Ayant défini le produit tensoriel de deux vecteurs, on peut passer, de proche en proche, au
produit tensoriel d’un nombre quelconque de vecteurs.
Associativité du produit tensoriel - Considérons trois vecteurs $\mathbf {x}$,$\mathbf {y}$ et $\mathbf {z}$ appartenant respectivement à des espaces vectoriels $E_{n}$,$F_{m}$ et $G_{p}$. Un premier produit tensoriel entre $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$ nous donne l’élément $\beq {U}=\beq {x}\otimes \beq {y}$ de l’espace vectoriel $E_{n}\otimes F_{m}$. On peut ensuite multiplier tensoriellement $\mathbf {U}$ par $\mathbf {z}$ et l’on obtient un nouveau vecteur $\mathbf {V}$, tel que :
\begin{equation}
\beq{V}=\beq{U}\otimes\beq{z}=(\beq{x}\otimes\beq{y})\otimes\beq{z}
\tag{3.2.1}
\label{3.2.1}
\end{equation}
D’autre part, on peut également former le produit tensoriel $(\beq {y}\otimes \beq {z})$ puis multiplier tensoriellement $\mathbf {x}$ par $(\beq {y}\otimes \beq {z})$ ; on obtient un vecteur $\beq {x}\otimes (\beq {y}\otimes \beq {z})$. Pour avoir l’égalité :
\begin{equation}
(\beq{x}\otimes\beq{y})\otimes\beq{z}=\beq{x}\otimes(\beq{y}\otimes\beq{z})
\tag{3.2.2}
\label{3.2.2}
\end{equation}
il faut supposer que le produit tensoriel est associatif, ce que l’on pose comme
axiome supplémentaire pour la définition des tenseurs d’ordre quelconque.
Le produit tensoriel de trois vecteurs est alors noté $\beq {x}\otimes \beq {y}\otimes \beq {z}$ et représente la valeur commune des deux membres de la relation (3.2.2).
Décomposition sur une base - Si l’on a $\beq {x}=x^{i}\,\beq {e_{i}}$, $\beq {y}=y^{j}\,\beq {f_{j}}$, $\beq {z}=z^{k}\,\beq {g_{k}}$, le produit tensoriel de ces trois vecteurs qui est à présent associatif, s’écrit :
\[\begin {array}[b]{lcl} \beq {x}\otimes \beq {y}\otimes \beq {z}&=&(\beq {x}\otimes \beq {y})\otimes \beq {z}=x^{i}\,y^{j}\,(\beq {e_{i}}\otimes \beq {f_{j}})\otimes (z^{k}\,\beq {g_{k}})=x^{i}\,y^{j}\,z^{k}\,(\beq {e_{i}}\otimes \beq {f_{j}})\otimes \beq {g_{k}}\\ &=&x^{i}\,y^{j}\,z^{k}\,(\beq {e_{i}}\otimes \beq {f_{j}}\otimes \beq {g_{k}}) \end {array} \]
Il suffit d’imposer l’associativité du produit tensoriel des vecteurs de base pour assurer
l’associativité du produit tensoriel de vecteurs quelconques.
Produit tensoriel d’un nombre quelconque de vecteurs - De proche en proche, compte tenu de l’associativité du produit tensoriel, on peut considérer $p$ vecteurs $\beq {x_{1}},\beq {x_{2}},...,\beq {x_{p}}$ appartenant chacun à des espaces vectoriels différents $E_{n_{1}},E_{n_{2}},...,E_{n_{p}}$. Si l’on a : $\beq {x_{1}}=x^{i_{1}}\,\beq {e_{i_{1}}}$, $\beq {x_{2}}=x^{i_{2}}\,\beq {e_{i_{2}}}$,..., on peut former le produit tensoriel :
\begin{equation}
\beq{x_{1}}\otimes\beq{x_{2}}\otimes...\otimes\beq{x_{p}}=x^{i_{1}}\,x^{i_{2}}...x^{i_{p}}\,(\beq{e_{i_{1}}}\otimes\beq{e_{i_{2}}}\otimes...\otimes\beq{e_{i_{p}}})
\tag{3.2.3}
\label{3.2.3}
\end{equation}
avec $i_{1}=1$ à $n_{1}$, $i_{2}=1$ à $n_{2}$,...,$i_{p}=1$ à $n_{p}$.
On obtient des produits tensoriels d’ordre $p$ appartenant à l’espace vectoriel $E_{n_{1}}\otimes E_{n_{2}}\otimes ...\otimes E_{n_{p}}$, espace qui
est muni d’une structure de produit tensoriel. Les éléments de cet espace constituent des
tenseurs d’ordre $p$.
En pratique, on a souvent à utiliser des tenseurs formés à partir de vecteurs appartenant
à des espaces vectoriels $E_{n}$ identiques.
Produit tensoriel de p vecteurs - De manière générale, on pourra former l’espace $E_{n}^{(p)}$ correspondant à $p$ fois la multiplication tensorielle de l’espace $E_{n}$ par lui-même, soit :
\begin{equation}
E_{n}^{(p)}=E_{n}\otimes E_{n}\otimes...\otimes E_{n}
\tag{3.2.4}
\label{3.2.4}
\end{equation}
Si l’on note à présent $p$ vecteurs de $E_{n}$ sous la forme : $\beq {x_{1}}=x^{i_{1}}\,\beq {e_{i_{1}}}$, $\beq {x_{2}}=x^{i_{2}}\,\beq {e_{i_{2}}}$,..., les produits tensoriels de $E_{n}^{(p)}$ sont des tenseurs d’ordre $p$ de la forme :
\begin{equation}
\beq{x_{1}}\otimes\beq{x_{2}}\otimes...\otimes\beq{x_{p}}=x^{i_{1}}\,x^{i_{2}}...x^{i_{p}}\,(\beq{e_{i_{1}}}\otimes\beq{e_{i_{2}}}\otimes...\otimes\beq{e_{i_{p}}})
\tag{3.2.5}
\label{3.2.5}
\end{equation}
avec $i_{1},i_{2},...,i_{p}=1$ à $n$.
Somme de produits tensoriels - Tous les éléments d’un espace produit tensoriel $E_{n}^{(2)}$ ne sont pas des produits tensoriels ainsi qu’on l’a vu précédemment. On peut généraliser la décomposition que l’on a faite pour les tenseurs d’ordre deux, selon les formules (3.1.21) et (3.1.22), pour des tenseurs d’ordre quelconque. Tous les vecteurs $\mathbf {U}$ de l’espace $E_{n}^{(p)}$ peuvent s’écrire sous la forme :
\begin{equation}
\beq{U}=u^{i_{1}\,i_{2}\,...\,i_{p}}\,(\beq{e_{i_{1}}}\otimes\beq{e_{i_{2}}}\otimes...\otimes\beq{e_{i_{p}}})=(u^{i_{1}\,i_{2}\,...\,i_{p}}\,\beq{e_{i_{1}}})\otimes(\beq{e_{i_{2}}}\otimes...\otimes\beq{e_{i_{p}}})
\tag{3.2.6}
\label{3.2.6}
\end{equation}
avec $i_{1},i_{2},...,i_{p}=1,2,...,n$.
On a $n^{p-1}$ termes de la forme $(u^{i_{1}\,i_{2},...,i_{p}}\,\beq {e_{i_{1}}})$ si l’on considère toutes les valeurs possibles pour les $(p-1)$ indices $i_{1},i_{2},...,i_{p}$.
Ces termes sont des vecteurs de $E_{n}$ de la forme :
\begin{equation}
\beq{U_{i_{2}...i_{p}}}=u^{i_{1}\,i_{2}\,...\,i_{p}}\,\beq{e_{i_{1}}}
\tag{3.2.7}
\label{3.2.7}
\end{equation}
Tout vecteur de $E_{n}^{(p)}$ peut donc s’écrire sous la forme d’une somme de $n^{p-1}$ produits tensoriels, soit :
\begin{equation}
\beq{U}=\beq{U_{i_{2}...i_{p}}}\otimes(\beq{e_{i_{2}}}\otimes...\otimes\beq{e_{i_{p}}})
\tag{3.2.8}
\label{3.2.8}
\end{equation}
La sommation s’effectuant sur les $(p-1)$ indices $i_{2},i_{3},...,i_{p}$. Tous les éléments de $E_{n}^{(p)}$ sont donc des
sommes d’au plus $n^{p-1}$ produits tensoriels de $p$ vecteurs.
La notation générale, pour des tenseurs d’ordre $p$, étant assez lourde, on se contentera par
la suite de considérer des espaces $E_{n}^{(2)}$ ou $E_{n}^{(3)}$, la généralisation étant souvent évidente pour des
espaces d’ordre plus élevé.
Tous les tenseurs sont des éléments d’un espace vectoriel muni d’une
structure de produit tensoriel. Ce sont donc des vecteurs. La création d’une structure
de produit tensoriel met en jeu un certain nombre $p$ d’espaces vectoriels plus
"élémentaires". C’est ce nombre $p$ qui détermine l’ordre d’un tenseur.
Afin d’unifier la classification, les espaces vectoriels élémentaires, non munis d’une
structure de produit tensoriel, peuvent être considérés comme ayant pour éléments des
tenseurs d’ordre un. En général, on appellera ces éléments des vecteurs réservant le
nom de tenseurs à des éléments d’espaces tensoriels d’ordre égal ou supérieur à
deux.
Il est commode d’appeler tenseurs d’ordre zéro les grandeurs scalaires.