On va établir les équations des géodésiques en écrivant que, le long d’un segment infinitésimal $\text {d}\beq {l}$ d’une courbe $C(y^{1},y^{2},...,y^{n})$, le transport parallèle d’un vecteur $\mathbf {A}$ donne une différentielle absolue nulle.
\begin{equation*}
\text{d}\beq{A}=\text{D}\,A^{k}\,\beq{e_{k}}=(\partial_{j}\,A^{k}+A^{i}\,\sgammaeq{i}{k}{j})\,\text{d}y^{j}\,\beq{e_{k}}=\beq{0}
\tag{6.8.1}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\dfrac{\text{D}\,A^{k}}{\text{d}t}=(\partial_{j}\,A^{k}+A^{i}\,\sgammaeq{i}{k}{j})\dfrac{\text{d}y^{j}}{\text{d}t}=0
\tag{6.8.2}
\end{equation*}
On a :
\begin{equation*}
\partial_{j}\,A^{k}\,\dfrac{\text{d}y^{j}}{\text{d}t}=\dfrac{\text{d}A^{k}}{\text{d}t}
\tag{6.8.3}
\end{equation*}
d’où :
\begin{equation*}
\dfrac{\text{d}A^{k}}{\text{d}t}+A^{i}\,\sgammaeq{i}{k}{j}\,\dfrac{\text{d}y^{j}}{\text{d}t}=0
\tag{6.8.4}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\dfrac{\text{d}^{2}\,y^{k}}{\text{d}t^{2}}+\sgammaeq{i}{k}{j}\,\dfrac{\text{d}y^{j}}{\text{d}t}\,\dfrac{\text{d}y^{i}}{\text{d}t}=0
\tag{6.8.5}
\end{equation*}
Ce sont les équations (5.1.60) des géodésiques.
Soit $s$ l’abscisse curviligne d’un mobile le long d’une courbe $C(y^{1},...,y^{n})$, c’est-à-dire la distance parcourue en fonction du temps à partir d’un point origine.
\begin{equation*}
u^{k}\,\nabla_{k}\,u^{i}=0
\tag{6.8.6}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\dfrac{\text{d}^{2}\,y^{k}}{\text{d}s^{2}}+\sgammaeq{i}{k}{j}\,\dfrac{\text{d}y^{j}}{\text{d}s}\,\dfrac{\text{d}y^{i}}{\text{d}s}=0
\tag{6.8.7}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\dfrac{\text{d}^{2}\,y^{i}}{\text{d}s^{2}}+\sgammaeq{k}{i}{j}\,\dfrac{\text{d}y^{j}}{\text{d}s}\,\dfrac{\text{d}y^{k}}{\text{d}s}=\dfrac{d\,u^{i}}{\text{d}s}+\sgammaeq{k}{i}{j}\,u^{j}\,\dfrac{\text{d}y^{k}}{\text{d}s}=(\partial_{k}\,u^{i}+\sgammaeq{k}{i}{j}\,u^{j})\,\dfrac{\text{d}y^{k}}{\text{d}s}=0
\tag{6.8.8}
\end{equation*}
soit : $u^{k}\,\nabla _{k}\,u^{i}=0$
\begin{equation*}
\text{(1)}\,\,\,\,\,\dfrac{\text{d}^{2}\,y^{k}}{\text{d}\alpha^{2}}+\sgammaeq{i}{k}{j}\,\dfrac{\text{d}y^{j}}{\text{d}\alpha}\,\dfrac{\text{d}y^{i}}{\text{d}\alpha}=0\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,(2)\,\,\,\,\,\dfrac{\text{d}^{2}\,y^{k}}{\text{d}\beta^{2}}+\sgammaeq{i}{k}{j}\,\dfrac{\text{d}y^{j}}{\text{d}\beta}\,\dfrac{\text{d}y^{i}}{\text{d}\beta}=0
\tag{6.8.9}
\end{equation*}
Les paramètres $\alpha $ et $\beta $ sont tels que :
\begin{equation*}
\dfrac{\text{d}y^{i}}{\text{d}\alpha}=\dfrac{\text{d}y^{i}}{\text{d}\beta}\,\dfrac{\text{d}\beta}{\text{d}\alpha}\,\,\,\,;\,\,\,\,\dfrac{\text{d}^{2}\,y^{i}}{\text{d}\alpha^{2}}=\dfrac{\text{d}^{2}\,y^{i}}{\text{d}\beta^{2}}\,\bigg(\dfrac{\text{d}\beta}{\text{d}\alpha}\bigg)^{2}+\dfrac{\text{d}y^{i}}{\text{d}\beta}\,\dfrac{\text{d}^{2}\,\beta}{\text{d}\alpha^{2}}
\tag{6.8.10}
\end{equation*}
Portant ces deux dernières égalités dans les équations des géodésiques (1) exprimées en fonction de $\alpha $, il vient :
\begin{equation*}
\text{(3)}\,\,\,\,\,\,\,\bigg(\dfrac{\text{d}^{2}\,y^{i}}{\text{d}\beta^{2}}+\sgammaeq{k}{i}{j}\,\dfrac{\text{d}y^{j}}{\text{d}\beta}\,\dfrac{\text{d}y^{k}}{\text{d}\beta}\bigg)\,\bigg(\dfrac{\text{d}\beta}{\text{d}\alpha}\bigg)^{2}+\dfrac{\text{d}y^{i}}{\text{d}\beta}\,\dfrac{\text{d}^{2}\,\beta}{\text{d}\alpha^{2}}=0
\tag{6.8.11}
\end{equation*}
Pour identifier entre elles les expressions (1) et (3), il faut et il suffit que l’on ait :
\begin{equation*}
\dfrac{\text{d}^{2}\,\beta}{\text{d}\alpha^{2}}=0
\tag{6.8.12}
\end{equation*}
Cette équation a pour solution générale : $\beta =A\,\alpha +B$, où $A$ et $B$ sont des constantes arbitraires. En particulier, les équations des géodésiques correspondent à la trajectoire d’un mobile ayant une accélération nulle, donc une vitesse $v$ constante. Dans ce cas, on a bien : $s=v\,t+s_{0}$, où $s_{0}$ est l’abscisse curviligne d’un point arbitraire sur la géodésique.
\begin{equation*}
\nabla_{k}\,(\nabla_{j}\,v_{i})-\nabla_{j}\,(\nabla_{k}\,v_{i})
\tag{6.8.13}
\end{equation*}
s’exprime en fonction du tenseur de Riemann-Christoffel. À quelle condition la dérivation covariante est-elle permutable, c’est-à-dire à quelle condition obtient-on : $\nabla _{k}\,(\nabla _{j}\,v_{i})=\nabla _{j}\,(\nabla _{k}\,v_{i})$ ?
\begin{equation*}
\begin{array}[b]{lcl}
\nabla_{k}(\nabla_{j}\,v_{i})&=&\partial_{kj}\,v_{i}-(\partial_{k}\,\sgammaeq{j}{l}{i})\,v_{l}-\sgammaeq{j}{l}{i}\,\partial_{k}\,v_{l}\\
& & \\
& &-\sgammaeq{i}{r}{k}\,\partial_{j}\,v_{r}+\sgammaeq{i}{r}{k}\,\sgammaeq{j}{l}{r}\,v_{l}-\sgammaeq{j}{r}{k}\,\partial_{r}\,v_{i}+\sgammaeq{j}{r}{k}\,\sgammaeq{r}{l}{i}\,v_{l}
\end{array}
\tag{6.8.14}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\nabla_{k}(\nabla_{j}\,v_{i})-\nabla_{j}(\nabla_{k}\,v_{i})=(\partial_{j}\,\sgammaeq{i}{l}{k}-\partial_{k}\,\sgammaeq{i}{l}{j}+\sgammaeq{i}{r}{k}\,\sgammaeq{j}{l}{r}-\sgammaeq{i}{r}{j}\,\sgammaeq{k}{l}{r})\,v_{l}
\tag{6.8.15}
\end{equation*}
où le terme entre parenthèses est tenseur de Riemann-Christoffel $\Rcontraeq {i}{l}{j}{k}$. La dérivation covariante est permutable si tous les $\Rcontraeq {i}{l}{j}{k}$ sont nuls.
Si le déterminant $g$ de la matrice du tenseur fondamental $g_{ij}$ n’est pas défini positif, une courbe d’un espace de Riemann peut avoir une longueur nulle. C’est ce que nous allons voir en considérant dans $E_{4}$ l’élément linéaire :
\begin{equation*}
\text{d}s^{2}=(\text{d}u^{1})^{2}+(\text{d}u^{2})^{2}+(\text{d}u^{3})^{2}-(\text{d}u^{4})^{2}
\tag{6.8.16}
\end{equation*}
ainsi que la courbe suivante : $u^{1}=3\,\text {cos}\,\alpha $ ; $u^{2}=3\,\text {sin}\,\alpha $ ; $u^{3}=4\,\alpha $ ; $u^{4}=5\,\alpha $
Calculer la longueur de l’arc de courbe lorsque $\alpha $ varie de $0$ à $b$, avec $b\,\leqslant \,1$.
Le long de la courbe considérée, on a :
\begin{equation*}
\text{d}u^{1}=-3\,\text{sin}\,\alpha\,\text{d}\alpha\,\,\,\,;\,\,\,\,\text{d}u^{2}=3\,\text{cos}\,\alpha\,\text{d}\alpha\,\,\,\,;\,\,\,\,\text{d}u^{3}=4\,\text{d}\alpha\,\,\,\,;\,\,\,\,\text{d}u^{4}=5\,\text{d}\alpha
\tag{6.8.17}
\end{equation*}
L’élément linéaire a pour expression :
\begin{equation*}
\text{d}s^{2}=g_{ij}\,\text{d}u^{i}\,\text{d}u^{j}=(9\,\text{sin}^{2}\,\alpha+9\,\text{cos}^{2}\,\alpha+16-25)\,\text{d}\alpha^{2}=0
\tag{6.8.18}
\end{equation*}
Par conséquent, la longueur de l’arc de courbe est nulle :
\begin{equation*}
\mathlarger{\int}_{0}^{b}\,\sqrt{g_{ij}\,\text{d}u^{i}\,\text{d}u^{j}}=0
\tag{6.8.19}
\end{equation*}
Une géodésique sera de longueur nulle si l’on a : $g_{ij}\,\text {d}u^{i}\,\text {d}u^{j}=0$ en tout point de la géodésique.
\begin{equation*}
g_{11}=g_{22}=g_{33}=-g_{44}=1\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,g_{ij}=0\,\,\,\,\text{si}\,\,\,i\,\neq\,j
\tag{6.8.20}
\end{equation*}
Déterminer l’équation des géodésiques de longueur nulle et la surface engendrée par celles-ci.
\begin{equation*}
\dfrac{\text{d}^{2}\,u^{i}}{\text{d}\alpha^{2}}=0
\tag{6.8.21}
\end{equation*}
dont la solution générale est : $u^{i}=A^{i}\,\alpha +B^{i}$. La condition de nullité de longueur de la géodésique : $g_{ij}\,\text {d}u^{i}\,\text {d}u^{j}=0$, nous donne : $g_{ij}\,A^{i}\,A^{j}=0$ ; éliminons les coefficients $A^{i}$ de cette équation ; il vient :
\begin{equation*}
g_{ij}\,(u^{i}-B^{i})\,(u^{j}-B^{j})=0
\tag{6.8.22}
\end{equation*}
C’est l’équation des géodésiques de longueur nulle.
\begin{equation*}
(u^{1}-u^{1}_{0})^{2}+(u^{2}-u^{2}_{0})^{2}+(u^{3}-u^{3}_{0})^{2}-(u^{4}-u^{4}_{0})^{2}=0
\tag{6.8.23}
\end{equation*}
C’est l’équation d’un hyperbole ou "cône de lumière" de la Relativité Restreinte. Les régions du "futur absolu" et du "passé absolu" se trouvent respectivement dans l’une ou l’autre des deux nappes du cône.
Le tenseur de Ricci $R_{is}$ est donné par la formule (6.7.18), soit :
\begin{equation*}
R_{is}=\Rcontraeq{i}{k}{k}{s}=\partial_{k}\,\sgammaeq{i}{k}{s}-\partial_{s}\,\sgammaeq{i}{k}{k}+\sgammaeq{i}{l}{s}\,\sgammaeq{k}{k}{l}-\sgammaeq{i}{l}{k}\,\sgammaeq{s}{k}{l}
\tag{6.8.24}
\end{equation*}
On se propose de déterminer les valeurs des $R_{is}$ pour la métrique suivante :
\begin{equation*}
g_{11}=1\,\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{22}=2\,x^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{33}=2\,x^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{ij}=0\,\,\,\,\text{si}\,\,\,i\,\neq\,j
\tag{6.8.25}
\end{equation*}
\begin{align*}
\sgammaeq{i}{i}{j} &= \sgammaeq{j}{i}{i}=(1/2)\,\partial_{j}\,\text{ln}|g_{ii}|\\
\sgammaeq{j}{i}{j} &= -(1/2\,g_{ii})\,\partial_{i}\,g_{jj}\,\,\, ;\,\,\,\text{avec}\,\,\,i\,\neq\,j\\
\text{Tous les autres symboles $\sgammaeq{j}{i}{k}$ sont nuls}.
\tag{6.8.26}
\end{align*}
On obtient :
\begin{equation*}
\sgammaeq{2}{1}{2}=-1\,\,\,;\,\,\,\sgammaeq{1}{2}{2}=\sgammaeq{2}{2}{1}=\dfrac{1}{2\,x^{1}}\,\,\,;\,\,\,\sgammaeq{3}{2}{3}=\dfrac{1}{2\,x^{1}}\,\,\,;\,\,\,\sgammaeq{2}{3}{3}=\sgammaeq{3}{3}{2}=\dfrac{1}{2\,x^{2}}
\tag{6.8.27}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Rcontraeq{i}{l}{j}{k}=\partial_{j}\,\sgammaeq{i}{l}{k}-\partial_{k}\,\sgammaeq{i}{l}{j}+\sgammaeq{i}{r}{k}\,\sgammaeq{j}{l}{r}-\sgammaeq{i}{r}{j}\,\sgammaeq{k}{l}{r}
\tag{6.8.28}
\end{equation*}
On obtient :
\begin{align*}
\Rcontraeq{2}{1}{1}{2} &= \dfrac{1}{2\,x^{1}}\,\,\,\,;\,\,\,\,\Rcontraeq{3}{1}{1}{3} = 0\,\,\,\,;\,\,\,\,\Rcontraeq{3}{2}{2}{3} = -\dfrac{1}{4\,x^{1}\,x^{2}}\\
\Rcontraeq{2}{1}{1}{3} &= 0\,\,\,\,;\,\,\,\,\Rcontraeq{1}{2}{2}{3}=0\,\,\,\,;\,\,\,\,\Rcontraeq{1}{3}{3}{2} = \dfrac{1}{4\,x^{1}\,x^{2}}
\tag{6.8.29}
\end{align*}
\begin{equation*}
R_{ijrs}=g_{jk}\,\Rcontraeq{i}{k}{r}{s}
\tag{6.8.30}
\end{equation*}
De nombreuses valeurs se déduisent les unes des autres à parir des propriétés de symétrie ((6.6.17), (6.6.18) et (6.6.19)). On obtient :
\begin{align*}
R_{2112} &= g_{11}\,\Rcontraeq{2}{1}{1}{2} = \dfrac{1}{2\,x^{1}} = -R_{2121} = R_{1221}\\
R_{3223} &= g_{22}\,\Rcontraeq{3}{2}{2}{3} = -\dfrac{1}{2\,x^{2}} = R_{2332}\\
R_{1332} &= g_{33}\,\Rcontraeq{1}{3}{3}{2} = \dfrac{1}{2\,x^{1}} = R_{3123}\\
\tag{6.8.31}
\end{align*}
\begin{equation*}
R_{ij}=g^{11}\,R_{1ij1}+g^{22}\,R_{2ij2}+g^{33}\,R_{3ij3}
\tag{6.8.32}
\end{equation*}
et les composantes contravariantes du tenseur fondamental sont données par :
\begin{equation*}
g^{11}=1\,\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{22}=\dfrac{1}{2\,x^{1}}\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{33}=\dfrac{1}{2\,x^{2}}
\tag{6.8.33}
\end{equation*}
d’où :
\begin{align*}
R_{11} &= g^{22}\,R_{2112} = \dfrac{1}{4\,(x^{1})^{2}}\\
R_{22} &= g^{11}\,R_{1221}+g^{33}\,R_{2332} = \dfrac{1}{2\,x^{1}}-\dfrac{1}{4\,(x^{2})^{2}}\\
R_{33} &= g^{22}\,R_{2332} = -\dfrac{1}{4\,x^{1}\,x^{2}}
\tag{6.8.34}
\end{align*}
\begin{equation*}
R=R_{i}^{i}=g^{ij}\,R_{ij}
\tag{6.8.35}
\end{equation*}
d’où :
\begin{equation*}
R=g^{11}\,R_{11}+g^{22}\,R_{22}+g^{33}\,R_{33}=\dfrac{2\,(x^{2})^{2}-x^{1}}{(2\,x^{1}\,x^{2})^{2}}
\tag{6.8.36}
\end{equation*}