L’étude des phénomènes physiques recourt à leur représentation dans l’espace de la
géométrie classique à trois dimensions ou dans celui de la relativité à quatre dimensions.
Les vecteurs et les tenseurs peuvent en effet être attachés à chacun des points
de l’espace et former des champs de vecteurs et de tenseurs, ce qui nécessite
la définition mathématique d’espaces formés de points ou espaces
ponctuels.
De plus, des espaces plus abstraits peuvent être imaginés pour décrire des
phénomènes physiques, ce qui conduit à introduire des espaces ponctuels à un nombre
quelconque de dimensions. C’est le cas, par exemple, de l’espace de phases utilisé en
Physique statistique.
La définition précise d’espace ponctuel va être faite à partir de la notion
d’espace vectoriel. Voyons tout d’abord l’exemple de l’espace ponctuel formé par
des triplets de nombres qui est issu directement de l’espace de la géométrie
classique.
Espace ponctuel formé de triplets de nombres - Donnons-nous des triplets de
nombres réels notés $A=(a_{1},a_{2},a_{3})$, $B=(b_{1},b_{2},b_{3})$, etc. Appelons $E'_{3}$ l’ensemble de tous les éléments $A,B,$ etc., formés par
des triplets de nombres. À tout couple $(A,B)$ de deux éléments de $E'_{3}$, pris dans cet ordre, on peut
faire correspondre un vecteur $\mathbf {x}$ noté $\mathbf {AB}$, en définissant celui-ci par un triplet de nombres tel
que $x_{i}=b_{i}-a_{i}$, $i=1,2,3$. On a donc $\beq {x}=\beq {AB}=(x_{1},x_{2},x_{3})$.
Ainsi qu’on l’a déjà vu au chapitre Premier, c’est un élément d’un espace
vectoriel $E_{3}$ lorsqu’on a défini l’addition et la multiplication par un scalaire sur ces
éléments.
La correspondance que l’on établit ainsi, entre tout couple $(A,B)$ de deux éléments
de $E'_{3}$ et un vecteur d’un espace vectoriel $E_{3}$, vérifie manifestement les propriétés
suivantes :
EP1 : $\beq {AB}\,=\,-\beq {BA}$
EP2 : Associativité par rapport à l’addition : $\beq {AB}=\beq {AC}+\beq {CB}$
EP3 : Si $O$ est un élément arbitraire choisi dans $E'_{3}$, à tout vecteur $\mathbf {x}$ de $E_{3}$, il correspond un
point $M$ et un seul tel que $\beq {OM}=\beq {x}$.
Lorsqu’on a muni l’ensemble $E'_{3}$ de cette loi de correspondance, vérifiant les
trois propriétés précédentes, on dit que l’ensemble des triplets de nombres
constitue un espace ponctuel, noté $\varepsilon _{3}$. Les éléments de $\varepsilon _{3}$ sont appelés des
points.
Remarque - Formellement, il ne semble pas y avoir de différences entre un point $A=(a_{1},a_{2},a_{3})$, défini
par un triplet de nombres, et un vecteur $\beq {x}=(x_{1},x_{2},x_{3})$, défini également de la même manière.
Pour établir une distinction entre ces éléments, il faut revenir à la remarque
que l’on a faite au chapitre Premier, lors de la généralisation de la notion de
vecteur.
Au départ, on se donne un ensemble $E'_{3}$ d’éléments constitués par des triplets de
nombres. Cet ensemble $E'_{3}$ ne comporte pas a priori de structure ; ses éléments seuls le
définissent.
Rappelons que pour former un espace vectoriel $E_{3}$, on définit sur les éléments de $E'_{3}$ deux
lois de composition interne qui constituent la structure du nouvel ensemble $E_{3}$ ; les éléments
de $E_{3}$ sont alors appelés des vecteurs.
La méthode est analogue pour former l’espace ponctuel $\varepsilon _{3}$. On définit sur les couples déléments de $E'_{3}$ une loi de correspondance qui constitue la structure du nouvel ensemble $\varepsilon _{3}$ ; ses éléments sont alors appelés des points. Cet espace ponctuel $\varepsilon _{3}$ se confond en tant qu’ensemble d’éléments avec l’ensemble $E'_{3}$ mais il s’en distingue en tant qu’espace ponctuel qui constitue un ensemble structuré par la loi de correspondance que l’on se donne. De même, les espaces $E_{3}$ et $\varepsilon _{3}$ sont distincts par suite de leur structure différente et on peut établir une distinction entre les éléments de chacun de ces espaces. On dit que $E'_{3}$ constitue le support des espaces $E_{3}$ et $\varepsilon _{3}$.
On peut généraliser à un support quelconque $E'_{n}$ la notion précédente d’espace ponctuel.
Pour cela, on considère un ensemble $E'_{n}$ d’éléments, notés $A,B$, etc., et on suppose qu’à tout
couple $(A,B)$ d’éléments de $E'_{n}$, pris dans cet ordre, on puisse faire correspondre un vecteur $\mathbf {x}$, noté
$\mathbf {AB}$, d’un espace vectoriel $E_{n}$, à $n$ dimensions. Si la correspondance ainsi réalisée vérifie les
axiomes EP1, EP2 et EP3 précédents, on dit que l’ensemble $E'_{n}$ muni de cette structure
constitue un espace ponctuel à $n$ dimensions que l’on note $\varepsilon _{n}$. Les éléments de $\varepsilon _{n}$ sont appelés
des points.
L’espace vectoriel $E_{n}$ est appelé l’espace associé à $\varepsilon _{n}$. Lorsque l’espace vectoriel associé est un espace pré-euclidien, on dit que $\varepsilon _{n}$ est un espace ponctuel pré-euclidien.
Considérons un point $O$ quelconque d’un espace ponctuel pré-euclidien $\varepsilon _{n}$, et une
base $(\beq {e_{i}})$ de l’espace vectoriel associé $E_{n}$. On appelle repère de l’espace $\varepsilon _{n}$ l’ensemble du
point $O$ et de la base $(\beq {e_{i}})$. Ce repère sera noté $(O,\beq {e_{i}})$ ; le point $O$ est appelé l’origine du
repère.
Coordonnées d’un point - Par définition, les coordonnées d’un point $M$ d’un espace
ponctuel pré-euclidien $\varepsilon _{n}$, par rapport au repère $(O,\beq {e_{i}})$ sont les composantes $x^{i}$ du vecteur $\beq {x}=\beq {OM}$ de
l’espace $E_{n}$, par rapport à la base $(\beq {e_{i}})$.
Soient deux points $M$ et $M'$ de $\varepsilon _{n}$, définis par leurs coordonnées $x^{i}$ et $x'^{i}$, on a : $\beq {OM}=x^{i}\,\beq {e_{i}}$, $\beq {OM'}=x'^{i}\,\beq {e_{i}}$. Utilisant les axiomes EP1 et EP2, il vient :
\begin{equation}
\beq{MM’}=\beq{MO}+\beq{OM’}=-\beq{OM}+\beq{OM’}=(-x^{i}+x’^{i})\,\beq{e_{i}}
\tag{4.1.1}
\label{4.1.1}
\end{equation}
On en déduit que les composantes du vecteur $\mathbf {MM'}$, par rapport à la base $(\beq {e_{i}})$, sont les $n$ quantités $(x'^{i}-x^{i})$,
différences des coordonnées des points $M'$ et $M$.
Changement de repère - Soient $(O,\beq {e_{i}})$ et $(O',\beq {e'_{j}})$ deux repères quelconques de $\varepsilon _{n}$. Les bases sont liées entre elles par les relations :
\begin{equation}
(a)\,\,\, \beq{e_{i}}=A’^{k}_{i}\,\beq{e’_{k}} \,\,\,;\,\,\,(b)\,\,\, \beq{e’_{k}}=A^{i}_{k}\,\beq{e_{i}}
\tag{4.1.2}
\label{4.1.2}
\end{equation}
Cherchons les relations entre les coordonnées d’un point $M$ de $\varepsilon _{n}$ par rapport à ces deux repères. Pour cela, exprimons les vecteurs $\mathbf {OO'}$ et $\mathbf {O'O}$ sur chacunes dees bases de $E_{n}$ :
\begin{equation}
(a)\,\,\, \beq{OO’}=\alpha^{i}\,\beq{e_{i}} \,\,\,;\,\,\,(b)\,\,\, \beq{O’O}=\alpha’^{j}\,\beq{e’_{j}}
\tag{4.1.3}
\label{4.1.3}
\end{equation}
ainsi que les vecteurs $\mathbf {OM}$et $\mathbf {O'M}$, soit :
\begin{equation}
(a)\,\,\, \beq{OM}=x^{i}\,\beq{e_{i}} \,\,\,;\,\,\,(b)\,\,\, \beq{O’M}=x’^{j}\,\beq{e’_{j}}
\tag{4.1.4}
\label{4.1.4}
\end{equation}
On a d’autre part :
\begin{equation}
\begin{array}[b]{lcl}
\beq{OM}&=&\beq{OO’}+\beq{O’M} \\
&=&\alpha^{i}\,\beq{e_{i}}+x’^{j}\,\beq{e’_{j}}=\alpha^{i}\,\beq{e_{i}}+x’^{j}\,A^{i}_{j}\,\beq{e_{i}}=(\alpha^{i}+x’^{j}\,A^{i}_{j})\beq{e_{i}}
\end{array}
\tag{4.1.5}
\label{4.1.5}
\end{equation}
Identifiant les composantes par rapport au vecteur $\mathbf {e_{i}}$ dans les expressions (4.1.4) et (4.1.5), on obtient :
\begin{equation}
x^{i}=\alpha^{i}+A^{i}_{j}\,x’^{j}
\tag{4.1.6}
\label{4.1.6}
\end{equation}
En exprimant de façon analogue le vecteur $\mathbf {O'M}$ sur la base $(\beq {e'_{j}})$, il vient :
\begin{equation}
x’^{j}=\alpha’^{j}+A’^{j}_{i}\,x^{i}
\tag{4.1.7}
\label{4.1.7}
\end{equation}
Soit $\varepsilon _{n}$ un espace ponctuel pré-eucliden et $M$ et $M'$ deux points de cet espace. Par définition, la norme du vecteur $\mathbf {MM'}$ s’appelle la distance des deux points $M$ et $M'$. On a :
\begin{equation}
\textrm{distance}\,\,MM’=\textrm{norme}\,\,\beq{MM’}
\tag{4.1.8}
\label{4.1.8}
\end{equation}
Si les deux points $M$ et $M'$ ont respectivement pour coordonnées $x^{i}$ et $x'^{i}$, par rapport à un repère $(O,\beq {e_{i}})$, la relation (4.1.1) montre que le vecteur $\mathbf {MM'}$ a pour composantes les quantités $(x'^{i}-x^{i})$. Le carré de la distance est donnée par :
\begin{equation}
(\textrm{distance}\,\,MM’)^{2}=g_{ij}\,(x’^{i}-x^{i})(x’^{j}-x^{j})
\tag{4.1.9}
\label{4.1.9}
\end{equation}
Si le point $M'$ est infiniment proche du point $M$, ses coordonnées sont notées $(x^{i}+dx^{i})$ et le vecteur $\beq {MM'}=\text {d}\beq {M}$ a pour composantes les quantités $\text {d}x^{i}$. Notons $ds$ la distance entre les points $M$ et $M'$. La relation (4.1.9) donne l’expression du carré de la distance entre ces points sous la forme :
\begin{equation}
\text{d}s^{2}=g_{ij}\,\text{d}x^{i}\,\text{d}x^{j}
\tag{4.1.10}
\label{4.1.10}
\end{equation}
Pour un espace ponctuel euclidien et des vecteurs de base $\mathbf {e_{i}}$ orthonormés, on a : $g_{ij}=\delta _{ij}$ et l’expression (4.1.10) devient alors :
\begin{equation}
\text{d}s^{2}=\text{d}x^{i}\,\text{d}x^{i}
\tag{4.1.11}
\label{4.1.11}
\end{equation}
On obtient une expression qui généralise, à $n$ dimensions, le carré de la distance élémentaire, par rapport à un repère cartésien, dans l’espace de la géométrie classique.
Les vecteurs que l’on utilise en Physique sont généralement des fonctions de une ou
plusieurs variables, celles-ci pouvant être des variables d’espace ou du temps.
Lorsqu’en chaque point $M$ d’un espace ponctuel $\varepsilon _{n}$, on attache un tenseur, défini par ses
composantes par rapport à un repère $(O,\beq {e_{i}})$, on dira que l’on s’est donné un champ de
tenseurs.
Pour des vecteurs à $n$ dimensions, la notion de dérivée d’un vecteur à trois
dimensions se généralise et l’on obtient toutes les formules classiques relatives aux
dérivées.
Vecteurs d’un espace vectoriel - Considérons un vecteur $\mathbf {x}$ appartenant à un espace euclidien $E_{n}$ dont les composantes, sur une base $(\beq {e_{i}})$, sont des fonctions d’un paramètre quelconque $\alpha $ ; on note ce vecteur $\beq {x}(\alpha )$ et l’on a :
\begin{equation}
\beq{x}(\alpha)=x^{i}(\alpha)\,\beq{e_{i}}
\tag{4.1.12}
\label{4.1.12}
\end{equation}
Par définition, la dérivée du vecteur $\mathbf {x}$ est un vecteur noté $\beq {x'}(\alpha )$ dont les composantes sont les dérivées, par rapport au paramètre $\alpha $, des fonctions $x^{i}(\alpha )$ :
\begin{equation}
\beq{x’}(\alpha)=\dfrac{\text{d}x^{i}(\alpha)}{\text{d}\alpha}\,\beq{e_{i}}
\tag{4.1.13}
\label{4.1.13}
\end{equation}
On appelle différentielle de $\mathbf {x}$ le vecteur, noté d$\mathbf {x}$, tel que :
\begin{equation}
\text{d}\beq{x}=\beq{x’}(\alpha)\,\text{d}\alpha
\tag{4.1.14}
\label{4.1.14}
\end{equation}
où $d\alpha $ est la différentielle du paramètre $\alpha $. La dérivée d’un vecteur peut donc être notée :
$\beq {x'}(\alpha )=\text {d}\beq {x}/\text {d}\alpha $.
Les différentes formules de dérivation des vecteurs à trois dimensions relatives à la
somme de vecteurs, au produit d’un vecteur par un scalaire, au produit scalaire de deux
vecteurs, sont aisément transposables aux vecteurs à $n$ dimensions.
Si un vecteur $\mathbf {x}$ de $E_{n}$ dépend de plusieurs paramètres indépendants, $\alpha ,\beta ,\gamma $, la dérivée partielle du vecteur $\beq {x}(\alpha ,\beta ,\gamma )$ par rapport à la variable $\alpha $, par exemple, est un vecteur, noté $\partial \beq {x}/\partial \alpha $, dont les composantes sont les dérivées partielles des composantes de $\mathbf {x}$, soit :
\begin{equation}
\dfrac{\partial\beq{x}}{\partial\alpha}=\dfrac{\partial x^{i}}{\partial\alpha}\,\beq{e_{i}}
\tag{4.1.15}
\label{4.1.15}
\end{equation}
La différentielle du vecteur $\beq {x}(\alpha ,\beta ,\gamma )$ s’écrit :
\begin{equation}
\text{d}\beq{x}=\dfrac{\partial\beq{x}}{\partial\alpha}\,\text{d}\alpha+\dfrac{\partial\beq{x}}{\partial\beta}\,\text{d}\beta+\dfrac{\partial\beq{x}}{\partial\gamma}\,\text{d}\gamma
\tag{4.1.16}
\label{4.1.16}
\end{equation}
Vecteurs d’un espace vectoriel associé à un espace ponctuel - Considérons à
présent un espace vectoriel $E_{n}$ associé à un espace ponctuel $\varepsilon _{n}$. Dans un repère $(O,\beq {e_{i}})$, tout point $M$ de
$\varepsilon _{n}$est associé à un vecteur $\mathbf {x}$ de $E_{n}$ tel que $\beq {x}=\beq {OM}$. Si le vecteur $\mathbf {x}$ dépend d’un paramètre $\alpha $ et admet une
dérivée $\beq {x'}(\alpha )$, il en est de même de $\mathbf {OM}$.
Montrons que le vecteur dérivé $\beq {x'}(\alpha )$ ne dépend pas du point origine $O$ mais seulement du point $M$ considéré. En effet, si $O'$ est un autre point origine, on a :
\begin{equation}
\beq{OM}=\beq{OO’}+\beq{O’M} \\
\tag{4.1.17}
\label{4.1.17}
\end{equation}
et puisque le vecteur $\mathbf {OO'}$ est fixe et ne dépend que de $\alpha $, on a $\text {d}\beq {OO'}/\text {d}\alpha =\beq {0}$, d’òu :
\begin{equation}
\dfrac{\text{d}\beq{OM}}{\text{d}\alpha}=\dfrac{\text{d}\beq{O’M}}{\text{d}\alpha}=\beq{x’}(\alpha)
\tag{4.1.18}
\label{4.1.18}
\end{equation}
On peut donc noter la dérivée du vecteur $\mathbf {OM}$ en mentionnant seulement le point $M$ et l’on écrira :
\begin{equation}
\beq{x’}(\alpha)=\dfrac{\text{d}\beq{M}}{\text{d}\alpha}=\beq{M’}(\alpha)
\tag{4.1.19}
\label{4.1.19}
\end{equation}
La différentielle de $\mathbf {OM}$ s’écrit alors : $\text {d}\beq {M}=\beq {M'}(\alpha )\,\text {d}\alpha $.
Si un point $M$ de $\varepsilon _{n}$ est associé, par rapport à un repère $(O,\beq {e_{i}})$, à un vecteur $\beq {x}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\beq {OM}$, les dérivées partielles de $\mathbf {OM}$ ne dépendront que du point $M$ et l’on écrira, par exemple :
\begin{equation}
\dfrac{\partial\beq{x}}{\partial\alpha}=\dfrac{\partial\beq{M}}{\partial\alpha}
\tag{4.1.20}
\label{4.1.20}
\end{equation}
Afin d’alléger les expressions des dérivées partielles des fonctions dépendant de $n$ variables, on va utiliser par la suite les notations indicielles suivantes. Si $f(y^{1},y^{2},...,y^{n})$ est une fonction des $n$ variables $y^{i}$, on notera les dérivées partielles sous la forme :
\begin{equation}
\dfrac{\partial\,f}{\partial\,y^{i}}=\partial_{i}\,f
\tag{4.1.21}
\label{4.1.21}
\end{equation}
Les dérivées secondes par rapport aux variables $y^{i}$ et $y^{k}$ s’écriront :
\begin{equation}
\dfrac{\partial^{2}\,f}{\partial\,y^{i}\partial\,y^{k}}=\partial_{ik}\,f
\tag{4.1.22}
\label{4.1.22}
\end{equation}
Lorsque $\mathbf {x}$ est un vecteur tel que $\beq {x}=x^{i}\,\beq {e_{i}}$, dont les composantes sont des fonctions de $n$ variables $y^{k}$, soit : $x^{i}=x^{i}(y^{1},y^{2},...,y^{n})$, les dérivées partielles du vecteur seront notées, en utilisant la convention de sommation :
\begin{equation}
\dfrac{\partial\,\beq{x}}{\partial\,y^{k}}=\partial_{k}\,\beq{x}=\partial_{k}\,(x^{i}\,\beq{e_{i}})=(\partial_{k}\,x^{i})\,\beq{e_{i}}
\tag{4.1.23}
\label{4.1.23}
\end{equation}