{i}^{j}$ qui se transforment, lors d’un changement
de base de $E_{n}$, selon les relations (2.1.25) et (2.1.26) constituent, par définition, les
composantes mixtes d’un tenseur d’ordre deux.
Toutes les composantes d’un tenseur, covariantes, contravariantes et mixtes, sont liées
entre elles, par des relations que l’on déterminera au chapitre suivant, et elles constituent
la décomposition d’un tenseur sur différentes bases.