figure 1.2: Composantes covariantes et contravariantes
Un espace vectoriel pré-euclidien est dit euclidien si sa signature ne comporte que des
signes +.
Dans ce cas, tous les $g_{ij}$ étant strictement positifs, la norme d’un vecteur d’un espace
vectoriel euclidien est un nombre positif ou nul. La racine carrée du carré scalaire d’un
vecteur $\mathbf {x}$ constitue la norme de $\mathbf {x}$ ; on a :
\begin{equation}
\mathrm{norme}\,\,\beq{x}=(\beq{x}\,\cdot\,\beq{x})^{1/2}
\tag{1.5.1}
\end{equation}
En géométrie classique, la norme représente la longueur d’un vecteur.
Les espaces vectoriels pré-euclidiens dont la signature comporte des signes + et
-, sont appelés des espaces improprement euclidiens ou encore espaces
pseudo-euclidiens.
Considérons une base orthogonale $(\beq {x_{1}},\beq {x_{2}},...,\beq {x_{n}})$ d’un espace vectoriel euclidien $E_{n}$. Divisant chaque vecteur $\mathbf {x_{i}}$ de cette base par sa norme, on obtient un vecteur $\mathbf {e_{i}}$ de norme égale à l’unité :
\begin{equation}
\beq{e_{i}}=\dfrac{\beq{x_{i}}}{\mathrm{norme}\,\,\beq{x_{i}}}
\tag{1.5.2}
\end{equation}
On a donc pour ces vecteurs : $\beq {e_{i}}\,\cdot \,\beq {e_{j}}=g_{ij}=\delta _{ij}$. Les vecteurs $\mathbf {e_{i}}$ sont dits normés ; un système de
vecteurs orthogonaux et normés est appelé un système orthonormé. Comme les
vecteurs $\mathbf {x_{i}}$ constituent une base de $E_{n}$, les vecteurs $(\beq {e_{1}},\beq {e_{2}},...,\beq {e_{n}})$ en forment une base orthonormée.
Puisque tout espace vectoriel pré-euclidien admet des bases orthogonales, tout espace
vectoriel euclidien admet des bases orthonormées.
Produit scalaire et norme - Le produit scalaire de deux vecteurs $\beq {x}=x^{i}\,\beq {e_{i}}$ et $\beq {y}=y^{j}\,\beq {e_{j}}$, rapportés à
une base orthonormée ($\mathbf {e_{i}}$), compte tenu de l’expression (1.4.5) et des relations $g_{ij}=\delta _{ij}$,
devient :
\begin{equation}
\beq{x}\,\cdot\,\beq{y}=\delta_{ij}\,x^{i}\,y^{j}=x^{i}\,y^{i}
\tag{1.5.3}
\end{equation}
La norme du vecteur $\mathbf {x}$ s’écrit alors :
\begin{equation}
\mathrm{norme}\,\,\beq{x}=(x^{i}\,x^{i})^{1/2}
\tag{1.5.4}
\end{equation}
On obtient la généralisation à $n$ dimensions des formules de la géométrie classique
donnant le produit scalaire et la norme d’un vecteur rapporté à des vecteurs de base
orthogonaux de longueur unité.
Dans une base orthonormée, les composantes du vecteur $\mathbf {x}$ s’obtiennent en effectuant le
produit scalaire de $\mathbf {x}$ par un vecteur de base $\mathbf {e_{j}}$, soit :
\begin{equation}
\beq{x}\,\cdot\,\beq{e_{j}}=(x^{i}\,\beq{e_{i}})\,\cdot\,\beq{e_{j}}=x^{i}\,\delta_{ij}=x^{j}
\tag{1.5.5}
\end{equation}
Il n’en est pas de même en général pour une base quelconque.
Pour un espace vectoriel euclidien $E_{n}$, rapporté à une base quelconque $(\beq {e_{1}},\beq {e_{2}},...,\beq {e_{n}})$, le produit scalaire d’un vecteur $\beq {x}=x^{i}\,\beq {e_{i}}$ par un vecteur de base $\mathbf {e_{j}}$, s’écrit :
\begin{equation}
\beq{x}\,\cdot\,\beq{e_{j}}=(x^{i}\,\beq{e_{i}})\,\cdot\,\beq{e_{j}}=x^{i}\,(\beq{e_{i}}\,\cdot\,\beq{e_{j}})=x^{i}\,g_{ij}=x_{j}
\tag{1.5.6}
\label{1.5.6}
\end{equation}
Ces produits scalaires, notés $x_{j}$, s’appellent les composantes covariantes, dans la base $(\beq {e_{i}})$, du vecteur $\mathbf {x}$. Ces composantes sont donc définies par :
\begin{equation}
x_{j}=\beq{x}\,\cdot\,\beq{e_{j}}
\tag{1.5.7}
\label{1.5.7}
\end{equation}
Elles seront notées au moyen d’indices inférieurs. Nous verrons par la suite que ces
composantes s’introduisent naturellement pour certains vecteurs de la physique, par
exemple le vecteur gradient. D’autre part, la notion de composante covariante est
essentielle pour les tenseurs.
La relation (1.5.6) montre que les composantes covariantes $x_{j}$ sont liées aux composantes $x^{i}$
classiques. Pour les distinguer, ces dernières sont appelées les composantes
contravariantes du vecteur $\mathbf {x}$. Les composantes contravariantes sont donc des nombres $x^{i}$
tels que :
\begin{equation}
\beq{x}=x^{i}\,\beq{e_{i}}
\tag{1.5.8}
\end{equation}
Elles seront notées au moyen d’indices supérieurs. L’étude des changements de
base permettra de justifier l’appellation des différentes composantes.
Base quelconque - À titre d’exemple, considérons deux vecteurs $\mathbf {e_{1}}$ et $\mathbf {e_{2}}$ de la géométrie classique ayant des directions quelconques et des longueurs arbitraires (Fig.1.2). Soit un vecteur $\beq {A}=\beq {OM}$ ; la parallèle à la droite portant $\mathbf {e_{2}}$ et passant par $M$ définit le point $M'$ tel que : $\beq {OM'}=x^{1}\,\beq {e_{1}}$ ; de même : $\beq {OM"}=x^{2}\,\beq {e_{2}}$.
On a :
\begin{equation}
\beq{A}=x^{1}\,\beq{e_{1}}+x^{2}\,\beq{e_{2}}
\tag{1.5.10}
\end{equation}
Les nombres $x^{1}$ et $x^{2}$ sont les composantes contravariantes du vecteur $\beq {A}$. Utilisons l’expression classique du produit scalaire pour exmprimer les composantes covariantes ; il vient :
\begin{equation}
x_{1}=\beq{A}\,\cdot\,\beq{e_{1}}=\|\beq{A}\|\,\|\beq{e_{1}}\|\,\text{cos}\,\alpha\,\,\,
;\,\,\,x_{2}=\beq{A}\,\cdot\,\beq{e_{2}}=\|\beq{A}\|\,\|\beq{e_{2}}\|\,\text{cos}\,\beta
\tag{1.5.11}
\end{equation}
Si les vecteurs de base $\mathbf {e_{1}}$ et $\mathbf {e_{2}}$ ont des normes égales à l’unité, alors les projections
orthogonales $m'$ et $m"$ du point $M$ représentent les composantes covariantes de $\mathbf {A}$.
Base orthonormée - Dans une base orthonormée, les composantes covariantes et contravariantes sont identiques puisqu’on a :
\begin{equation}
x_{j}=\beq{x}\,\cdot\,\beq{e_{j}}=(x^{i}\,\beq{e_{i}})\,\cdot\,\beq{e_{j}}=x^{i}\,(\beq{e_{i}}\,\cdot\,\beq{e_{j}})=x^{i}\,\delta_{ij}=x^{j}
\tag{1.5.12}
\label{1.5.12}
\end{equation}
Il n’en est pas de même pour une base orthogonale quelconque.
Relations entre composantes - La relation (1.5.6) donne l’expression des composantes covariantes en fonction des composantes contravariantes, soit :
\begin{equation}
x_{j}=x^{i}\,g_{ij}
\tag{1.5.13}
\label{1.5.13}
\end{equation}
Inversement, les composantes contravariantes peuvent être calculées en résolvant, par rapport aux $n$ inconnues $x^{i}$, le système de $n$ équations (1.5.13). C’est un système algébrique dont le déterminant $g$ est différent de zéro :
\begin{equation}
g=\text{det}\,[g_{ij}]\neq 0
\tag{1.5.14}
\label{1.5.14}
\end{equation}
ainsi qu’on l’a vu précédemment (1.3.20). On obtient un système de Cramer qui
admet une solution unique. L’inconnue $x^{i}$ est égale au quotient de deux déterminants : le
dénominateur est le déterminant $g$, le numérateur est un déterminant qui se déduit en
remplaçant le $i$ème vecteur colonne du déterminant g par le vecteur colonne $x_{j}$ du second
membre.
Notons $a^{ji}$ le coefficient de développement du terme $g_{ij}$ dans le déterminant $g$ et posons :
\begin{equation}
g^{ji}=a^{ji}/g
\tag{1.5.15}
\label{1.5.15}
\end{equation}
On obtient alors, selon la règle de Cramer :
\begin{equation}
x^{j}=g^{ji}\,x_{i}
\tag{1.5.16}
\label{1.5.16}
\end{equation}
Puisque $g_{ij}=g_{ji}$, le déterminant est symétrique et l’on a : $a^{ji}=a^{ij}$, d’où également $g^{ji}=g^{ij}$ ; ces quantités sont symétriques par rapport à leurs indices.
La combinaison des composantes covariantes et contravariantes permet d’obtenir des
expressions particulièrement simples du produit scalaire et de la norme dans une base
quelconque. Dans le produit scalaire :
\begin{equation}
\beq{x}\,\cdot\,\beq{y}=g_{ij}\,x^{i}\,y^{j}
\tag{1.5.17}
\label{1.5.17}
\end{equation}
substituons en effet l’expression (1.5.13) des composantes covariantes, il vient :
\begin{equation}
\beq{x}\,\cdot\,\beq{y}=x_{j}\,y^{j}=x^{i}\,y_{i}
\tag{1.5.18}
\label{1.5.18}
\end{equation}
La norme du vecteur $\mathbf {x}$ s’écrit :
\begin{equation}
\mathrm{norme}\,\,\beq{x}=(\beq{x}\,\cdot\,\beq{x})^{1/2}=(x_{i}\,x^{i})^{1/2}
\tag{1.5.19}
\label{1.5.19}
\end{equation}
On peut également exprimer le produit scalaire en fonction des seules composantes covariantes. Il vient, en substituant dans (1.5.18) l’expression des composantes contravariantes (1.5.16) :
\begin{equation}
\beq{x}\,\cdot\,\beq{y}=g^{ji}\,x_{i}\,y_{j}
\tag{1.5.20}
\label{1.5.20}
\end{equation}
d’où l’expression de la norme :
\begin{equation}
\mathrm{norme}\,\,\beq{x}=(g^{ji}\,x_{i}\,x_{j})^{1/2}
\tag{1.5.21}
\end{equation}
Considérons deux bases distinctes ($\mathbf {e_{i}}$) et ($\mathbf {e'_{k}}$) d’un espace vectoriel euclidien, liées entre elles par les relations :
\begin{equation}
(a)\,\,\, \beq{e_{i}}=A’^{k}_{i}\,\beq{e’_{k}} \,\,\,;\,\,\,(b)\,\,\, \beq{e’_{k}}=A^{i}_{k}\,\beq{e_{i}}
\tag{1.5.22}
\label{1.5.22}
\end{equation}
Soient $x^{i}$ et $x'^{k}$ les composantes contravariantes d’un vecteur $\mathbf {x}$ respectivement dans les bases ($\mathbf {e_{i}}$) et ($\mathbf {e'_{k}}$). On a vu précédemment les formules de changement de base des composantes données par les relation (1.3.16) et (1.3.17), à savoir :
\begin{equation}
(a)\,\,\,x’^{k}=A’^{k}_{i}\,x^{i}\,\,\,;\,\,\,(b)\,\,\,x^{i}=A^{i}_{k}\,x’^{k}
\tag{1.5.23}
\label{1.5.23}
\end{equation}
On remarque que les relations de transformation des composantes contravariantes sont
le contraire de celles des vecteurs de base, les grandeurs $A$ et $A'$ s’échangeant, d’où
l’appellation de ces composantes.
Soient $x_{i}$ et $x'_{k}$ les composantes covariantes du vecteur $\mathbf {x}$ respectivement sur les bases ($\mathbf {e_{i}}$) et ($\mathbf {e_{k}}$). Remplaçons les vecteurs de base, exprimés par les formules (1.5.22) dans l’expression de définitions des composantes covariantes, il vient :
\begin{equation}
x_{i}=\beq{x}\,\cdot\,\beq{e_{i}}=\beq{x}\,\cdot\,(A’^{k}_{i}\,\beq{e’_{k}})=A’^{k}_{i}(\beq{x}\,\cdot\,\beq{e’_{k}})=A’^{k}_{i}\,x’_{k}
\tag{1.5.24}
\label{1.5.24}
\end{equation}
d’où la relation entre composantes covariantes dans chaque base :
\begin{equation}
x_{i}=A’^{k}_{i}\,x’_{k}
\tag{1.5.25}
\label{1.5.25}
\end{equation}
On obtient de même :
\begin{equation}
x’_{k}=\beq{x}\,\cdot\,\beq{e’_{k}}=\beq{x}\,\cdot\,(A^{i}_{k}\,\beq{e_{i}})=A^{i}_{k}(\beq{x}\,\cdot\,\beq{e_{i}})=A^{i}_{k}\,x_{i}
\tag{1.5.26}
\label{1.5.26}
\end{equation}
d’où la relation :
\begin{equation}
x’_{k}=A^{i}_{k}\,x_{i}
\tag{1.5.27}
\label{1.5.27}
\end{equation}
On remarque que les composantes covariantes se transforment comme les vecteurs de base.
Soit une base quelconque ($\mathbf {e_{i}}$) d’un espace vectoriel euclidien $E_{n}$. Par définition, $n$ vecteurs $\mathbf {e^{k}}$ qui vérifient les relations suivantes :
\begin{equation}
\beq{e_{i}}\,\cdot\,\beq{e^{k}}=\delta_{ik}
\tag{1.5.28}
\label{1.5.28}
\end{equation}
sont appelés les vecteurs réciproques des vecteurs $\mathbf {e_{i}}$. Ils seront notés avec des
indices supérieurs. Chaque vecteur réciproque $\mathbf {e^{k}}$ est orthogonal à tous les vecteurs $\mathbf {e_{i}}$, sauf
pour $k=i$.
Base réciproque - Montrons que les vecteurs réciproques $\mathbf {e^{k}}$ d’une base donnée ($\mathbf {e_{i}}$) sont
linéairement indépendants. Pour cela, il faut montrer qu’une combinaison linéaire $\lambda _{k}\,\beq {e^{k}}$ donne
un vecteur nul, $\lambda _{k}\,\beq {e^{k}}=\beq {0}$, si et seulement si chaque coefficient $\lambda _{k}$ est nul.
Soit $\beq {x}=x^{i}\,\beq {e_{i}}$ un vecteur quelconque de $E_{n}$. Multiplions scalairement par $\mathbf {x}$ la combinaison linéaire précédente $\lambda _{k}\,\beq {e^{k}}$, on obtient :
\begin{equation}
(\lambda_{k}\,\beq{e^{k}})\,\cdot\,\beq{x}=(\lambda_{k}\,\beq{e^{k}})\,\cdot\,(x^{i}\,\beq{e_{i}})=\lambda_{k}\,x^{i}(\beq{e^{k}}\,\cdot\,\beq{e_{i}})=\lambda_{k}\,x^{i}\,\delta_{ik}=\lambda_{i}\,x^{i}=0
\tag{1.5.29}
\label{1.5.29}
\end{equation}
Cette dernière égalité devant être vérifiée quels que soient les $x^{i}$, il est nécessaire que
chaque $\lambda _{i}$ soit nul et les vecteurs $\mathbf {e^{k}}$ sont donc linéairement indépendants.
Le système de $n$ vecteurs réciproques forme donc une base appelée la base réciproque
de l’espace vectoriel $E_{n}$.
Exemple - Soit trois vecteurs $\beq {e_{1}}$,$\beq {e_{2}}$,$\beq {e_{3}}$ formant une base des vecteurs de la géométrie classique. On note $v=\beq {e_{1}}\,\cdot \,(\beq {e_{2}}\wedge \beq {e_{3}})$, où le symbole $\wedge $ représente le produit vectoriel. Les vecteurs suivants :
\begin{equation}
\beq{e^{1}}=\dfrac{\beq{e_{2}}\wedge\beq{e_{3}}}{v}\,\,\,;\,\,\,\beq{e^{2}}=\dfrac{\beq{e_{3}}\wedge\beq{e_{1}}}{v}\,\,\,;\,\,\,\beq{e^{3}}=\dfrac{\beq{e_{1}}\wedge\beq{e_{2}}}{v}
\tag{1.5.30}
\end{equation}
vérifient les relations (1.5.28) et constituent le système réciproque des vecteurs $\mathbf {e_{1}}$, $\mathbf {e_{2}}$, $\mathbf {e_{3}}$. En
cristallographie, ce sont les vecteurs de l’espace de Fourier associé.
Expression des vecteurs réciproques - Exprimons les vecteurs de base $\mathbf {e_{i}}$ sur la base des vecteurs réciproques, soit :
\begin{equation}
\beq{e_{i}}=B’^{k}_{i}\,\beq{e^{k}}
\tag{1.5.31}
\label{1.5.31}
\end{equation}
Multiplions scalairement par $\mathbf {e_{j}}$, il vient :
\begin{equation}
\beq{e_{j}}\,\cdot\,\beq{e_{i}}=g_{ji}=\beq{e_{j}}\,\cdot\,(B’^{k}_{i}\,\beq{e^{k}})=B’^{k}_{i}\,(\beq{e_{j}}\,\cdot\,\beq{e^{k}})=B’^{k}_{i}\,\delta_{jk}=B’^{j}_{i}
\tag{1.5.32}
\label{1.5.32}
\end{equation}
d’où :
\begin{equation}
\beq{e_{i}}=g_{ik}\,\beq{e^{k}}
\tag{1.5.33}
\label{1.5.33}
\end{equation}
Les $n$ équations (1.5.33) sont analogues aux équations (1.5.13) et l’on obtient de même :
\begin{equation}
\beq{e^{k}}=g^{ik}\,\beq{e_{i}}
\tag{1.5.34}
\label{1.5.34}
\end{equation}
Soit ($\mathbf {e^{k}}$) une base réciproque de ($\mathbf {e_{i}}$) pour un espace vectoriel $E_{n}$. Un vecteur quelconque de $E_{n}$ peut être décomposé sur la base ($\mathbf {e^{k}}$) sous la forme générale :
\begin{equation}
\beq{x}=\alpha^{i}\,\beq{e^{i}}
\tag{1.5.35}
\label{1.5.35}
\end{equation}
Multiplions scalairement cette expression par $\mathbf {e_{j}}$, on obtient :
\begin{equation}
\beq{x}\,\cdot\,\beq{e_{j}}=x_{j}=(\alpha^{i}\,\beq{e^{i}})\,\cdot\,\beq{e_{j}}=\alpha^{i}\,(\beq{e^{i}}\,\cdot\,\beq{e_{j}})=\alpha^{i}\delta_{ij}=\alpha^{j}
\tag{1.5.36}
\label{1.5.36}
\end{equation}
On obtient donc :
\begin{equation}
\beq{x}=x_{i}\,\beq{e^{i}}
\tag{1.5.37}
\label{1.5.37}
\end{equation}
La décomposition précédente du vecteur $\mathbf {x}$ montre que les quantités $x_{i}$ sont les
composantes contravariantes du vecteur $\mathbf {x}$ par rapport à la base réciproque ($\mathbf {e^{i}}$).
Considérons à présent la décomposition de $\mathbf {x}$ sur la base ($\mathbf {e_{i}}$), soit :
\begin{equation}
\beq{x}=x^{i}\,\beq{e_{i}}
\tag{1.5.38}
\label{1.5.38}
\end{equation}
et multiplions scalairement cette dernière expression par $\mathbf {e^{k}}$, il vient :
\begin{equation}
\beq{x}\,\cdot\,\beq{e^{k}}=(x^{i}\,\beq{e_{i}})\,\cdot\,\beq{e^{k}}=x^{i}\,(\beq{e_{i}}\,\cdot\,\beq{e^{k}})=x^{i}\delta_{ik}=x^{k}
\tag{1.5.39}
\label{1.5.39}
\end{equation}
La quantité $\beq {x}\,\cdot \,\beq {e^{k}}$ représente la composante covariante de $\mathbf {x}$ par rapport à la base ($\mathbf {e^{k}}$). Cette
composante covariante $\beq {x}\,\cdot \,\beq {e^{k}}$ est égale à sa composante contravariante $x^{k}$ sur la base
($\mathbf {e_{i}}$).
En conclusion, les bases réciproques jouent donc des rôles strictement
symétriques, les composantes contravariantes dans une base devenant
covariantes dans la base réciproque et vice-versa.
Nous avons utilisé précédemment les produits scalaires des vecteurs de base qui ont été notés :
\begin{equation}
g_{ij}=\beq{e_{i}}\,\cdot\,\beq{e_{j}}
\tag{1.5.40}
\label{1.5.40}
\end{equation}
Produit scalaire des vecteurs réciproques - Multiplions scalairement la relation (1.5.34) par un vecteur $\mathbf {e^{j}}$, il vient :
\begin{equation}
\beq{e^{j}}\,\cdot\,\beq{e^{k}}=\beq{e^{j}}\,\cdot\,(g^{ik}\,\beq{e_{i}})=g^{ik}(\beq{e^{j}}\,\cdot\,\beq{e_{i}})=g^{ik}\delta_{ji}=g^{jk}
\tag{1.5.41}
\label{1.5.41}
\end{equation}
Pour $k$ fixé, les quantités $g^{jk}$ sont les composantes contravariantes du vecteur $\mathbf {e^{k}}$ sur la base ($\mathbf {e_{j}}$). Leur valeur est obtenue en effectuant le produit scalaire des vecteurs réciproques, soit :
\begin{equation}
\beq{e^{j}}\,\cdot\,\beq{e^{k}}=g^{jk}
\tag{1.5.42}
\label{1.5.42}
\end{equation}
Relations entre les produits scalaires des vecteurs réciproques - Soit une base ($\mathbf {e_{i}}$) et une nouvelle base ($\mathbf {e'^{k}}$) que l’on choisit égale à la base réciproque, soit $\beq {e'^{k}}=\beq {e^{k}}$. Les formules de changement de base (1.5.22) s’écrivent dans le cas présent :
\begin{equation}
(a)\,\,\, \beq{e_{i}}=B’^{k}_{i}\,\beq{e^{k}} \,\,\,;\,\,\,(b)\,\,\,
\beq{e’_{k}}=\beq{e^{k}}=B^{j}_{k}\,\beq{e_{j}}
\tag{1.5.43}
\label{1.5.43}
\end{equation}
Les expressions (1.5.33) et (1.5.34) des vecteurs réciproques, nous montre que l’on a dans ce cas :
\begin{equation}
B’^{k}_{i}=g_{ik}\,\,\,;\,\,\,B^{j}_{k}=g^{kj}
\tag{1.5.44}
\label{1.5.44}
\end{equation}
Les $n^{2}$ relations scalaires (1.3.19) entre les éléments des matrices de changement de base, nous permettent alors d’écrire :
\begin{equation}
g_{ik}\,g^{kj}=\delta_{ij}
\tag{1.5.45}
\label{1.5.45}
\end{equation}
Ces $n^{2}$ équations permettent de calculer les quantités $g_{ik}$ en fonction des $g^{kj}$ et réciproquement. Si l’on note $g^{j}_{i}$ le produit scalaire de deux vecteurs réciproques, on a :
\begin{equation}
g^{j}_{i}=\beq{e_{i}}\,\cdot\,\beq{e^{j}}=\delta_{ij}
\tag{1.5.46}
\label{1.5.46}
\end{equation}
Les relations (1.5.45) et (1.5.46) nous donnent alors :
\begin{equation}
g_{ik}\,g^{kj}=g^{j}_{i}
\tag{1.5.47}
\label{1.5.47}
\end{equation}
Nous allons voir par la suite que les différentes quantités définies par les produits scalaires des vecteurs de base ou des vecteurs réciproques constituent les composantes d’un tenseur.