Considérons un tenseur $\mathbf {U}$ d’ordre deux de composantes contravariantes $u^{ij}$. Supposons que, suivant une base particulière $(\beq {e_{i}})$, toutes les composantes satisfassent aux relations :
\begin{equation}
u^{ij}=u^{ji}
\tag{3.6.1}
\label{3.6.1}
\end{equation}
Sur une autre base $\mathbf {e'_{l}}$, liée à la précédente par les relations (3.5.6), les nouvelles composantes $u'^{lm}$ vérifient la relation :
\begin{equation}
u’^{lm}=A’^{l}_{i}\,A’^{m}_{j}\,u^{ij}=A’^{l}_{i}\,A’^{m}_{j}\,u^{ji}=u’^{ml}
\tag{3.6.2}
\label{3.6.2}
\end{equation}
La propriété $u^{ij}=u^{ji}$ est donc une caractéristique intrinsèque du tenseur $\mathbf {U}$, indépendante de la
base. On dit que le tenseur est symétrique.
La propriété de symétrie se vérifie également pour les composantes covariantes d’un tenseur symétrique puisqu’on a :
\begin{equation}
u_{lk}=g_{li}\,g_{kj}\,u^{ij}=g_{li}\,g_{kj}\,u^{ji}=u_{kl}
\tag{3.6.3}
\label{3.6.3}
\end{equation}
Réciproquement, la symétrie des composantes covariantes entraîne celle des
composantes contravariantes.
Pour des tenseurs d’ordre plus élevé, la symétrie peut être partielle, portant sur deux indices covariants ou deux indices contravariants. Ainsi, un tenseur d’ordre quatre, de composantes mixtes $u^{ijk}_{l}$ peut être partiellement symétrique en $i$ et $j$, par exemple, soit :
\begin{equation}
u^{ijk}_{l}=u^{jik}_{l}
\tag{3.6.4}
\label{3.6.4}
\end{equation}
On vérifie, de même que ci-dessus, qu’une telle propriété est intrinsèque.
Un tenseur sera dit complètement symétrique si toute transposition de deux indices de même variance, change la composante correspondante en elle-même. Par exemple, pour un tenseur d’ordre trois $u^{ijk}$, complètement symétrique, on a les composantes suivantes qui sont égales entre elles :
\begin{equation}
u^{ijk}=u^{jik}=u^{kji}=u^{ikj}
\tag{3.6.5}
\label{3.6.5}
\end{equation}
On peut obtenir une représentation géométrique des valeurs des composantes d’un
tenseur symétrique d’ordre deux.
Pour cela, considérons, dans l’espace géométrique ordinaire de coordonnées $x^{i}$, l’équation suivante :
\begin{equation}
a_{ij}\,x^{i}\,y^{j}=1\,\,\,\,;\,\,\,\, i,j=1,2,3
\tag{3.6.6}
\label{3.6.6}
\end{equation}
où les $a_{ij}$ sont des coefficients donnés. Supposons que ces coefficients soient tels que : $a_{ij}=a_{ji}$. L’équation précédente s’écrit alors :
\begin{equation}
a_{11}\,x_{1}^{2}+a_{22}\,x_{2}^{2}+a_{33}\,x_{3}^{2}+2 a_{12}\,x_{1}\,x_{2}+2
a_{23}\,x_{2}\,x_{3}+2 a_{31}\,x_{3}\,x_{1}=1
\tag{3.6.7}
\label{3.6.7}
\end{equation}
C’est l’équation générale d’une surface du second degré ou quadrique rapportée à un
système d’axes dont l’origine est en son centre. Ces surfaces sont des ellipsoïdes ou des
hyperboloïdes, selon les valeurs des quantités $a_{ij}$.
Étudions comment se transforment les quantités $a_{ij}$ lorsqu’on effectue un changement de coordonnées tel que :
\begin{equation}
(a)\,\,\,\,x’^{k}=A’^{k}_{i}\,x^{i}\,\,\,\,;\,\,\,\,(b)\,\,\,\,x^{i}=A^{i}_{k}\,x’^{k}
\tag{3.6.8}
\label{3.6.8}
\end{equation}
L’équation de la quadrique (3.6.6) s’écrit dans ce nouveau système de coordonnées :
\begin{equation}
a_{ij}\,x^{i}\,y^{j}=a_{ij}\,A^{i}_{k}\,A^{j}_{m}\,x’^{k}\,x’^{m}=a’_{km}\,x’^{k}\,x’^{m}=1
\tag{3.6.9}
\label{3.6.9}
\end{equation}
d’où l’expression des coefficients dans le nouveau système d’axes :
\begin{equation}
a’_{km}=\,A^{i}_{k}\,A^{j}_{m}\,a_{ij}
\tag{3.6.10}
\label{3.6.10}
\end{equation}
Les coefficients $a_{ij}$ se transforment comme les composantes covariantes d’un tenseur
d’ordre deux. Réciproquement, si les quantités $a_{ij}$ sont les composantes d’un tenseur
symétrique, ces composantes définissent les coefficients d’une quadrique. Il existe donc
une certaine équivalence entre un tenseur symétrique et les coefficients d’une quadrique.
On dira que la surface d’équation (3.6.7) est la quadrique représentative d’un tenseur
symétrique.
Composantes principales d’un tenseur symétrique - Il existe un système de coordonnées orthonormées par rapport auquel l’équation d’une quadrique prend la forme simple :
\begin{equation}
b_{1}\,x_{1}^{2}+b_{2}\,x_{2}^{2}+b_{3}\,x_{3}^{2}=1
\tag{3.6.11}
\label{3.6.11}
\end{equation}
Dans ce cas, les vecteurs de base sont portés par les axes principaux de la quadrique.
Dans ce système de coordonnées, les composantes du tenseur $a_{ij}$ se réduisent à : $a_{11}=b_{1}$, $a_{22}=b_{2}$, $a_{33}=b_{3}$, $a_{ij}=0$ pour
les autres composantes. Les quantités $b_{i}$ sont appelées les composantes principales du
tenseur $a_{ij}$.
Si les quantités $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, sont positives, la surface est un ellipsoïde ; si deux quantités sont strictement positives et la troisìeme strictement négative, on a un hyperboloïde à une nappe ; si deux quantités sont strictement négatives et la troisième strictement positive, on a un hyperboloïde à deux nappes. La comparaison de l’équation (3.6.11) avec l’équation classique :
\begin{equation}
\dfrac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\dfrac{x_{2}^{2}}{b^{2}}+\dfrac{x_{3}^{2}}{c^{2}}=1
\tag{3.6.12}
\label{3.6.12}
\end{equation}
où $a,b,c$ sont les longueurs des demi-axes d’un ellipsoïde, montre que l’on a :
\begin{equation}
a=1/(b_{1})^{1/2}\,\,\,\,;\,\,\,\,b=1/(b_{2})^{1/2}\,\,\,\,;\,\,\,\,c=1/(b_{3})^{1/2}
\tag{3.6.13}
\label{3.6.13}
\end{equation}
Composantes covariantes - Nous avons vu au chapitre 2 la définition des composantes covariantes $g_{ij}$ du tenseur fondamental, à savoir :
\begin{equation}
g_{ij}=\beq{e_{i}}\,\cdot\,\beq{e_{j}}
\tag{3.6.14}
\label{3.6.14}
\end{equation}
Ces quantités interviennent entre autres, dans l’expression du produit scalaire de deux vecteurs $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$, de composantes contravariantes $x^{i}$ et $y^{j}$, donnée par la relation (1.4.4), soit :
\begin{equation}
\beq{x}\cdot\beq{y}=g_{ij}\,x^{i}\,y^{j}
\tag{3.6.15}
\label{3.6.15}
\end{equation}
Utilisons le critère général de tensorialité pour mettre en evidence le caractère
tensoriel des $g_{ij}$. L’expression $g_{ij}\,x^{i}\,y^{j}$ est un produit complètement contracté des quantités
contravariantes $x^{i}\,y^{j}$ d’un tenseur arbitraire. Comme le produit scalaire est une quantité
invariante par rapport aux changements de base, il en résulte que les $n^{2}$ quantités $g_{ij}$
sont les composantes covariantes d’un tenseur.
Ce tenseur est symétrique par suite de la symétrie du produit scalaire des vecteurs de
base ; on a : \begin{equation}
g_{ij}=g_{ji}
\tag{3.6.16}
\label{3.6.16}
\end{equation}
Composantes contravariantes - Les quantités $g^{ik}$ ont été définies précédemment par la relation (1.5.15) à partir de laquelle on a obtenu la relation (1.5.42), à savoir :
\begin{equation}
g^{jk}=\beq{e^{j}}\,\cdot\,\beq{e^{k}}
\tag{3.6.17}
\label{3.6.17}
\end{equation}
Montrons que les quantités $g^{jk}$ sont les composantes contravariantes du tenseur fondamental. Appelons $u^{ij}$ ces formules et utilisons la formule (3.4.13) donnant la relation entre les composantes covariantes et contravariantes d’un tenseur, il vient :
\begin{equation}
u^{ij}=u_{kl}\,g^{ki}\,g^{jl}=g_{kl}\,g^{ki}\,g^{jl}
\tag{3.6.18}
\label{3.6.18}
\end{equation}
La relation (1.5.45) : $g_{kl}\,g^{ki}=\delta ^{i}_{l}$, nous donne :
\begin{equation}
u^{ij}=g^{jl}\,\delta^{i}_{l}=g^{ji}
\tag{3.6.19}
\label{3.6.19}
\end{equation}
Les quantités $g^{ij}=\beq {e_{i}}\,\cdot \,\beq {e_{j}}$ constituent donc les composantes contravariantes du tenseur
fondamental. Ce sont des quantités symétriques : $g^{ij}=g^{ji}$.
Composantes mixtes - Notons $g^{i}_{j}$ les composantes mixtes du tenseur fondamental. La formule (3.4.18), exprimant les composantes mixtes d’un tenseur en fonction de ses composantes contravariantes, nous donne :
\begin{equation}
g^{i}_{j}=g^{ik}\,g_{jk}
\tag{3.6.20}
\label{3.6.20}
\end{equation}
La relation (1.5.45) donne alors :
\begin{equation}
g^{i}_{j}=\delta^{i}_{j}
\tag{3.6.21}
\label{3.6.21}
\end{equation}
Lorsque les composantes contravariantes $u^{ij}$, d’un tenseur d’ordre deux, vérifient les relations :
\begin{equation}
u^{ij}=-u^{ji}
\tag{3.6.22}
\label{3.6.22}
\end{equation}
on dit que le tenseur est antisymétrique. C’est une propriété intrinsèque du tenseur qui se démontre comme pour les tenseurs symétriques, au signe moins près. Un tenseur antisymétrique a des composantes telles que :
\begin{equation}
u^{11}=u^{22}=...=u^{nn}=0
\tag{3.6.23}
\label{3.6.23}
\end{equation}
Si les composantes contravariantes d’un tenseur sont antisymétriques, ses composantes
covariantes le sont également.
Un tenseur $u^{ijk}_{l}$ sera partiellement antisymétrique si l’on a, par exemple :
\begin{equation}
u^{ijk}_{l}=-u^{jik}_{l}
\tag{3.6.24}
\label{3.6.24}
\end{equation}
Il sera complètement antisymétrique si toute transposition d’indice de même variance
change la composante correspondante en son oppposée.
Tout tenseur $u^{ij}$ peut être mis sous la forme d’une somme d’un tenseur symétrique et d’un tenseur antisymétrique. On a en effet :
\begin{equation}
u^{ij}=\dfrac{1}{2}(u^{ij}+u^{ji})+\dfrac{1}{2}(u^{ij}-u^{ji})
\tag{3.6.25}
\label{3.6.25}
\end{equation}
Le premier terme de la somme ci-dessus est un tenseur symétrique et le second, un
tenseur antisymétrique.
Base des tenseurs antisymétriques - Un tenseur antisymétrique $\mathbf {U}$ d’ordre deux, élément de $E_{n}^{(2)}$, peut s’écrire sous la forme :
\begin{equation}
\beq{U}=u^{ij}\,\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}}=\sum_{i<j}\,
u^{ij}\,\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}}+\sum_{i\geqslant j}^{}\,u^{ij}\,\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}}
\tag{3.6.26}
\label{3.6.26}
\end{equation}
Échangeant, dans la dernière somme de la relation ci-dessus, le nom des indices et en tenant compte de $u^{ij}=-u^{ji}$, on obtient :
\begin{equation}
\beq{U}=\sum_{i<j}\,u^{ij}\,(\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}}-\beq{e_{j}}\otimes\beq{e_{i}})
\tag{3.6.27}
\label{3.6.27}
\end{equation}
Les éléments $(\beq {e_{i}}\otimes \beq {e_{j}}-\beq {e_{j}}\otimes \beq {e_{i}})$ qui apparaissent dans l’expression (3.6.27) sont linéairement
indépendants puisque les vecteurs $\beq {e_{i}}\otimes \beq {e_{j}}$ le sont également. Ces éléments constituent donc une
base sur laquelle les tenseurs antisymétriques peuvent être décomposés.
Le nombre de vecteurs $(\beq {e_{i}}\otimes \beq {e_{j}}-\beq {e_{j}}\otimes \beq {e_{i}})$ est égal au nombre de combinaisons $C^{2}_{n}=(n-1)n/2 < n^{2}$ ; ces vecteurs engendrent un sous-espace vectoriel de $E_{n}^{(2)}$ de dimension $C^{2}_{n}$. Tout tenseur antisymétrique de $E_{n}^{(2)}$ est un élément de ce sous-espace vectoriel.
Soient deux vecteurs $\beq {x}=x^{i}\,\beq {e_{i}}$ et $\beq {y}=y^{j}\,\beq {e_{j}}$ d’un espace vectoriel $E_{n}$ ; formons les quantités antisymétriques suivantes :
\begin{equation}
u^{ij}=x^{i}\,y^{j}-x^{j}\,y^{i}
\tag{3.6.28}
\label{3.6.28}
\end{equation}
Ce sont les composantes d’un tenseur antisymétrique $\mathbf {U}$, noté $\beq {x}\wedge \beq {y}$, dont la décomposition sur la base $\beq {e_{i}}\otimes \beq {e_{j}}$ s’écrit :
\begin{equation}
\beq{U}=\beq{x}\wedge\beq{y}=(x^{i}\,y^{j}-x^{j}\,y^{i})\,\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}}=\beq{x}\otimes\beq{y}-\beq{y}\otimes\beq{x}
\tag{3.6.29}
\label{3.6.29}
\end{equation}
Le tenseur $\beq {x}\wedge \beq {y}$ est appelé le produit extérieur des vecteurs $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$ ; on dit encore que ce tenseur
est un bivecteur.
Propriétés du produit extérieur - Le produit extérieur est un tenseur antisymétrique
qui vérifie les propriétés suivantes :
$\bullet $anticommutativité : $\beq {x}\wedge \beq {y}=-\beq {y}\wedge \beq {x}$ ; il en résulte que :
\begin{equation}
\beq{x}\wedge\beq{x}=0
\tag{3.6.30}
\label{3.6.30}
\end{equation}
$\bullet $distributivité à droite et à gauche pour l’addition vectorielle :
\begin{equation}
\beq{x}\wedge(\beq{y}+\beq{z})=\beq{x}\wedge\beq{y}+\beq{x}\wedge\beq{z}
\tag{3.6.31}
\label{3.6.31}
\end{equation}
\begin{equation}
(\beq{x}+\beq{y})\wedge\beq{z}=\beq{x}\wedge\beq{z}+\beq{y}\wedge\beq{z}
\tag{3.6.32}
\label{3.6.32}
\end{equation}
$\bullet $associativité pour la multiplication par un scalaire :
\begin{equation}
\alpha\,\beq{x}\wedge\beq{y}=\beq{x}\wedge\alpha\,\beq{y}=\alpha\,(\beq{x}\wedge\beq{y})
\tag{3.6.33}
\label{3.6.33}
\end{equation}
$\bullet $les $C^{2}_{n}$ produits extérieurs :
\begin{equation}
\beq{e_{i}}\wedge\beq{e_{j}}=\beq{e_{i}}\otimes\beq{e_{j}}-\beq{e_{j}}\otimes\beq{e_{i}}
\tag{3.6.34}
\label{3.6.34}
\end{equation}
constituent une base de l’ensemble des bivecteurs.
Composantes strictes d’un produit extérieur - Parmi les $n^{2}$ composantes d’un produit
extérieur, $n$ composantes sont nulles et les $n(n-1)$ autres composantes ont des valeurs opposées
deux à deux. On peut donc considérer que la moitié de ces dernières composantes suffit
pour caractériser le tenseur et on dira que le produit extérieur possède $n(n-1)/2$ composantes
strictes.
On remarque que pour $n=3$, le nombre de composantes strictes du produit extérieur de
deux vecteurs est aussi égal à 3. Ceci permet de former avec les composantes strictes du
bivecteur $\beq {x}\wedge \beq {y}$, les composantes du produit vectoriel $\beq {z}=\beq {x}\times \beq {y}$.
Pour cela, on pose :
\begin{align}
u^{23} &= x^{2}\,y^{3}-x^{3}\,y^{2} = z^{1} \nonumber \\ u^{31} &= x^{3}\,y^{1}-x^{1}\,y^{3} = z^{2} \nonumber \\
u^{31} &= x^{3}\,y^{1}-x^{1}\,y^{3} = z^{2} \nonumber \\
u^{12} &= x^{1}\,y^{2}-x^{2}\,y^{1} = z^{3}
\tag{3.6.35}
\end{align}
Un produit vectoriel n’existe donc que pour des espaces à trois dimensions et l’on sait qu’il ne se transforme comme un vecteur que pour certains changements de base ; c’est un vecteur axial. On dit que le vecteur $\mathbf {z}$ constitue le tenseur adjoint du tenseur $\mathbf {U}$. C’est un exemple particulier de tenseur adjoint d’un tenseur antisymétrique.