Nous avons vu différents exemples d’espaces de Riemann : surface à deux dimensions,
disque tournant relativiste, espace de configuration. On dit que ces espaces
constituent des variétés munies d’une métrique riemannienne.
Une variété peut être définie, par exemple, par un ensemble de points situés dans un
espace préexistant. De manière générale, une surface donne l’idée d’une variété à deux
dimensions. La sphère et le tore sont des variétés à deux dimensions sans frontière. Un
cylindre de révolution, un paraboloïde hyperbolique, sont des variétés à deux dimensions
ouvertes, avec frontières à l’infini.
Mais on peut envisager des variétés in abstracto. C’est le cas, par exemple, des espaces de configuration tels que ceux utilisés en Physique. Il s’agit alors d’un espace de point à $n$ dimensions, représenté par un ensemble de coordonnées $(u^{i})$, ces dernières pouvant avoir des valeurs comprises dans un domaine fini ou non. C’est un tel espace de points à $n$ dimensions, défini par un ensemble donné de $n$ coordonnées $(u^{i})$, que nous utiliserons au cours de ce chapitre. Un point $M_{0}$ de cette variété est défini par un ensemble de coordonnées $(u^{i})_{0}$. Une variété est caractérisée par la possibilité de représenter le voisinage d’un point $M_{0}$ au moyen d’un système de $n$ coordonnées $u^{i}$, ces dernières étant telles qu’à deux points infiniment voisins correspondent des nombres infiniment peu différents.
Un espace de Riemann est une variété à laquelle on a attaché une métrique. Cela signifie que, dans chaque partie de la variété, représentée analytiquement au moyen d’un système de coordonnées $(u^{i})$, on s’est donné une métrique définie par la forme quadratique :
\begin{equation}
\text{d}s^{2}=g_{ij}\,\text{d}u^{i}\,\text{d}u^{j}
\tag{6.2.1}
\label{6.2.1}
\end{equation}
Les coefficients $g_{ij}$ ne sont pas entièrement arbitraires et doivent vérifier les conditions
suivantes :
Un espace Riemannien est donc un espace de points, chacun étant repéré par $n$
coordonnées $u^{i}$, doté d’une métrique quelconque de la forme (6.2.1) vérifiant les consitions
ci-dessus. Cette métrique est dite Riemannienne.
Si la métrique est définie positive, c’est-à-dire lorsque $g_{ij}\,v^{i}\,v^{j}$, pour tout vecteur $\mathbf {v}$ non nul, on dit que l’espace est proprement Riemannien. Dans ce cas, le déterminant de la matrice $[g_{ij}]$ est strictement positif et toutes les valeurs propres de cette matrice sont strictement positives.
Comment distinguer une métrique euclidienne d’une métrique riemannienne ?
Définissons d’abord plus précisément ce que l’on entend par métrique euclidienne.
On a vu précédemment que tout espace euclidien admet des bases orthonormées telles
que $g_{ij}=\delta _{ij}$. Par définition, on dira qu’une métrique d’un espace est euclidienne
lorsque tout tenseur fondamental de cet espace peut être ramené,
par un changement approprié de coordonnées, à une forme telle que
$g_{ij}=\delta _{ij}$.
Ainsi les tenseurs fondamentaux définis par les éléments linéaires (6.1.2) et (6.1.9), ne
peuvent être ramenés à un tenseur euclidien. On va voir par la suite les conditions
nécessaires que doivent vérifier les $g_{ij}$ pour constituer les composantes d’un tenseur
fondamental euclidien.
La définition des espaces riemanniens montre que l’espace euclidien est un cas très particulier de ces espaces. Il n’existe donc qu’un seul espace euclidien alors qu’on peut inventer une infinité d’espaces riemanniens.
Si l’on se donne un élément linéaire quelconque, il n’existe pas, en général, un système de coordonnées $y^{i}$ qui confère à l’espace euclidien la métrique définie par cet élément linéaire arbitraire. Pour qu’il existe un tel système de coordonnées, il faut qu’on puisse déterminer les coordonnées rectangulaires du point variable $M$, rapporté à des axes fixes, et les projections des vecteurs de base $\mathbf {e_{i}}$ du repère naturel, de manière à avoir les relations :
\begin{equation}
\text{d}\beq{M}=\text{d}y^{i}\,\beq{e_{i}}
\tag{6.2.2}
\label{6.2.2}
\end{equation}
\begin{equation}
\text{d}\beq{e_{i}}=\mixescomponents{k}{i}\,\beq{e_{k}}
\tag{6.2.3}
\label{6.2.3}
\end{equation}
Nous avons vu précédemment que l’on pouvait localiser tous les repères naturels $(M',\beq {e'_{i}})$
infiniment voisins d’un repère naturel $(M,\beq {e_{i}})$ par rapport à ce dernier. C’est ce que l’on a fait en
déterminant les $n^{3}$ symboles de Christoffel à partir des quantités $g_{ij}$. On peut dire que l’espace
euclidien est reconstruit au voisinage de l’origine $M$ du repère $(M,\beq {e_{i}})$. Or les conditions
d’intégrabilité des équations (6.2.2) sont vérifiées puisqu’elles ont précisément été
utilisées pour calculer les symboles de Christoffel, en les écrivant sous la forme
(5.1.30).
Cherchons à présent les conditions d’intégrabilité des équations différentielles (6.2.3).
Celles-ci se présentent comme des conditions pour que le problème précédent
d’intégrabilité de (6.2.2) soit possible puisque la relation (6.2.3) a déjà été utilisée, lors
du calcul des symboles de Christoffel, sous la forme de la relation (5.1.30).
Les différentielles (6.2.3) nous donnent les relations :
\begin{equation}
\partial_{k}\,\beq{e_{i}}=\sgammaeq{k}{j}{i}\,\beq{e_{j}}
\tag{6.2.4}
\label{6.2.4}
\end{equation}
et les conditions d’intégrabilité nécessitent que les dérivées secondes $\partial _{kl}\,\beq {e_{i}}$ soient égales lorsqu’on intervertit l’ordre des dérivations. La dérivée de l’expression (6.2.4) nous donne :
\begin{equation}
\partial_{l}(\partial_{k}\,\beq{e_{i}})=\partial_{l}(\sgammaeq{k}{j}{i}\,\beq{e_{j}})=(\partial_{l}\,\sgammaeq{k}{j}{i}+\sgammaeq{k}{m}{i}\,\sgammaeq{l}{j}{m})\,\beq{e_{j}}
\tag{6.2.5}
\label{6.2.5}
\end{equation}
On obtient de même :
\begin{equation}
\partial_{k}(\partial_{l}\,\beq{e_{i}})=\partial_{k}(\sgammaeq{l}{j}{i}\,\beq{e_{j}})=(\partial_{k}\,\sgammaeq{l}{j}{i}+\sgammaeq{l}{m}{i}\,\sgammaeq{k}{j}{m})\,\beq{e_{j}}
\tag{6.2.6}
\label{6.2.6}
\end{equation}
L’égalité des dérivées secondes nous donne, pour chaque $\mathbf {e_{j}}$ :
\begin{equation}
(\partial_{l}\,\sgammaeq{k}{j}{i}-\partial_{k}\,\sgammaeq{l}{j}{i})+(\sgammaeq{k}{m}{i}\,\sgammaeq{l}{j}{m}-\sgammaeq{l}{m}{i}\,\sgammaeq{k}{j}{m})=0
\tag{6.2.7}
\label{6.2.7}
\end{equation}
avec $i,j,k,l,m=1$ à $n$.
En remplaçant dans les relations (6.2.7) les $\sgammaeq {k}{j}{i}$ par leur valeur en fonction des $g_{ij}$ donnée par l’expression (5.1.39), on obtient les conditions nécessaires auxquelles doivent satisfaire des fonctions $g_{ij}(u^{1},u^{2},...,u^{n})$, que l’on se donne a priori dans un élément linéaire, pour représenter les composantes d’un tenseur fondamental euclidien.