Les espaces produits tensoriels $E_{n}^{(p)}$, étant des espaces vectoriels, tous les résultats obtenus au chapitre Premier leur sont applicables. En particulier, les espaces produits tensoriels deviennent pré-euclidiens lorsqu’on les munit d’un produit scalaire ainsi qu’on va le faire maintenant.
On suppose que l’espace vectoriel $E_{n}$ est pré-euclidien ; sur ses vecteurs de base $\mathbf {e_{i}}$ est défini un produit scalaire noté : $\beq {e_{i}}\,\cdot \,\beq {e_{j}}=g_{ij}$. Il en résulte que les composantes contravariantes $x^{i}$ et covariantes $x_{i}$ d’un vecteur quelconque $\mathbf {x}$ de $E_{n}$ sont liées par la relation (1.5.13) :
\begin{equation}
x_{j}=x^{i}\,g_{ij}
\tag{3.3.1}
\label{3.3.1}
\end{equation}
Considérons à présent le cas d’un espace tensoriel $E_{n}^{(2)}$ pour la suite des démonstrations, la généralisation à un espace $E_{n}^{(p)}$ se faisant ensuite facilement. Soit deux vecteurs $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$de $E_{n}$ et un produit tensoriel $\beq {U}=\beq {x}\otimes \beq {y}$ de $E_{n}^{(2)}$. Les composantes du produit tensoriel sont notées :
\begin{equation}
u^{ij}=x^{i}\,y^{j}
\tag{3.3.2}
\label{3.3.2}
\end{equation}
Définissons le produit scalaire de $\mathbf {U}$ par un vecteur de base $(\beq {e_{i}}\otimes \beq {e_{j}})$ de $E_{n}^{(2)}$ par la relation suivante :
\begin{equation}
\beq{U}\,\cdot\,(\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}})=x_{i}\,y_{j}
\tag{3.3.3}
\label{3.3.3}
\end{equation}
où les quantités $x_{i}$ et $y_{j}$ sont les composantes covariantes respectivement des vecteurs $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$. Les axiomes du produit scalaire, posés au chapitre Premier à partir des propriétés PS1 à PS4, sont manifestement vérifiées par la définition (3.3.3). Remarquons que le produit scalaire ainsi défini pour les produits tensoriels de $E_{n}^{(2)}$ est lui-même tributaire de la définition que l’on se donne du produit scalaire sur $E_{n}$ puisqu’on a, d’après la définition des composantes covariantes de $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$ :
\begin{equation}
x_{i}\,y_{j}=(\beq{x}\,\cdot\,\beq{e_{i}})\,(\beq{y}\,\cdot\,\beq{e_{j}})
\tag{3.3.4}
\label{3.3.4}
\end{equation}
Développant l’expression (3.3.3), il vient compte tenu de l’expression (3.3.2) des composantes du produit tensoriel :
\begin{equation}
\begin{array}[b]{lcl}
\beq{U}\,\cdot\,(\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}})&=&\big[u^{kl}\,(\beq{e_{k}}\otimes\beq{e_{l}})\big]\,\cdot\,(\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}})=\big[x^{k}\,y^{l}\,(\beq{e_{k}}\otimes\beq{e_{l}})\big]\,\cdot\,(\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}})\\
&=&x^{k}\,y^{l}\,\big[(\beq{e_{k}}\otimes\beq{e_{l}})\,\cdot\,(\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}})\big]
\end{array}
\tag{3.3.5}
\label{3.3.5}
\end{equation}
D’autre part, substituons l’expression (3.3.1) des composantes covariantes dans la définition (3.3.3), on obtient :
\begin{equation}
\beq{U}\,\cdot\,(\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}})=(x^{k}\,g_{ki})\,(y^{l}\,g_{lj})=x^{k}\,y^{l}\,g_{ki}\,g_{lj}
\tag{3.3.6}
\label{3.3.6}
\end{equation}
Puisque les vecteurs $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$ sont arbitraires, l’égalité entre les relations (3.3.5) et (3.3.6) nécessite que l’on ait :
\begin{equation}
(\beq{e_{k}}\otimes\beq{e_{l}})\,\cdot\,(\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}})=g_{ki}\,g_{lj}
\tag{3.3.7}
\label{3.3.7}
\end{equation}
Cette dernière expression montre que la relation (3.3.3) constitue bien une définition du produit scalaire puisque ceci revient à poser la relation fondamentale (3.3.7) que l’on peut encore écrire :
\begin{equation}
(\beq{e_{k}}\otimes\beq{e_{l}})\,\cdot\,(\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}})=(\beq{e_{k}}\,\cdot\,\beq{e_{i}})\,(\beq{e_{l}}\,\cdot\,\beq{e_{j}})
\tag{3.3.8}
\label{3.3.8}
\end{equation}
Tout tenseur $\mathbf {U}$ de $E_{n}^{(2)}$ s’écrit sous forme d’une somme de produits tensoriels donnée par l’expression (3.1.26), soit :
\begin{equation}
\beq{U}=\beq{x_{j}}\otimes\beq{f_{j}}
\tag{3.3.9}
\label{3.3.9}
\end{equation}
où les $\mathbf {x_{j}}$ sont des vecteurs de $E_{n}$ que l’on peut écrire sous la forme :
\begin{equation}
\beq{x_{j}}=u^{jk}\,\beq{e_{k}}
\tag{3.3.10}
\label{3.3.10}
\end{equation}
Formons le produit scalaire du tenseur $\mathbf {U}$ par un vecteur de base de $E_{n}^{(2)}$ en utilisant les relations (3.3.9) et (3.3.10), il vient :
\begin{equation}
\beq{U}\,\cdot\,(\beq{e_{l}}\otimes\beq{e_{m}})=(\beq{x_{j}}\otimes\beq{e_{j}})\,\cdot\,(\beq{e_{l}}\otimes\beq{e_{m}})=u^{jk}\,(\beq{e_{k}}\otimes\beq{e_{j}})\,\cdot\,(\beq{e_{l}}\otimes\beq{e_{m}})
\tag{3.3.11}
\label{3.3.11}
\end{equation}
Compte tenude la relation (3.3.7), on obtient :
\begin{equation}
\beq{U}\,\cdot\,(\beq{e_{l}}\otimes\beq{e_{m}})=u^{jk}\,g_{kl}\,g_{jm}
\tag{3.3.12}
\label{3.3.12}
\end{equation}
Considérons deux tenseurs de l’espace $E_{n}^{(2)}$ :
\begin{equation}
\beq{U}=u^{jk}\,(\beq{e_{j}}\otimes\beq{e_{k}})\,\,\,\,;\,\,\,\,\beq{V}=v^{lm}\,(\beq{e_{l}}\otimes\beq{e_{m}})
\tag{3.3.13}
\label{3.3.13}
\end{equation}
et formons le produit scalaire $\beq {U}\,\cdot \,\beq {V}$. il vient en utilisant les relations (3.3.13) :
\begin{equation}
\beq{U}\,\cdot\,\beq{V}=\big[u^{jk}\,(\beq{e_{j}}\otimes\beq{e_{k}})\big]\,\cdot\,\big[v^{lm}\,(\beq{e_{l}}\otimes\beq{e_{m}})\big]=u^{jk}\,v^{lm}\,(\beq{e_{j}}\otimes\beq{e_{k}})\,\cdot\,(\beq{e_{l}}\otimes\beq{e_{m}})
\tag{3.3.14}
\label{3.3.14}
\end{equation}
Cette dernière expression devient, compte tenu de la relation (3.3.7) :
\begin{equation}
\beq{U}\,\cdot\,\beq{V}=u^{jk}\,v^{lm}\,g_{jl}\,g_{km}
\tag{3.3.15}
\label{3.3.15}
\end{equation}
On retrouve l’expression générale du produit scalaire de deux vecteurs donnée par la
relation (1.4.4), où la numérotation des composantes doit être convenablement adaptée.
Les quantités $(g_{jl}\,g_{km})$ représentent les produits scalaires des vecteurs de base de l’espace
$E_{n}^{(2)}$.
L’espace produit tensoriel $E_{n}^{(2)}$, ainsi pourvu d’un produit scalaire, devient un espace produit tensoriel pré-euclidien. Ses éléments sont des tenseurs pré-euclidiens.
Composantes contravariantes - Soit une base $(\beq {e_{i}}\otimes \beq {e_{j}})$ de l’espace tensoriel pré-euclidien $E_{n}^{(2)}$. Les tenseurs pré-euclidiens $\mathbf {U}$ de $E_{n}^{(2)}$ s’écrivent sous la forme générale suivante :
\begin{equation}
\beq{U}=u^{ij}\,(\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}})
\tag{3.3.16}
\label{3.3.16}
\end{equation}
Les composantes $u^{ij}$ sont appelées les composantes contravariantes du tenseur $\mathbf {U}$. Au chapitre Premier, on a vu que, pour les vecteurs pré-euclidiens, ces composantes se transforment, lors d’un changement de base, selon des relations qui sont le contraire de celles des vecteurs de base. On verra qu’il en est évidemment de même pour les composantes contravariantes des tenseurs pré-euclidiens.
Composantes covariantes - Rappelons que les composantes covariantes $x_{j}$ d’un vecteur quelconque $\mathbf {x}$ sont définies de manière générale, par la relation (1.5.7) :
\begin{equation}
x_{j}=\beq{x}\,\cdot\,\beq{e_{j}}
\tag{3.3.17}
\label{3.3.17}
\end{equation}
Par suite, la relation (3.3.12), qui donne la valeur du produit scalaire d’un tenseur $\mathbf {U}$ par un vecteur de base, soit :
\begin{equation}
\beq{U}\,\cdot\,(\beq{e_{l}}\otimes\beq{e_{m}})=u^{jk}\,g_{jl}\,g_{km}
\tag{3.3.18}
\label{3.3.18}
\end{equation}
représente l’expression de la composante covariante $u_{lm}$ du tenseur $\mathbf {U}$. On a donc :
\begin{equation}
u_{lm}=u^{jk}\,g_{jl}\,g_{km}
\tag{3.3.19}
\label{3.3.19}
\end{equation}
On verra que les composantes covariantes se transforment, lors d’un changement de base, de même manière que les vecteurs de base.
Composantes mixtes - On a vu, au chapitre 2, qu’apparaissent également les
composantes mixtes des tenseurs. On définit, par exemple, la composante mixte $u_{j}^{i}$, à partir
de ses composantes contravariantes, par : \begin{equation}
u_{i}^{j}=g_{ik}\,u^{kj}
\tag{3.3.20}
\label{3.3.20}
\end{equation}
Cependant, on verra que l’étude des bases auxquelles sont rapportées les différentes composantes permet de mieux comprendre comment s’introduisent les composantes mixtes.
L’expression (3.3.15) représente le produit scalaire de deux tenseurs euclidiens en fonction de leurs composantes contravariantes, soit :
\begin{equation}
\beq{U}\,\cdot\,\beq{V}=u^{jk}\,v^{lm}\,g_{jl}\,g_{km}
\tag{3.3.21}
\label{3.3.21}
\end{equation}
Les composantes covariantes du tenseur $\mathbf {V}$ sont données par l’expression (3.3.19), à savoir $v_{lm}=v^{jk}\,g_{jl}\,g_{km}$, que l’on substitue dans la relation (3.3.21). On obtient l’expression du produit scalaire de deux tenseurs sous la forme :
\begin{equation}
\beq{U}\,\cdot\,\beq{V}=u^{jk}\,v_{jk}
\tag{3.3.22}
\label{3.3.22}
\end{equation}
On retrouve l’expression (1.5.18) du produit scalaire de deux vecteurs en fonction de leurs composantes contravariantes et covariantes.
Les résultats précédents se généralisent pour des tenseurs d’ordre quelconque. Soit un espace tensoriel $E_{n}^{(p)}$ dont les vecteurs de base notés : $(\beq {e_{i_{1}}}\otimes \beq {e_{i_{2}}}\otimes ...\otimes \beq {e_{i_{p}}})$, la relation (3.3.7) devient :
\begin{equation}
(\beq{e_{i_{1}}}\otimes\beq{e_{i_{2}}}\otimes...\otimes\beq{e_{i_{p}}})\,\cdot\,(\beq{e_{j_{1}}}\otimes\beq{e_{j_{2}}}\otimes...\otimes\beq{e_{j_{p}}})=g_{i_{1}j_{1}}\,g_{i_{2}j_{2}}\,...\,g_{i_{p}j_{p}}
\tag{3.3.23}
\label{3.3.23}
\end{equation}
Le produit scalaire de deux tenseurs $\mathbf {U}$ et $\mathbf {V}$ de $E_{n}^{(p)}$ s’écrit, en généralisant la relation (3.3.15) :
\begin{equation}
\beq{U}\,\cdot\,\beq{V}=u^{i_{1}\,i_{2}\,...\,i_{p}}\,v^{j_{1}\,j_{2}\,...\,j_{p}}\,g_{i_{1}j_{1}}\,g_{i_{2}j_{2}}\,...\,g_{i_{p}j_{p}}
\tag{3.3.24}
\label{3.3.24}
\end{equation}
Les relations entre les composantes covariantes et contravariantes, données par (3.3.19), s’écrivent pour un tenseur d’ordre $p$ :
\begin{equation}
v_{i_{1}\,i_{2}\,...\,i_{p}}=v^{j_{1}\,j_{2}\,...\,j_{p}}\,g_{i_{1}j_{1}}\,g_{i_{2}j_{2}}\,...\,g_{i_{p}j_{p}}
\tag{3.3.25}
\label{3.3.25}
\end{equation}
La généralisation de la relation (3.3.22) donne également l’expression du produit scalaire en fonction des composantes contravariantes et covariantes ; on a la relation :
\begin{equation}
\beq{U}\,\cdot\,\beq{V}=u^{i_{1}\,i_{2}\,...\,i_{p}}\,v_{i_{1}\,i_{2}\,...\,i_{p}}
\tag{3.3.26}
\label{3.3.26}
\end{equation}
Le produit scalaire de deux vecteurs est donné par la somme des produits de leurs composantes contravariantes et covariantes.