À chaque point $M$ d’un espace ponctuel $\varepsilon _{n}$, on peut associer un repère naturel $(M,\beq {e_{i}})$ dont les
vecteurs $\beq {e_{i}}=\partial _{i}\,\beq {M}$ constituent une base de l’espace vectoriel associé $E_{n}$.
Réciproquement, démontrons qu’à toute base de $E_{n}$, on peut associer une base naturelle de $\varepsilon _{n}$ en choisissant un système de coordonnées curvilignes convenable. Pour cela, considérons une base quelconque $\mathbf {e'_{k}}$ de $E_{n}$ et soit $(M,\beq {e_{i}})$ un repère naturel de $\varepsilon _{n}$ correspondant à un système de coordonnées $u^{i}$. Les vecteurs $\mathbf {e'_{k}}$ s’écrivent dans le repère $(M,\beq {e_{i}})$ : $\beq {e'_{k}}=A^{i}_{k}\,\beq {e_{i}}$. Effectuons un changement de coordonnées $u'_{k}$ tel que : $u^{i}=A^{i}_{k}\,u'^{k}$ ; il correspond alors aux nouvelles coordonnées $u'_{k}$ la nouvelle base naturelle $e'_{k}$ telle que :
\begin{equation}
\beq{e’_{k}}=\dfrac{\partial\,\beq{M}}{\partial\,u’^{k}}=\dfrac{\partial\,\beq{M}}{\partial\,u^{i}}\,\dfrac{\partial\,u^{i}}{\partial\,u’^{k}}=\beq{e_{i}}\,A^{i}_{k}
\tag{5.1.1}
\label{5.1.1}
\end{equation}
En conclusion, l’ensemble des bases naturelles, en un même point $M$ de $\varepsilon _{n}$, est identique à
l’ensemble des bases de l’espace vectoriel $E_{n}$ associé à $\varepsilon _{n}$. Par suite, les tenseurs construits sur
les vecteurs de base de l’espace vectoriel $E_{n}$ vont pouvoir également être définis sur les bases
naturelles $\mathbf {e_{i}}$ de l’espace ponctuel $\varepsilon _{n}$.
Pour cela, attachons à chaque point $M$ de $\varepsilon _{n}$, un tenseur euclidien défini par ses
composantes relatives au repère naturel au point $M$ d’un système de coordonnées $y^{i}$. On dira
que l’on s’est donné un champ de tenseurs dans ce système de coordonnées
curvilignes.
On appellera tenseur au point $M$ sur $\varepsilon _{n}$, tout tenseur sur l’espace vectoriel associé $E_{n}$,
attaché à un point $M$ de $\varepsilon _{n}$. En particulier un vecteur de $E_{n}$ est également appelé vecteur sur
$\varepsilon _{n}$.
Si $(\beq {e_{i}})$ est une base arbitraire de $\varepsilon _{n}$, associée à un système de coordonnées $u^{i}$ et définie en un point $M$ quelconque de $\varepsilon _{n}$, tout tenseur $\mathbf {U}$ sur $\varepsilon _{n}$ peut être explicité à l’aide de cette base. Par exemple, un tenseur d’ordre trois, s’écrit :
\begin{equation}
\beq{U}=u^{ijk}\,(\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}}\otimes\beq{e_{k}})
\tag{5.1.2}
\label{5.1.2}
\end{equation}
et l’on dit que les quantités $u^{ijk}$ constituent les composantes naturelles du tenseur $\mathbf {U}$ au point $M$, en coordonnées définissant les vecteur $\mathbf {e_{i}}$. Si $\varepsilon _{n}$ est un espace ponctuel pré-euclidien, tous les développements que l’on a vus précédemmment sur les tenseurs pré-euclidiens s’appliquent aux tenseurs sur l’espace $\varepsilon _{n}$.
L’étude des champs de tenseurs constitue, pour le physicien, l’essentiel de l’analyse
tensorielle. Le tenseur générique $\mathbf {U}$ de ce champ est une fonction du point $M$ et on le note $\beq {U}(M)$.
Si le tenseur $\mathbf {U}$ est une fonction seulement de $M$, le champ considéré est appelé
un champ fixe. Si $\mathbf {U}$ est, en outre, une fonction d’un ou plusieurs paramètres $\alpha $
autres que les coordonnées de $M$, on dit que ce champ est variable et on le note
$\beq {U}(M,\alpha )$.
Les différentes opérations algébriques sur les tenseurs $\beq {U}(M)$ associés à un même point $M$ ne
soulèvent pas de difficulté particulière. La dérivée de $\beq {U}(M)$ par rapport à un seul
paramètre $\alpha $ conduit à utiliser les résultats classiques relatifs à la dérivation des
vecteurs.
Variation des repères naturels - Une difficulté nouvelle apparaît lorsqu’on cherche à
calculer la dérivée d’un tenseur $\beq {U}(M)$ par rapport aux coordonnées curvilignes. En effet, les
composantes du tenseur sont définis en chaque point $M$ par rapport à un repère naturel qui
varie d’un point à un autre. Par suite, le calcul de la variation élémentaire $\beq {U}(M')-\beq {U}(M)$, lorsqu’on
passe d’un point $M$ à un point infiniment voisin $M'$ ne peut se faire que si l’on a
recours à une même base. Pour pouvoir comparer l’un à l’autre les tenseurs $\beq {U}(M')$ et
$\beq {U}(M)$, on est amené à étudier comment varie un repère naturel, pour un système
de coordonnées donné, lorsqu’on passe d’un point $M$ au point infiniment voisin
$M'$.
Pour un système de coordonnées curvilignes $u^{i}$ donné d’un espace ponctuel $\varepsilon _{n}$, un
problème fondamental de l’analyse tensorielle consiste donc à déterminer, par rapport au
repère naturel $(M,\beq {e_{i}})$ au point $M$, le repère naturel $(M',\beq {e'_{i}})$ au point voisin $M'$.
D’une part, le point $M'$ sera parfaitement défini par rapport à $M$ si l’on détermine le vecteur d $\mathbf {M}$ tel que $\beq {MM'}=$d$\mathbf {M}$. Pour des coordonnées curvilignes $u^{k}$, la décomposition d’un vecteur élémentaire d $\mathbf {M}$ est donnée par la relation (4.3.3), soit :
\begin{equation}
\text{d}\beq{M}=\partial_{k}\,\beq{M}\,\text{d}u^{k}=\beq{e_{k}}\,\text{d}u^{k}
\tag{5.1.3}
\label{5.1.3}
\end{equation}
Les quantités $\text {d}u^{k}$ sont les composantes contravariantes du vecteur d$\mathbf {M}$ sur la base naturelle
$\mathbf {e_{k}}$.
D’autre part, les vecteurs $\mathbf {e'_{i}}$ vont pouvoir être déterminés en calculant les variations
élémentaires d$\mathbf {e_{i}}$ des vecteurs $\mathbf {e_{i}}$, par rapport au repère naturel $(M,\beq {e_{i}})$, lorsqu’on passe de $M$ à $M'$ ; on a
alors $\beq {e'_{i}}=\beq {e_{i}}+\text {d}\beq {e_{i}}$. Le calcul des vecteurs d$\mathbf {e_{i}}$ reste alors le problème essentiel à résoudre. Nous
allons tout d’abord étudier un exemple de ce type de calcul en coordonnées
sphériques.
Comparaison des vecteurs entre eux - Un aspect plus général du problème étudié
ci-dessus est le suivant : pour que comparer deux espaces vectoriels correspondant à des
points différents ait un sens, il faut choisir une règle. Dans le cas présent des
espaces ponctuels, il y en a une qui s’impose naturellement : deux vecteurs $\beq {U}(M)$
et $\beq {U}(M')$ sont dits égaux s’ils se déduisent l’un de l’autre par une translation dans
$\varepsilon _{n}$.
Après avoir résolu le problème du calcul des variations élémentaires d$\mathbf {e_{i}}$ des vecteurs d’un repère naturel, nous verrons que l’étude des variations élémentaires par translation des vecteurs et des tenseurs nécessite l’introduction d’un nouveau type de dérivée.
Étudions le problème de la variation du repère naturel en coordonnées sphériques. Pour cela, reprenons l’expression des vecteurs $\mathbf {e_{i}}$ de la base naturelle en coordonnées sphériques, donnés par les relations (4.3.5) et (4.3.7) :
\begin{equation}
\begin{array}[b]{l}
\beq{e_{1}}=\partial_{1}\,\beq{M}=\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,\beq{i}+\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\beq{j}+\text{cos}\,\theta\,\beq{k}
\\
\beq{e_{2}}=\partial_{2}\,\beq{M}=r\,\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,\beq{i}+r\,\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\beq{j}-r\,\text{sin}\,\theta\,\beq{k}
\\
\beq{e_{3}}=\partial_{3}\,\beq{M}=-r\,\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\beq{i}+r\,\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,\beq{j}
\end{array}
\tag{5.1.4}
\label{5.1.4}
\end{equation}
avec $\beq {e^{0}_{1}}=\beq {i}$, $\beq {e^{0}_{2}}=\beq {j}$, $\beq {e^{0}_{3}}=\beq {k}$
Différentielles des vecteurs de la base naturelle - Les vecteurs de base $\mathbf {i}$, $\mathbf {j}$, $\mathbf {k}$ du repère fixe cartésien étant constants en module et en direction, la différentielle du vecteur $\mathbf {e_{i}}$ s’écrit :
\begin{equation}
\text{d}\beq{e_{1}}=(\text{cos}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,\beq{i}+\text{cos}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\beq{j})\,\text{d}\theta+(-\text{sin}\,\theta\,\text{sin}\,\varphi\,\beq{i}+\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\varphi\,\beq{j})\,\text{d}\varphi
\tag{5.1.5}
\label{5.1.5}
\end{equation}
On remarque que les termes entre parenthèses représentent respectivement les vecteurs $\beq {e_{2}}/r$ et $\beq {e_{3}}/r$, d’où :
\begin{equation}
\text{d}\beq{e_{1}}=(\text{d}\theta/r)\,\beq{e_{2}}+(\text{d}\varphi/r)\,\beq{e_{3}}
\tag{5.1.6}
\label{5.1.6}
\end{equation}
On calcule de même, en différentiant les vecteurs $\mathbf {e_{2}}$ et $\mathbf {e_{3}}$ :
\begin{equation}
\begin{array}[b]{l}
\text{d}\beq{e_{2}}=(-r\,\text{d}\theta)\,\beq{e_{1}}+(\text{d}r/r)\,\beq{e_{2}}+(\text{cotan}\,\theta\,\text{d}\varphi)\,\beq{e_{3}}\\
\text{d}\beq{e_{3}}=(-r\,\text{sin}^{2}\,\theta\,\text{d}\varphi)\,\beq{e_{1}}+(-\text{sin}\,\theta\,\text{cos}\,\theta\,\text{d}\varphi)\,\beq{e_{2}}+((\text{d}r/r)+\text{cotan}\,\theta\,\text{d}\theta)\,\beq{e_{3}}
\end{array}
\tag{5.1.7}
\label{5.1.7}
\end{equation}
Les différentielles $\text {d}\beq {e_{i}}$ sont ainsi décomposés sur la base naturelle $\mathbf {e_{i}}$. Si l’on note $\mixescomponents {k}{i}$ les composantes contravariantes du vecteur $\text {d}\beq {e_{i}}$, celui-ci s’écrit :
\begin{equation}
\text{d}\beq{e_{i}}=\mixescomponents{k}{i}\,\beq{e_{k}}
\tag{5.1.8}
\label{5.1.8}
\end{equation}
Les composantes $\mixescomponents {k}{i}$ des vecteurs $\text {d}\beq {e_{i}}$ sont des formes différentielles (combinaisons linéaires de différentielles). On a, par exemple :
\begin{equation}
\mixescomponents{2}{1}=\text{d}\theta/r\,\,\,\,;\,\,\,\,\mixescomponents{3}{3}=(\text{d}r/r)+\text{cotan}\,\theta\,\text{d}\theta
\tag{5.1.9}
\label{5.1.9}
\end{equation}
Symboles de Christoffel de deuxième espèce - Si l’on note de manière générale $u^{i}$ les coordonnées sphériques, on a :
\begin{equation}
u^{1}=r\,\,\,\,;\,\,\,\,u^{2}=\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,u^{3}=\varphi
\tag{5.1.10}
\label{5.1.10}
\end{equation}
Les différentielles des coordonnées sont alors notées : $\text {d}u^{1}=\text {d}r$, $\text {d}u^{2}=\text {d}\theta $, $\text {d}u^{3}=\text {d}\varphi $ et les composantes $\mixescomponents {j}{i}$ s’écrivent alors de manière générale :
\begin{equation}
\mixescomponents{j}{i}=\sgammaeq{k}{j}{i}\,\text{d}u^{k}
\tag{5.1.11}
\label{5.1.11}
\end{equation}
où les quantités $\Gamma ^{j}_{ki}$ sont des fonctions de $r,\theta ,\varphi $ qui vont être explicitement obtenues en identifiant chaque composante $\mixescomponents {j}{i}$. Par exemple, la composante $\mixescomponents {3}{3}$ s’écrit avec les notations de la relation (5.1.11) :
\begin{equation}
\mixescomponents{3}{3}=(\text{d}r/r)+\text{cotan}\,\theta\,\text{d}\theta=\sgammaeq{1}{3}{3}\,\text{d}u^{1}+\sgammaeq{2}{3}{3}\,\text{d}u^{2}+\sgammaeq{3}{3}{3}\,\text{d}u^{3}
\tag{5.1.12}
\label{5.1.12}
\end{equation}
Identifiant les coefficients des différentielles, il vient :
\begin{equation}
\sgammaeq{1}{3}{3}=(1/r)\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{2}{3}{3}=\text{cotan}\,\theta\,\,\,\,;\,\,\,\,\sgammaeq{3}{3}{3}=0
\tag{5.1.13}
\label{5.1.13}
\end{equation}
En procédant de même avec les neufs composantes $\mixescomponents {j}{i}$, on obtient les vingt sept termes $\Gamma ^{j}_{ki}$. Pour un système de coordonnées curvilignes quelconques, ces quantités $\Gamma ^{j}_{ki}$ sont appelés les symboles de Christoffel de deuxième espèce.
Symboles de deuxième espèce - Pour un espace ponctuel $\varepsilon _{n}$ et un système de coordonnées curvilignes $u^{i}$ quelconque, la différentielle $\text {d}\beq {e_{i}}=\mixescomponents {k}{i}\,\beq {e_{k}}$ des vecteurs $\mathbf {e_{i}}$ de la base naturelle s’écrit sur cette base :
\begin{equation}
\text{d}\beq{e_{i}}=\mixescomponents{j}{i}\,\beq{e_{j}}=\sgammaeq{k}{j}{i}\,\text{d}u^{k}\,\beq{e_{j}}
\tag{5.1.14}
\label{5.1.14}
\end{equation}
où les $n^{3}$ symboles de Christoffel de deuxième espèce sont des fonctions des coordonnées
curvilignes $u^{i}$.
On vient de voir, sur l’exemple des coordonnées sphériques, qu’un calcul direct
permet, par identification, d’obtenir explicitement les quantités $\Gamma ^{j}_{ki}$. On va voir qu’on peut
également obtenir l’expression de ces quantités en fonction des composantes $g_{ij}$ du tenseur
fondamental. Si l’on se donne l’élément linéaire d’un espace ponctuel, on pourra ainsi
déterminer les symboles de Christoffel.
Symboles de première espèce - Le calcul des quantités $\Gamma ^{j}_{ki}$ en fonction des $g_{ij}$ va nous amener à introduire d’autres symboles de Christoffel. Pour cela, écrivons les composantes covariantes, notées $\omega _{ji}$, des différentielles d$\mathbf {e_{i}}$, soit :
\begin{equation}
\omega_{ji}=\text{d}\beq{e_{i}}\,\cdot\,\beq{e_{j}}
\tag{5.1.15}
\label{5.1.15}
\end{equation}
On remarque que, initialement, l’indice $j$ dans la notation $\mixescomponents {j}{i}$ correspond à la $j$-ième
composante contravariante du vecteur $\text {d}\beq {e_{i}}$ par rapport au vecteur $\mathbf {e_{j}}$ et que l’on abaisse cet
indice $j$ dans l’expression de la composante covariante $\omega _{ji}$ du vecteur $\text {d}\beq {e_{i}}$ sur le vecteur de base
$\mathbf {e_{j}}$.
Les composantes covariantes sont également des combinaisons linéaires des différentielles $\text {d}u^{i}$ que l’on peut écrire sous la forme :
\begin{equation}
\omega_{ji}=\pgammaeq{jki}\,\text{d}u^{k}
\tag{5.1.16}
\label{5.1.16}
\end{equation}
Les quantités $\Gamma _{jki}$ sont appelées les symboles de Christoffel de première
espèce.
Puisque les composantes covariantes sont liées aux composantes contravariantes par les relations :
\begin{equation}
\omega_{ji}=g_{jl}\,\mixescomponents{l}{i}=g_{jl}\,\sgammaeq{k}{l}{i}\,\text{d}u^{k}
\tag{5.1.17}
\label{5.1.17}
\end{equation}
On obtient l’expression liant les symboles de Christoffel de chaque espèce :
\begin{equation}
\pgammaeq{jki}=g_{jl}\,\sgammaeq{k}{l}{i}
\tag{5.1.18}
\label{5.1.18}
\end{equation}
Inversement, en écrivant l’expression des composantes contravariantes en fonction des covariantes, on obtient :
\begin{equation}
\sgammaeq{k}{j}{i}=g^{jl}\,\pgammaeq{lki}
\tag{5.1.19}
\label{5.1.19}
\end{equation}
Connaissant les symboles de Christoffel d’une espèce, on peut obtenir ceux de l’autre
espèce par les relations précédentes.
Notation des symboles de Christoffel - Diverses notations sont utilisées pour
reprśenter les symboles de Christoffel. Les plus usuelles sont les suivantes :
Symboles de première espèce : $\pgammaeq {kji}=[ji,k]$
Symboles de deuxième espèce : $\sgammaeq {k}{j}{i}=\{k^{j}i\}$
Relation entre symboles de première espèce - Considérons un espace ponctuel $\varepsilon _{n}$ et soit un élément linéaire $\text {d}s^{2}$ donné de cet espace :
\begin{equation}
\text{d}s^{2}=g_{ij}\,\text{d}x^{i}\,\text{d}x^{j}
\tag{5.1.20}
\label{5.1.20}
\end{equation}
Le calcul des $n^{3}$ symboles de Christoffel s’effectue à partir des $n(n+1)/2$ quantités $g_{ij}$. Partant de la définition de ces quantités :
\begin{equation}
g_{ij}=\beq{e_{i}}\,\cdot\,\beq{e_{j}}
\tag{5.1.21}
\label{5.1.21}
\end{equation}
on obtient par différentiation de cette dernière relation :
\begin{equation}
\text{d}g_{ij}=\beq{e_{i}}\,\cdot\,\text{d}\beq{e_{j}}+\beq{e_{j}}\,\cdot\,\text{d}\beq{e_{i}}
\tag{5.1.22}
\label{5.1.22}
\end{equation}
L’expression des différentielles $\text {d}\beq {e_{j}}=\mixescomponents {l}{j}\,\beq {e_{l}}$ nous donne :
\begin{equation}
\text{d}g_{ij}=(\beq{e_{i}}\,\cdot\,\beq{e_{l}})\,\mixescomponents{l}{j}+(\beq{e_{j}}\,\cdot\,\beq{e_{l}})\,\mixescomponents{l}{i}=g_{il}\,\mixescomponents{l}{j}+g_{jl}\,\mixescomponents{l}{i}
\tag{5.1.23}
\label{5.1.23}
\end{equation}
L’expression $g_{il}\,\mixescomponents {l}{j}$ représente la composante covariante $\omega _{ij}$ du vecteur $\text {d}\beq {e_{j}}$, soit compte tenu des composantes contravariantes en fonction des symboles de Christoffel :
\begin{equation}
\omega_{ij}=g_{il}\,\mixescomponents{l}{j}=g_{il}\,\sgammaeq{k}{l}{j}\,\text{d}u^{k}
\tag{5.1.24}
\label{5.1.24}
\end{equation}
Substituant la relation (5.1.18) dans l’expression (5.1.24), on obtient :
\begin{equation}
\omega_{ij}=\pgammaeq{ikj}\,\text{d}u^{k}
\tag{5.1.25}
\label{5.1.25}
\end{equation}
La différentielle $\text {d}g_{ij}$ donnée par la relation (5.1.23) s’écrit alors compte tenu de (5.1.25) :
\begin{equation}
\text{d}g_{ij}=\omega_{ij}+\omega_{ji}=(\pgammaeq{ikj}+\pgammaeq{jki})\,\text{d}u^{k}
\tag{5.1.26}
\label{5.1.26}
\end{equation}
D’autre part, la différentielle de la fonction $g_{ij}$ s’écrit également :
\begin{equation}
\text{d}g_{ij}=(\partial_{k}\,g_{ij})\text{d}u^{k}
\tag{5.1.27}
\label{5.1.27}
\end{equation}
d’où en identifiant les coefficients des différentielles $\text {d}u^{k}$ dans ces deux dernières expressions :
\begin{equation}
\pgammaeq{ikj}+\pgammaeq{jki}=\partial_{k}\,g_{ij}
\tag{5.1.28}
\label{5.1.28}
\end{equation}
Puisqu’on a $n(n+1)/2$ quantités $g_{ij}$ et que $k$ varie de 1 à $n$, le système d’équations donné par la relation
(5.1.28) comporte $n^{2}(n+1)/2$ équations.
Relation entre les symboles de deuxième espèce - L’intégrabilité de la différentielle $\text {d}\beq {M}=\text {d}u^{j}\,\beq {e_{j}}=\text {d}u^{j}\,\partial _{j}\,\beq {M}$ nécessite que les dérivées secondes des vecteurs $\mathbf {OM}$ de l’espace ponctuel $\varepsilon _{n}$ soient indépendantes de l’ordre de dérivation, d’où :
\begin{equation}
\partial_{kj}\,\beq{M}=\partial_{jk}\,\beq{M}
\tag{5.1.29}
\label{5.1.29}
\end{equation}
On a d’autre part l’expression de la différentielle des vecteurs de la base naturelle sous la forme suivante, compte tenu de (5.1.14) :
\begin{equation}
\text{d}\beq{e_{i}}=(\partial_{k}\,\beq{e_{i}})\,\text{d}u^{k}=\mixescomponents{j}{i}\,\beq{e_{j}}=(\sgammaeq{k}{j}{i}\,\beq{e_{j}})\,\text{d}u^{k}
\tag{5.1.30}
\label{5.1.30}
\end{equation}
On en déduit l’expression de la dérivée première : $\partial _{k}\,\beq {e_{i}}=\sgammaeq {k}{j}{i}\,\beq {e_{j}}$. La dérivée seconde du vecteur $\mathbf {OM}$ s’écrit alors :
\begin{equation}
\partial_{kj}\,\beq{M}=\partial_{k}\,(\partial_{j}\,\beq{M})=\partial_{k}\,\beq{e_{j}}=\sgammaeq{k}{l}{j}\,\beq{e_{l}}
\tag{5.1.31}
\label{5.1.31}
\end{equation}
On obtient de même :
\begin{equation}
\partial_{jk}\,\beq{M}=\partial_{j}\,\beq{e_{k}}=\sgammaeq{j}{l}{k}\,\beq{e_{l}}
\tag{5.1.32}
\label{5.1.32}
\end{equation}
Les relations (5.1.31) et (5.1.32) devant être égales, il vient en identifiant les composantes relatives au même vecteur $\mathbf {e_{l}}$ :
\begin{equation}
\sgammaeq{k}{l}{j}=\sgammaeq{j}{l}{k}
\tag{5.1.33}
\label{5.1.33}
\end{equation}
Compte tenu de l’expression des symboles de Christoffel de première espèce $\pgammaeq {ikj}=g_{il}\,\sgammaeq {k}{l}{j}$ et de la relation (5.1.33), on obtient les relations entre symboles de première espèce :
\begin{equation}
\pgammaeq{ikj}=\pgammaeq{ijk}
\tag{5.1.34}
\label{5.1.34}
\end{equation}
Les symboles de Christoffel de première espèce sont symétriques par rapport
à leurs indices extrêmes et ceux de deuxième espèce le sont par rapport à
leurs indices inférieurs.
Systèmes d’équations - Pour chaque valeur de $i$, la relation (5.1.34) donne, par suite de
la symétrie des symboles de Christoffel, $n(n-1)/2$ équations indépendantes, soit au total $n^{2}(n-1)/2$
équations. Ajoutées aux $n^{2}(n+1)/2$ équations (5.1.28), on obtient un système de $n^{3}$ équations
algébriques où les inconnues sont les $n^{3}$ symboles de Christoffel.
La solution explicite de ces équations s’obtient aisément en utilisant la relation (5.1.34) dans l’expression (5.1.28), ce qui donne :
\begin{equation}
\pgammaeq{ijk}+\pgammaeq{jki}=\partial_{k}\,g_{ij}
\tag{5.1.35}
\label{5.1.35}
\end{equation}
puis en effectuant une permutation circulaire sur les indices, on obtient :
\begin{equation}
\pgammaeq{jki}+\pgammaeq{kij}=\partial_{i}\,g_{jk}
\tag{5.1.36}
\label{5.1.36}
\end{equation}
\begin{equation}
\pgammaeq{kij}+\pgammaeq{ijk}=\partial_{j}\,g_{ki}
\tag{5.1.37}
\label{5.1.37}
\end{equation}
Effectuons la somme des relations (5.1.35) et (5.1.36) et retranchons l’expression (5.1.37), il vient :
\begin{equation}
\pgammaeq{jki}=\dfrac{1}{2}\,(\partial_{k}\,g_{ij}+\partial_{i}\,g_{jk}-\partial_{j}\,g_{ki})
\tag{5.1.38}
\label{5.1.38}
\end{equation}
C’est l’expression des symboles de Christoffel de première espèce en fonction des dérivées partielles des composantes $g_{ij}$ du tenseur fondamental. On obtient ceux de deuxième espèce à partir des relations (5.1.19) et (5.1.38), soit :
\begin{equation}
\sgammaeq{k}{i}{j}=g^{il}\,\pgammaeq{lkj}=\dfrac{1}{2}\,g^{il}\,(\partial_{k}\,g_{jl}+\partial_{j}\,g_{lk}-\partial_{l}\,g_{kj})
\tag{5.1.39}
\label{5.1.39}
\end{equation}
Les expressions (5.1.38) et (5.1.39) permettent le calcul effectif des symboles de Christoffel pour une métrique donnée. Lorsque les quantités $g_{ij}$ sont données à priori, on peut ainsi étudier les propriétés de l’espace ponctuel défini par la donnée de cette métrique, ce qui est le cas des espaces de Riemann.
Les notations utilisées pour les composantes $\mixescomponents {j}{i}$ des vecteurs de base naturelles
ainsi que pour les symboles de Christoffel $\Gamma ^{i}_{kj}$ ne doivent pas inciter à considérer
ces quantités comme les composantes de tenseurs. Nous allons voir en effet qu’un
changement de base ne conduit pas aux formules de transformations des composantes des
tenseurs.
Considérons pour cela deux systèmes de coordonnées curvilignes, $u^{i}$ et $u'^{j}$, correspondant à des bases naturelles $\mathbf {e_{i}}$ et $\mathbf {e'_{j}}$, liées entre elles par les relations :
\begin{equation}
(a)\,\,\,\beq{e_{i}}=A’^{l}_{i}\,\beq{e’_{l}} \,\,\,;\,\,\,(b)\,\,\, \beq{e’_{l}}=A^{j}_{k}\,\beq{e_{j}}
\tag{5.1.40}
\label{5.1.40}
\end{equation}
La différentielle du vecteur $\mathbf {e_{i}}$ s’écrit :
\begin{equation}
\text{d}\beq{e_{i}}=A’^{l}_{i}\,\text{d}\beq{e’_{l}}+\text{d}A’^{l}_{i}\,\beq{e’_{l}}
\tag{5.1.41}
\label{5.1.41}
\end{equation}
Écrivons d’autre part l’expression des différentielles des vecteurs $\mathbf {e_{i}}$ et $\mathbf {e'_{l}}$ sur chacune des bases naturelles, il vient :
\begin{equation}
(a)\,\,\text{d}\beq{e_{i}}=\mixescomponents{j}{i}\,\beq{e_{j}}\,\,\,;\,\,\,(b)\,\,\text{d}\beq{e’_{l}}=\mixescomponentsprime{m}{l}\,\beq{e’_{m}}
\tag{5.1.42}
\label{5.1.42}
\end{equation}
Identifiant les relations (5.1.41) et (5.1.42)(a) et substituant les relations (5.1.42)(b) et (5.1.40)(b), on obtient :
\begin{equation}
\mixescomponents{j}{i}\,\beq{e_{j}}=A’^{l}_{i}\,\mixescomponentsprime{m}{l}\,\beq{e’_{m}}+\text{d}A’^{l}_{i}\,\beq{e’_{l}}=(A’^{l}_{i}\,\mixescomponentsprime{m}{l}\,A^{j}_{m}+\text{d}A’^{l}_{i}\,A^{j}_{l})\,\beq{e_{j}}
\tag{5.1.43}
\label{5.1.43}
\end{equation}
Par identification des coefficients d’un même vecteur $\mathbf {e_{j}}$, on obtient :
\begin{equation}
\mixescomponents{j}{i}=A’^{l}_{i}\,A^{j}_{m}\,\mixescomponentsprime{m}{l}+A^{j}_{l}\,\text{d}A’^{l}_{i}
\tag{5.1.44}
\label{5.1.44}
\end{equation}
C’est la formule de transformation des composantes $\mixescomponents {j}{i}$ lors d’un changement de base qui ne correspond pas à celle des composantes d’un tenseur. En exprimant les quantités qui figurent dans la relation (5.1.44) en fonction des symboles de Christoffel, il vient :
\begin{equation}
\sgammaeq{k}{j}{i}\,\text{d}u^{k}=A’^{l}_{i}\,A^{j}_{m}\,\sgammaeqprim{h}{m}{l}\,\text{d}u’^{h}+A^{j}_{l}\,\text{d}A’^{l}_{i}
\tag{5.1.45}
\label{5.1.45}
\end{equation}
On a d’autre part les expressions suivantes des différentielles :
\begin{equation}
\text{d}A’^{l}_{i}=\partial_{k}\,A’^{l}_{i}\,\text{d}u^{k}\,\,\,\,;\,\,\,\,\text{d}u’^{h}=A’^{h}_{k}\,\text{d}u^{k}
\tag{5.1.46}
\label{5.1.46}
\end{equation}
Reportant les expressions (5.1.46) dans la relation (5.1.45) et en identifiant les coefficients des différentielles $\text {d}u^{k}$, il vient :
\begin{equation}
\sgammaeq{k}{j}{i}=A’^{l}_{i}\,A^{j}_{m}\,A’^{h}_{k}\,\sgammaeqprim{h}{m}{l}+A^{j}_{l}\,\partial_{k}\,A’^{l}_{i}
\tag{5.1.47}
\label{5.1.47}
\end{equation}
C’est la formule de changement de base des symboles de Christoffel qui diffère par un terme supplémentaire $A^{j}_{l}\,\partial _{k}\,A'^{l}_{i}$ de celle des composantes d’un tenseur.
Calculons l’expression des variations élémentaires $\text {d}\beq {e^{k}}$ des vecteurs $\mathbf {e^{k}}$, réciproques des vecteurs d’une base naturelle $\mathbf {e_{i}}$. La relation (1.5.28) entre vecteurs réciproques :
\begin{equation}
\beq{e_{i}}\,\cdot\,\beq{e^{k}}=\delta_{ik}
\tag{5.1.48}
\label{5.1.48}
\end{equation}
nous donne par différentiation :
\begin{equation}
\text{d}(\beq{e_{i}}\,\cdot\,\beq{e^{k}})=\beq{e_{i}}\,\cdot\,\text{d}\beq{e^{k}}+\beq{e^{k}}\,\cdot\,\text{d}\beq{e_{i}}=0
\tag{5.1.49}
\label{5.1.49}
\end{equation}
La relation précédente s’écrit alors en utilisant l’expression $\text {d}\beq {e_{i}}=\mixescomponents {j}{i}\,\beq {e_{j}}$ :
\begin{equation}
\beq{e_{i}}\,\cdot\,\text{d}\beq{e^{k}}=-\beq{e^{k}}\,\cdot\,(\mixescomponents{j}{i}\,\beq{e_{j}})=-\mixescomponents{j}{i}\,\delta_{kj}=-\mixescomponents{k}{i}
\tag{5.1.50}
\label{5.1.50}
\end{equation}
Les quantités $-\mixescomponents {k}{i}$ constituent donc les composantes covariantes du vecteur $\text {d}\beq {e^{k}}$ sur la base $\mathbf {e_{i}}$. Par suite, ce sont les composantes contravariantes sur la base réciproque $\mathbf {e^{i}}$. On a donc finalement :
\begin{equation}
\text{d}\beq{e^{k}}=-\mixescomponents{k}{i}\,\beq{e^{i}}
\tag{5.1.51}
\label{5.1.51}
\end{equation}
Nous avons dit précédemment que la comparaison de deux vecteurs doit s’effectuer
par translation dans $\varepsilon _{n}$, c’est-à-dire par déplacement le long d’une droite. Les
droites de $\varepsilon _{n}$ vont constituer une généralisation de la notion de droite en géométrie
classique.
Par définition, les droites de $\varepsilon _{n}$, passant par deux points $M_{0}$ et $M_{1}$, réalisent l’extrémum de la
longueur des différents chemins possibles joignant $M_{0}$ à $M_{1}$. Les droites constituent les
géodésiques de l’espace ponctuel $\varepsilon _{n}$.
Soit une courbe $M_{0}\,C\,M_{1}$ de l’espace $\varepsilon _{n}$ définie par les équations paramétriques :
\begin{equation}
u^{i}=u^{i}(t)
\tag{5.1.52}
\label{5.1.52}
\end{equation}
La longueur de la courbe $M_{0}\,C\,M_{1}$ est donnée par l’intégrale :
\begin{equation}
l=\mathlarger{\int}_{M_{0}}^{M_{1}}\,\bigg(g_{ij}\,\dfrac{\text{d}u^{i}}{\text{d}t}\,\dfrac{\text{d}u^{j}}{\text{d}t}\bigg)^{1/2}\,\text{d}t
\tag{5.1.53}
\label{5.1.53}
\end{equation}
Considérons à présent une autre courbe infiniment voisine $M_{0}\,C'\,M_{1}$, passant par les deux
points $M_{0}$ et $M_{1}$. Nous allons montrer que si $M_{0}\,C\,M_{1}$ est une géodésique passant par les points $M_{0}$ et $M_{1}$, elle
est extrémale de toutes les autres courbes $M_{0}\,C'\,M_{1}$.
Pour cela, choisissons comme paramètre arbitraire l’abscisse curviligne sur les courbes $M_{0}\,C'\,M_{1}$. Les équations paramétriques des courbes sont alors :
\begin{equation}
u^{i}=u^{i}(s)
\tag{5.1.54}
\label{5.1.54}
\end{equation}
et l’intégrale (5.1.53) s’écrit avec ce nouveau paramétrage :
\begin{equation}
l=\mathlarger{\int}_{M_{0}}^{M_{1}}\,\bigg(g_{ij}\,\dfrac{\text{d}u^{i}}{\text{d}s}\,\dfrac{\text{d}u^{j}}{\text{d}s}\bigg)^{1/2}\,\text{d}s
\tag{5.1.55}
\label{5.1.55}
\end{equation}
Posons : $u'^{i}=\text {d}u^{i}/\text {d}s$ et notons $f(u^{k},u'^{j})$ le carré de l’intégrande ; dans ces conditions, on a :
\begin{equation}
f(u^{k},u’^{j})=g_{ij}\,u’^{i}\,u’^{j}=1
\tag{5.1.56}
\label{5.1.56}
\end{equation}
car les $u'^{j}$ sont les cosinus directeurs du vecteur unitaire porté par la tangente à la courbe considérée. Les courbes $M_{0}\,C'\,M_{1}$ qui permettent de rendre maximale ou minimale l’intégrale (5.1.55) sont définies par les équations dites d’Euler du calcul des variations qui, dans le cas présent, se réduisent à :
\begin{equation}
\dfrac{\partial\,f}{\partial\,u^{i}}-\dfrac{\text{d}}{\text{d}s}\,\dfrac{\partial\,f}{\partial\,u’^{i}}=0
\tag{5.1.57}
\label{5.1.57}
\end{equation}
La relation (5.1.56) nous donne pour expression de l’équation d’Euler :
\begin{equation}
\dfrac{\text{d}}{\text{d}s}(g_{ij}\,u’^{j})-\dfrac{1}{2}\,\partial_{i}\,g_{jk}\,u’^{j}\,u’^{k}=g_{ij}\,u’^{j}+(\partial_{k}\,g_{ij}-\dfrac{1}{2}\,\partial_{i}\,g_{jk})\,u’^{j}\,u’^{k}=0
\tag{5.1.58}
\label{5.1.58}
\end{equation}
Après développement des dérivées et utilisation de l’expression des symboles de Christoffel de première espèce, on obtient :
\begin{equation}
g_{ij}\,\dfrac{\text{d}u’^{j}}{\text{d}s}+\pgammaeq{ijk}\,u’^{j}\,u’^{k}=0
\tag{5.1.59}
\label{5.1.59}
\end{equation}
La multiplication contractée de la relation précédente par $g^{il}$ nous donne, avec $g_{ij}\,g^{il}=\delta _{jl}$ et
$g^{il}\,\pgammaeq {ijk}=\sgammaeq {j}{l}{k}$ :
\begin{equation}
\dfrac{\text{d}^{2}u^{l}}{\text{d}s^{2}}+\sgammaeq{j}{l}{k}\,\dfrac{\text{d}u^{j}}{\text{d}s}\,\dfrac{\text{d}u^{k}}{\text{d}s}=0
\tag{5.1.60}
\label{5.1.60}
\end{equation}
On obtient le système d’équations qui définissent les géodésiques, c’est-à-dire les droites de $\varepsilon _{n}$. Ces dernières constituent donc les extrémales de l’intégrale qui mesure la longueur d’un arc de courbe joignant deux points donnés dans $\varepsilon _{n}$.