Les vecteurs et les tenseurs sont représentés par des lettres en caractère gras : $\mathbf {x}$ représentera par exemple un vecteur. Les composantes des vecteurs et des tenseurs sont notées par des lettres $en\,\,italique$ avec des indices. Par exemple, un vecteur $\mathbf {x}$ de la géométrie classique, rapporté à une base $\mathbf {e_{1}}$, $\mathbf {e_{2}}$, $\mathbf {e_{3}}$, s’écrira :
\begin{equation}
\beq{x}=x^{1}\beq{e_{1}}+x^{2}\beq{e_{2}}+x^{3}\beq{e_{3}}
\tag{1.1.1}
\end{equation}
Nous utiliserons également par la suite pour les composantes, des indices inférieurs (voir composantes covariantes et contravariantes).
Lorqu’on effectue la somme de certaines quantités, on utilise couramment la lettre grecque $sigma$majuscule pour représenter cette sommation. On a par exemple :
\begin{equation}
x^{1}y^{1}+x^{2}y^{2}+.....+x^{n}y^{n}=\sum_{i=1}^{n}x^{i}y^{i}
\tag{1.1.2}
\end{equation}
La convention de sommation d’Einstein va consister à utiliser le fait que l’indice répété, ici l’indice $i$, va définir lui-même l’indication de la sommation. On écrit alors avec cette convention :
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{n}x^{i}y^{i}=x^{i}y^{i}
\tag{1.1.3}
\end{equation}
La variation de l’indice se fera sur tout le domaine possible, en général de 1 à $n$, sauf indication contraire. L’indice répété peut être affecté á des lettres différentes, ou à une même lettre comme dans l’exemple suivant :
\begin{equation}
A_{ii}x_{j}=A_{11}x_{j}+A_{22}x_{j}+.....+A_{nn}x_{j}
\tag{1.1.4}
\end{equation}
Les indices peuvent être simultanément inférieurs ou supérieurs, ou l’un peut être inférieur et l’autre supérieur. Par exemple, l’expression ${A^{i}_{}}_{k}\,y_{i}$ pour $n=4$ :
\begin{equation}
{A^{i}_{}}_{k}\,y_{i}={A^{1}_{}}_{k}\,y_{1}+{A^{2}_{}}_{k}\,y_{2}+{A^{3}_{}}_{k}\,y_{3}+{A^{4}_{}}_{k}\,y_{4}
\tag{1.1.5}
\end{equation}
On remarque que l’expression ${A^{i}_{}}_{k}\,y_{i}$ comporte deux sortes d’indices. L’indice de sommation $i$ qui varie de 1 à 4 (de 1 à $n$ en général) peut être remplacé par une lettre quelconque, par exemple ${A^{m}_{}}_{k}\,y_{m}$ ou ${A^{r}_{}}_{k}\,y_{r}$. Ces expressions représentent exactement la même quantité :
\begin{equation}
{A^{j}_{}}_{k}y_{j} = {A^{m}_{}}_{k}y_{m} = {A^{r}_{}}_{k}y_{r}
\tag{1.1.6}
\end{equation}
Cet indice qui peut être noté indifféremment, s’appelle $indice\,\,muet$.
Par contre, l’indice $k$ qui spécifie un terme particulier est appelé $indice\,\,libre$. Si aucune indication contraire n’est donnée, tout indice libre prendra, de manière implicite, les mêmes valeurs que l’indice muet. Ainsi, l’expression $a_{ij}\,x_{j}=b_{i}$, pour $n=3$, représente le système d’équations :
\begin{align}
& a_{11}\,x_{1}+a_{12}\,x_{2}+a_{13}\,x_{3} = b_{1} \nonumber \\
& a_{21}\,x_{1}+a_{22}\,x_{2}+a_{23}\,x_{3} = b_{2} \nonumber \\
& a_{31}\,x_{1}+a_{32}\,x_{2}+a_{33}\,x_{3} = b_{3}
\tag{1.1.7}
\end{align}
Cette convention ne s’applique qu’aux monômes ou à une seule lettre. Ainsi l’expression $(x_{k}+y_{k})$ ne représente pas une sommation sur l’indice $k$ mais seulement un élément, par exemple $z_{k}=(x_{k}+y_{k})$. Par contre le terme $A_{ii}$ représente la somme :
\begin{equation}
A_{ii}=A_{11}+A_{22}+.....+A_{nn}
\tag{1.1.8}
\end{equation}
Lorsqu’on voudra parler d’un ensemble de termes $A_{11},A_{22},.....,A_{nn}$, on ne pourra donc pas écrire le
symbole $A_{ii}$.
La convention de sommation s’étend à tous les symboles mathématiques comportant des indices répétés. Ainsi, la décomposition d’un vecteur $\mathbf {x}$ sur une base $\mathbf {e_{1}}$, $\mathbf {e_{2}}$, $\mathbf {e_{3}}$, s’écrit pour $n=3$ :
\begin{equation}
\beq{x}=x^{1}\beq{e_{1}}+x^{2}\beq{e_{2}}+x^{3}\beq{e_{3}}=x^{i}\beq{e_{i}}
\tag{1.1.9}
\end{equation}
En conclusion, toute expression qui comporte un indice deux fois répété représente une somme sur toutes les valeurs possibles de l’indice répété.
La convention de sommation s’étend au cas où figurent plusieurs indices muets dans un même monôme. Soit, par exemple, la quantité ${A^{i}_{}}_{j}\,x^{i}\,y^{j}$, celle-ci représente la somme suivante pour $i$ et $j$ prenant les valeurs 1 et 2 :
\[\begin {array}[b]{lclr} {A^{i}_{}}_{j}\,x^{i}\,y^{j} &=&{A^{1}_{}}_{j}\,x^{1}\,y^{j}+{A^{2}_{}}_{j}\,x^{2}\,y^{j} &(\text {sommation sur $i$}) \\ &=&{A^{1}_{}}_{1}\,x^{1}\,y^{1}+{A^{1}_{}}_{2}\,x^{1}\,y^{2}+{A^{2}_{}}_{1}\,x^{2}\,y^{1}+{A^{2}_{}}_{2}\,x^{2}\,y^{2} &(\text {sommation sur $j$}) \\ \end {array}\]
Si l’expression a deux indices de sommation qui prennent respectivement les valeurs 1,2,...,$n$, la somme comporte $n^{2}$ termes ; s’il y a trois indices, on aura $n^{3}$ termes, etc.
Substitution - Supposons que l’on ait la relation :
\begin{equation}
A=a_{ij}\,x^{i}\,y_{j}\,\,\text{avec}\,\,x^{i}=c_{ij}\,y^{j}\\
\tag{1.1.10}
\end{equation}
Pour obtenir l’expression de $A$ uniquement en fonction des variables $y^{j}$, on ne peut pas
écrire $A=a_{ij}\,c_{ij}\,y^{j}\,y_{j}$ car un indice muet ne peut pas se retrouver répété plus de deux fois
dans un monôme. Il faut effectuer au préalable un changment de l’indice muet dans
l’une des expressions. Par exemple, on pose : $x^{i}=c_{ik}\,y^{k}$, et on reporte dans l’expression de $A$ ; on
obtient :
\begin{equation}
A=a_{ij}\,(c_{ik}\,y^{k})y_{j}=a_{ij}\,c_{ik}\,y^{k}\,y_{j}
\tag{1.1.11}
\end{equation}
On a ainsi une triple sommation sur les indices muets $i$,$j$,$k$. La convention de sommation peut être généralisée à un nombre quelconque d’indices.
\begin{equation}
\delta_{ij}=\delta^{ij}={\delta_{j}}_{}^{i}=\left\{
\begin{array}{ccc}
1& si & i=j \\
0& si & i \neq j \\
\end{array}
\right.
\tag{1.1.12}
\end{equation}
Ce symbole est appelé $symbole\,\,de\,\, Kronecker$. Il permet d’écrire, par exemple, le produit scalaire de deux vecteurs $\mathbf {e_{i}}$ et $\mathbf {e_{j}}$ de norme unité et orthogonaux (on dit aussi orthonormés) entre eux, sous la forme :
\begin{equation}
\beq{e_{i}}\cdot\beq{e_{j}}=\delta_{ij}
\tag{1.1.13}
\end{equation}
Lors d’une sommation portant sur deux indices muets, le symbole de Kronecker annule tous les termes où les indices ont des valeurs différentes. Par exemple :
\begin{equation}
\delta_{ij}\,y_{i}\,y_{j}=y_{i}\,y_{i}
\tag{1.1.14}
\end{equation}
Dans le cas où les indices $i$,$j$,$k$ prennent l’une des valeurs 1,2,3, le symbole d’antisymétrie $\epsilon ^{ijk}$
prend les valeurs suivantes :
$\epsilon ^{ijk}=0$, si deux quelconques des indices ont une valeur identique ; par exemple :
\begin{equation}
\epsilon^{112}=\epsilon^{313}=\epsilon^{222}=0
\tag{1.1.15}
\end{equation}
$\epsilon ^{ijk}=1$, si les indices sont dans l’ordre 1,2,3 ou proviennent d’un nombre pair de permutations par rapport à cet ordre intial ; par exemple :
\begin{equation}
\epsilon^{123}=\epsilon^{231}=\epsilon^{312}=1
\tag{1.1.16}
\end{equation}
$\epsilon ^{ijk}=-1$, si les indices sont dans un ordre qui provient d’un nombre impair de permutations par rapport à l’ordre intial ; par exemple :
\begin{equation}
\epsilon^{132}=\epsilon^{321}=\epsilon^{213}=-1
\tag{1.1.17}
\end{equation}
Le symbole d’antisymétrie peut comporter un nombre $n$ quelconque d’indices, prenant
des valeurs de 1 à $n$, et les conventions précédentes se généralisent.
En utilisant ce symbole, un déterminant d’ordre deux s’écrit sous la forme suivante : dét$[a^{ij}]=\epsilon ^{ij}\,a^{1i}\,a^{2j}$.Un déterminant du troisième ordre s’écrit : dét$[a^{ijk}]=\epsilon ^{ijk}\,a^{1i}\,a^{2j}\,a^{3k}$.