On considère deux systèmes de coordonnées curvilignes tels que :
\begin{equation*}
\bar{u}^{i}=\bar{u}^{i}(u^{1},u^{2},...,u^{n})\,\,\,\,;\,\,\,\,u^{j}=u^{j}(\bar{u}^{1},\bar{u}^{2},...,\bar{u}^{n})
\tag{5.5.1}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sgammaeq{k}{j}{i}=\partial_{i}\,\bar{u}^{l}\,\partial_{m}\,u^{j}\,\partial_{k}\,\bar{u}^{h}\,\sgammaeqbar{h}{m}{l}+\partial_{l}\,u^{j}\,\partial_{ki}\,\bar{u}^{l}
\tag{5.5.2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sgammaeq{k}{j}{i}=\partial_{l}\,u^{j}\,\partial_{ki}\,\bar{u}^{l}
\tag{5.5.3}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sgammaeq{k}{j}{i}=A’^{l}_{i}\,A^{j}_{m}\,A’^{h}_{k}\,\sgammaeqprim{h}{m}{l}+A^{j}_{l}\,\partial_{k}\,A’^{l}_{i}
\tag{5.5.4}
\end{equation*}
Remplaçant les quantités $A$ et $A'$ par les expressions (4.3.16), soit :
\begin{equation*}
(a)\,\,\,\,A’^{k}_{i}=\partial_{i}\,\bar{u}^{k}\,\,\,\,;\,\,\,\,(b)\,\,\,\,A^{i}_{k}=\partial_{k}\,u^{i}
\tag{5.5.5}
\end{equation*}
On obtient l’expression demandée :
\begin{equation*}
\sgammaeq{k}{j}{i}=\partial_{i}\,\bar{u}^{l}\,\partial_{m}\,u^{j}\,\partial_{k}\,\bar{u}^{h}\,\sgammaeqbar{h}{m}{l}+\partial_{l}\,u^{j}\,\partial_{ki}\,\bar{u}^{l}
\tag{5.5.6}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sgammaeq{k}{j}{i}=\partial_{l}\,u^{j}\,\partial_{ki}\,\bar{u}^{l}
\tag{5.5.7}
\end{equation*}
On considère dans un plan, un système de coordonnées cartésiennes, $x^{1}$, $x^{2}$, et un système de coordonnées curvilignes $u^{1}$, $u^{2}$ définies par : $x^{1}=u^{1}\,\text {cos}\,u^{2}$ ; $x^{2}=u^{1}\,\text {sin}\,u^{2}$ (coordonnées polaires). Les composantes covariantes $g_{ij}$ du tenseur métrique ont été calculées au cours de l’exercice (4.2), soit :
\begin{equation*}
g_{11}=1\,\,\,;\,\,\,g_{12}=g_{21}=0\,\,\,;\,\,\,g_{22}=(u^{1})^{2}
\tag{5.5.8}
\end{equation*}
\begin{equation*}
g^{11}=1\,\,\,;\,\,\,g^{12}=g^{21}=0\,\,\,;\,\,\,g^{22}=1/(u^{1})^{2}
\tag{5.5.9}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\pgammaeq{jki}=\dfrac{1}{2}\,(\partial_{k}\,g_{ij}+\partial_{i}\,g_{jk}-\partial_{j}\,g_{ki})
\tag{5.5.10}
\end{equation*}
Les symboles de deuxième espèce sont liées aux précédents, selon (5.1.39), par :
\begin{equation*}
\sgammaeq{k}{i}{j}=g^{il}\,\pgammaeq{lkj}=\dfrac{1}{2}\,g^{il}\,(\partial_{k}\,g_{jl}+\partial_{j}\,g_{lk}-\partial_{l}\,g_{kj})
\tag{5.5.11}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\partial_{1}\,g_{22}=\partial_{1}\,(u^{1})^{2}=2\,u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{2}\,g_{22}=\partial_{2}\,(u^{1})^{2}=0
\tag{5.5.12}
\end{equation*}
Les symboles de première espèce $\pgammaeq {jki}$ non nuls sont tels que :
\begin{equation*}
k,i,j=1,2,2\,\,\,\,;\,\,\,\,i,j,k=1,2,2\,\,\,\,;\,\,\,\,j,k,i=1,2,2
\tag{5.5.13}
\end{equation*}
d’où :
\begin{equation*}
\pgammaeq{122}=u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\pgammaeq{221}=u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\pgammaeq{212}=-u^{1}
\tag{5.5.14}
\end{equation*}
Les symboles de deuxième espèce sont :
\begin{align*}
\sgammaeq{1}{1}{1} &= 0\,\,\,\,&\,\,\,\,\sgammaeq{1}{1}{2}=0\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{2}{1}{1}=0\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{2}{1}{2}=-u^{1}\\
\sgammaeq{1}{2}{1} &= 0\,\,\,\,&\,\,\,\,\sgammaeq{1}{2}{2}=1/u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{2}{2}{1}=1/u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{2}{2}{2}=0
\tag{5.5.15}
\end{align*}
\begin{equation*}
u^{1}=\sqrt{(x^{1})^{2}+(x^{2})^{2}}\,\,\,\,;\,\,\,\,u^{2}=\text{arctan}\,(x^{2}/x^{1})
\tag{5.5.16}
\end{equation*}
Le calcul des dérivées premières partielles des fonctions $u^{i}\,(x^{1},x^{2})$ nous donne :
\begin{equation*}
\partial_{1}\,u^{1}=x^{1}/u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{2}\,u^{1}=x^{2}/u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{1}\,u^{2}=-x^{2}/(u^{1})^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{2}\,u^{2}=x^{1}/(u^{1})^{2}
\tag{5.5.17}
\end{equation*}
Le calcul des dérivées premières partielles des fonctions $x^{j}\,(u^{1},u^{2})$ nous donne :
\begin{align*}
\partial_{11}\,x^{1} &= 0\,\,\,\,&\,\,\,\,\partial_{12}\,x^{1}=-\text{sin}\,u^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{22}\,x^{1}=-u^{1}\,\text{cos}\,u^{2}\\
\partial_{11}\,x^{2} &= 0\,\,\,\,&\,\,\,\,\partial_{12}\,x^{2}=\text{cos}\,u^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{22}\,x^{2}=-u^{1}\,\text{sin}\,u^{2}
\tag{5.5.18}
\end{align*}
L’utilisation de la formule $\sgammaeq {k}{j}{i}=\partial _{l}\,u^{j}\,\partial _{ki}\,x^{l}$ permet de retrouver les valeurs calculées précédemment. On a, par exemple :
\begin{align*}
\sgammaeq{1}{1}{1} &= \,\,\partial_{1}\,u^{1}\,\partial_{11}\,x^{1}+\partial_{2}\,u^{1}\,\partial_{11}\,x^{2} = 0\\
\sgammaeq{2}{1}{2} &= \,\,\partial_{1}\,u^{1}\,\partial_{22}\,x^{1}+\partial_{2}\,u^{1}\,\partial_{22}\,x^{2} = -u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\text{etc.}
\tag{5.5.19}
\end{align*}
Les composantes covariantes du tenseur métrique, en coordonnées sphériques $r,\theta ,\varphi $, sont :
\begin{equation*}
g_{11}=1\,\,\,;\,\,\,g_{22}=r^{2}\,\,\,;\,\,\,g_{33}=r^{2}\,\text{sin}^{2}\theta\,\,\,;\,\,\,g_{ij}=0\,\,\,\,\text{si}\,\,\,i\,\neq\,j
\tag{5.5.20}
\end{equation*}
Les coordonnées sphériques sont définies par :
\begin{equation*}
x=r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,\,\,;\,\,\,x=r\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\,\,;\,\,\,z=r\,\text{cos}\,\theta
\tag{5.5.21}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\pgammaeq{jki}=\dfrac{1}{2}\,(\partial_{k}\,g_{ij}+\partial_{i}\,g_{jk}-\partial_{j}\,g_{ki})
\tag{5.5.22}
\end{equation*}
Notons les coordonnées $u^{1}=r$, $u^{2}=\theta $, $u^{3}=\varphi $ ; les dérivées partielles non nulles sont les suivantes :
\begin{equation*}
\partial_{1}\,g_{22}=2\,r\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{1}\,g_{33}=2\,r\,\text{sin}^{2}\,\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,\partial_{2}\,g_{33}=2\,r^{2}\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\theta
\tag{5.5.23}
\end{equation*}
L’application de la formule (5.1.38) nous donne neuf symboles de Christoffel non nuls, à savoir :
\begin{align*}
\pgammaeq{212} &= -r\,\,\,\,;\,\,\,\,\pgammaeq{323}=-r^{2}\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,\pgammaeq{313}=-r\,\text{sin}^{2}\,\theta\\
\pgammaeq{122} &= \pgammaeq{221}=r\,\,\,\,;\,\,\,\,\pgammaeq{133}=\pgammaeq{331}=r\,\text{sin}^{2}\,\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,\pgammaeq{332}=\pgammaeq{233}=r^{2}\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\theta
\tag{5.5.24}
\end{align*}
\begin{align*}
\sgammaeq{2}{1}{2} &= -r\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{2}{2}{1} = \sgammaeq{1}{2}{2}=1/r\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{3}{1}=\sgammaeq{1}{3}{3} = 1/r\\
\sgammaeq{3}{1}{3} &= -r\,\text{sin}^{2}\,\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{2}{3} = -\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{2}{3}{3} = \sgammaeq{3}{3}{2}=\text{cotan}\,\theta
\tag{5.5.25}
\end{align*}
Lorsque la matrice du tenseur est symétrique est diagonale ($g_{ij}=0$ si $i\,\neq \,j$), montrer que pour des
indices donnés (c’est-à-dire pour des symboles où la présence de deux indices identiques
n’indique pas de sommation), on a pour les symboles de Christoffel de seconde
espèce :
\begin{equation*}
\sgammaeq{i}{i}{j}=g^{ik}\,\pgammaeq{kij}=g^{ii}\,\pgammaeq{iij}=\dfrac{1}{g_{ii}}\,\bigg(\dfrac{1}{2}\,\partial_{j}\,g_{ii}\bigg)=\dfrac{1}{2}\,\partial_{j}\,\text{ln}|g_{ii}|
\tag{5.5.26}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sgammaeq{j}{i}{j}=g^{ik}\,\pgammaeq{kjj}=g^{ii}\,\pgammaeq{ijj}=\dfrac{1}{g_{ii}}\,\bigg(-\dfrac{1}{2}\,\partial_{i}\,g_{jj}\bigg)
\tag{5.5.27}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sgammaeq{i}{j}{j}=g^{jp}\,\pgammaeq{pik}=g^{jj}\,\pgammaeq{jik}=\dfrac{g^{jj}}{2}\,(\partial_{i}\,g_{jk}+\partial_{k}\,g_{ij}+\partial_{j}\,g_{ik})=0
\tag{5.5.28}
\end{equation*}
En utilisant les résultats de l’exercice (5.4), calculer les symboles de Christoffel de seconde espèce en coordonnées sphériques $u^{1},u^{2},u^{3}$.
Les composantes covariantes du tenseur fondamental en coordonnées sphériques $u^{1},u^{2},u^{3}$
sont :
\begin{equation*}
g_{11}=1\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{22}=(u^{1})^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{33}=(u^{1})^{2}\,\text{sin}^{2}\,u^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{ij}=0\,\,\,\,\text{si}\,\,\,\,i\,\neq\,j
\tag{5.5.29}
\end{equation*}
On est donc bien dans le cas d’une matrice diagonale du tenseur métrique. Utilisant les formules de l’exercice (5.4), soit :
\begin{equation*}
\sgammaeq{i}{i}{j}=\sgammaeq{j}{i}{i}=(1/2)\,\partial_{j}\,\text{ln}|g_{ii}|
\tag{5.5.30}
\end{equation*}
on obtient les valeurs des symboles de Christoffel non nuls :
\begin{equation*}
\sgammaeq{2}{2}{1}=\sgammaeq{1}{2}{2}=(1/2)\,\partial_{1}\,\text{ln}\,(u^{1})^{2}=\dfrac{1}{u^{1}}\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{3}{1}=\sgammaeq{1}{3}{3}=\dfrac{1}{u^{1}}\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{3}{2}=\sgammaeq{2}{3}{3}=\text{cotan}\,u^{2}
\tag{5.5.31}
\end{equation*}
La formule suivante : $\sgammaeq {j}{i}{j}=-(1/2\,g_{ii})\,\partial _{i}\,g_{jj}$, nous donne les valeurs non nulles suivantes :
\begin{equation*}
\sgammaeq{2}{1}{2}=-(1/2)\,\partial_{1}\,(u^{1})^{2}=-u^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{1}{3}=-u^{1}\,\text{sin}^{2}\,u^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{2}{3}=-\text{sin}\,u^{2}\,\text{cos}\,u^{2}
\tag{5.5.32}
\end{equation*}
On obtient neuf symboles de Christoffel de seconde espèce non nuls ; les 18 autres sont nuls.
Une particule se déplace le long d’une trajectoire définie en coordonnées sphériques
$r,\theta ,\varphi $.
Déterminer les composantes contravariantes $a^{k}$ de l’accélération $\mathbf {a}$ de cette particule pour les
trajectoires suivantes.
\begin{align*}
\sgammaeq{2}{2}{1} &= \sgammaeq{1}{2}{2} = \dfrac{1}{u^{1}} = \dfrac{1}{c}\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{3}{1} = \sgammaeq{1}{3}{3} = \dfrac{1}{u^{1}} = \dfrac{1}{c}\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{3}{2} = \sgammaeq{2}{3}{3} = \text{cotan}\,\omega\,t\\
\sgammaeq{2}{1}{2} &= -u^{1} = -c\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{1}{3} = -c\,\text{sin}^{2}\,\omega\,t\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{2}{3} = -\text{sin}\,\omega\,t\,\text{cos}\,\omega\,t
\tag{5.5.33}
\end{align*}
Les composantes contravariantes de l’accélération sont les suivantes :
\begin{equation*}
a^{1}=\dfrac{d^{2}\,u^{1}}{\text{d}t^{2}}+\sgammaeq{i}{1}{k}\,\dfrac{\text{d}u^{i}}{\text{d}t}\,\dfrac{\text{d}u^{k}}{\text{d}t}=0+\sgammaeq{2}{1}{2}\,\bigg(\dfrac{\text{d}u^{2}}{\text{d}t}\bigg)^{2}+\sgammaeq{3}{1}{3}\,\bigg(\dfrac{\text{d}u^{3}}{\text{d}t}\bigg)^{2}=-c\,\omega^{2}
\tag{5.5.34}
\end{equation*}
\begin{equation*}
a^{2}=0\,\,\,\,;\,\,\,\,a^{3}=0
\tag{5.5.35}
\end{equation*}
On retrouve l’expression classique de l’accélération d’une particule effectuant une trajectoire circulaire à vitesse constante.
\begin{align*}
\sgammaeq{2}{2}{1} &= \sgammaeq{1}{2}{2} = \dfrac{1}{u^{1}} = \dfrac{1}{c}\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{3}{1} = \sgammaeq{1}{3}{3} = \dfrac{1}{u^{1}} = \dfrac{1}{c}\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{3}{2} = \sgammaeq{2}{3}{3} = \text{cotan}\,\pi/4=1\\
\sgammaeq{2}{1}{2} &= -u^{1}=-c\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{1}{3} = -c\,\text{sin}^{2}\,\pi/4 = -(c/2)\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{2}{3} = -(1/2)
\tag{5.5.36}
\end{align*}
Les composantes contravariantes de l’accélération sont les suivantes :
\begin{align*}
a^{1} &= \dfrac{d^{2}\,u^{1}}{\text{d}t^{2}}+\sgammaeq{i}{1}{k}\,\dfrac{\text{d}u^{i}}{\text{d}t}\,\dfrac{\text{d}u^{k}}{\text{d}t} = 0+\sgammaeq{2}{1}{2}\,\bigg(\dfrac{\text{d}u^{2}}{\text{d}t}\bigg)^{2}+\sgammaeq{3}{1}{3}\,\bigg(\dfrac{\text{d}u^{3}}{\text{d}t}\bigg)^{2} = -\dfrac{c\,\omega^{2}}{2}\\
a^{2} &= 0+2\,\sgammaeq{1}{2}{2}\,\,\dfrac{\text{d}u^{1}}{\text{d}t}\,\dfrac{\text{d}u^{2}}{\text{d}t}+\sgammaeq{3}{2}{3}\,\bigg(\dfrac{\text{d}u^{3}}{\text{d}t}\bigg)^{2} = -\dfrac{\omega^{2}}{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,a^{3} = 0
\tag{5.5.37}
\end{align*}
Les composantes covariantes du tenseur fondamental le long de la trajectoire sont :
\begin{equation*}
g_{11}=1\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{22}=c^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,g_{33}=c^{2}/2\,\,\,\,\text{d’o\‘u}\,\,\,\,||\beq{a}||=\sqrt{g_{ij}\,a^{i}\,a^{j}}=c\,\omega^{2}/\sqrt{2}
\tag{5.5.38}
\end{equation*}
Le rayon du cercle parcouru est : $r=c\,\text {sin}\,(\pi /4)=c/\sqrt {2}$ d’où :
\begin{equation*}
||\beq{a}||=c\,\omega^{2}/\sqrt{2}=r\,\omega^{2}
\tag{5.5.39}
\end{equation*}
Calculer l’expression de la divergence en coordonnées sphériques $r,\theta ,\varphi $ :
La divergence d’un champ de vecteurs est donnée par la formule (5.4.13) :
\begin{equation*}
\text{div}\,\beq{A}=\partial_{i}\,A^{i}+\dfrac{A^{i}}{\sqrt{|g|}}\,\partial_{i}\,\sqrt{|g|}
\tag{5.5.40}
\end{equation*}
Notons $r=x^{1}$, $\theta =x^{2}$, $\varphi =x^{2}$ ; on a : $g=(x^{1})^{4}\,\text {sin}^{2}\,x^{2}$.
\begin{equation*}
\text{div}\,\beq{A}=\partial_{1}\,A^{1}+\partial_{2}\,A^{2}+\partial_{3}\,A^{3}+\dfrac{2}{x^{1}}\,A^{1}+A^{2}\,\text{cotan}\,x^{2}
\tag{5.5.41}
\end{equation*}
\begin{equation*}
||\beq{e_{1}}=1\,\,\,\,;\,\,\,\,||\beq{e_{2}}||=r\,\,\,\,;\,\,\,\,||\beq{e_{3}}||=r\,\text{sin}\,\theta
\tag{5.5.42}
\end{equation*}
Sur une base orthonormée, les composantes covariantes et contravariantes sont identiques. On a alors les relations :
\begin{equation*}
A_{r}=A^{1}\,\,\,\,;\,\,\,\,A_{\theta}=r\,A^{2}\,\,\,\,;\,\,\,\,A_{\varphi}=r\,\text{sin}\,\theta\,A^{3}
\tag{5.5.43}
\end{equation*}
L’expression précédente de la divergence nous donne, en remplaçant les variables et les composantes par leur écriture traditionnelle :
\begin{equation*}
\text{div}\,\beq{A}=\dfrac{\partial\,A_{r}}{\partial\,r}+\dfrac{1}{r}\,\dfrac{\partial\,A_{\theta}}{\partial\,\theta}+\dfrac{1}{r\,\text{sin}\,\theta}\,\dfrac{\partial\,A_{\varphi}}{\partial\,\varphi}+\dfrac{2}{r}\,A_{r}+\dfrac{\text{cotan}\,\theta}{r}\,A_{\theta}
\tag{5.5.44}
\end{equation*}
On retrouve l’expression classique de la divergence en coordonnées sphériques dont les vecteurs de la base naturelle ont été normés.
\begin{equation*}
\partial_{k}\,g_{ij}=\pgammaeq{ijk}+\pgammaeq{jki}
\tag{5.5.45}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\partial_{m}\,g^{lj}=-g^{li}\,\sgammaeq{m}{j}{i}-g^{jk}\,\sgammaeq{m}{l}{k}
\tag{5.5.46}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\pgammaeq{ijk}+\pgammaeq{jki}=\dfrac{1}{2}\,(\partial_{j}\,g_{ik}+\partial_{k}\,g_{ji}-\partial_{i}\,g_{jk})+\dfrac{1}{2}\,(\partial_{k}\,g_{ij}+\partial_{i}\,g_{jk}-\partial_{j}\,g_{ki})=\partial_{k}\,g_{ji}
\tag{5.5.47}
\end{equation*}
\begin{equation*}
g_{ik}\,g^{kj}=\delta_{i}^{j}\,\,\,\,,\text{d’\o\‘u}\,\,\,\,\partial_{m}\,(g_{ik}\,g^{kj})=\partial_{m}\,(\delta_{i}^{j})=0
\tag{5.5.48}
\end{equation*}
D’autre part, on a :
\begin{equation*}
\partial_{m}\,(g_{ik}\,g^{kj})=g_{ik}\,\partial_{m}\,g^{kj}+g^{kj}\,\partial_{m}\,g_{ik}=0\,\,\,\,,soit\,\,\,\,g_{ik}\,\partial_{m}\,g^{kj}=-g^{kj}\,\partial_{m}\,g_{ik}
\tag{5.5.49}
\end{equation*}
Multipliant par $g^{il}$ et sommant, il vient :
\begin{equation*}
g^{il}\,g_{ik}\,\partial_{m}\,g^{kj}=-g^{il}\,g^{kj}\,\partial_{m}\,g_{ik}
\tag{5.5.50}
\end{equation*}
Utilisant de nouveau la relation (1.5.45) ainsi que la relation obtenue à la question (1), on obtient :
\begin{equation*}
\delta_{k}^{i}\,\partial_{m}\,g^{kj}=-g^{il}\,g^{kj}\,(\pgammaeq{kim}+\pgammaeq{imk})\,\,\,\,\text{soit}\,\,\,\,\partial_{m}\,g^{lj}=-g^{li}\,\sgammaeq{m}{j}{i}-g^{jk}\,\sgammaeq{m}{l}{k}
\tag{5.5.51}
\end{equation*}
Démontrer que les dérivées covariantes des composantes des tenseurs suivants sont nulles :
\begin{equation*}
\text{D}\,g_{ij}=\text{D}\,g^{ij}=0
\tag{5.5.52}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\nabla_{k}\,\delta^{r}_{s}=\partial_{k}\,\delta^{r}_{s}+\delta^{i}_{s}\,\sgammaeq{k}{r}{i}-\delta^{r}_{i}\,\sgammaeq{k}{i}{s}=0+\sgammaeq{k}{r}{s}-\sgammaeq{k}{r}{s}=0
\tag{5.5.53}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\nabla_{k}\,g_{ij}=\partial_{k}\,g_{ij}-g_{lj}\,\sgammaeq{k}{l}{i}-g_{il}\,\sgammaeq{k}{l}{j}=\partial_{k}\,g_{ij}-\pgammaeq{jki}-\pgammaeq{ikj}
\tag{5.5.54}
\end{equation*}
La question (1) de l’exercice (5.8) nous donne : $\partial _{k}\,g_{ij}=\pgammaeq {ijk}+\pgammaeq {jki}$, d’où :
\begin{equation*}
\nabla_{k}\,g_{ij}=0
\tag{5.5.55}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\nabla_{k}\,g^{ij}=\partial_{k}\,g^{ij}+g^{lj}\,\sgammaeq{l}{i}{k}+g^{il}\,\sgammaeq{l}{j}{k}
\tag{5.5.56}
\end{equation*}
L’exercice (5.8) question (2) nous donne, en changeant les indices :
\begin{equation*}
\partial_{k}\,g^{ij}=-g^{li}\,\sgammaeq{l}{j}{k}-g^{lj}\,\sgammaeq{k}{i}{l}
\tag{5.5.57}
\end{equation*}
d’où : $\nabla _{k}\,g^{ij}=0$
\begin{equation*}
\text{D}\,g_{ij}=\nabla_{k}\,g_{ij}\,\text{d}u^{k}
\tag{5.5.58}
\end{equation*}
où les $u^{k}$ sont les coordonnées curvilignes de l’espace ponctuel considéré. Puisque toutes les dérivées covariantes sont nulles, on a :
\begin{equation*}
\text{D}\,g_{ij}=0
\tag{5.5.59}
\end{equation*}
et de même $\text {D}\,g^{ij}=0$. C’est le théorème de Ricci.