1.Introduction:
Dans le cadre des modèles d'Univers en expansion, nous allons, par un calcul relativement simple, répondre à la question suivante :
à quelle distance se trouve en ce moment l'objet le plus lointain dont la lumière a eu le temps de nous parvenir depuis le commencement de l'Univers ?
Cette limite spatiale fictive se nomme l'horizon cosmologique ou horizon cosmique. Tout évènement qui se déroule, ou s'est déroulé en un point situé au-delà de cet horizon n'a pu, et ne peut, encore être observé par nous. Ceci est illustré sur la figure suivante:
Figure 1 : Représentation de l'horizon cosmique dans un Univers en expansion
Ceci nous permet ainsi de définir le rayon de l'Univers obervable qui n'est autre que la distance comobile correspondant à l'horizon cosmique.
2.Mise en équation:
Pour calculer cette distance, nous repérons le point d'émission et de réception par leur coordonnée spatiale comobile. Nous choisirons notre propre position comme point de réception (r=0). Nous supposerons les coordonnées angulaires de ces deux points nulles. En se servant de la métrique de FLRW, on peut obtenir l'équation de la trajectoire du rayon lumineux émis à t1 d'un point r1, et nous arrivant à l'instant t0. Celle-ci est une géodésique nulle :
 | (1) |
On obtient ainsi la coordonnée r1 de la source :
 | (2) |
où :
 | (3) |
Replaçons-nous dans le cadre de l'évolution de l'Univers. Il existe deux grandes classes de modèles : ceux pour lesquels l'âge présent de l'Univers (ou du moins celui de sa présente phase d'expansion) est fini; ceux pour lesquels cet âge est infini. Autrement dit, pour la première classe (appelés modèles de Big-Bang), on décrit toute l'histoire depuis un instant initial que l'on choisit comme le zéro de l'échelle des temps. Au contraire, l'histoire des modèles à durée infinie empêche de considérer un instant initial. Examinons le cas des modèles de Bing-Bang. Puisque leur histoire débute à t=0, ils imposent la contrainte : t1 > tminimum=0. Associons cette contrainte à l'équation (2) : implique-t-elle une contrainte sur la coordonnée spatiale ?
Tout dépend de la convergence ou non de l'intégrale :
 | (4) |
Si elle converge, elle permet de définir la valeur de l'horizon cosmique. Nous allons maintenant écrire cette intégrale sous une autre forme en remplaçant la variable temporelle par le redshift z :
 | (5) |
Le terme H(z) représentant le taux d'expansion en fonction du redshift z est déterminé par l'équation (2) de Friedmann. On peut ainsi l'écrire sous cette forme :
 | (6) |
Dans la suite des calculs, nous utilisons la variable Ωk qui est déterminé par les variables Ωm et ΩΛ selon :
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avec |
 | (7) |
En partant de la définition de l'horizon cosmique :
 | (8) |
on en déduit finalement son expression dans les 3 modèles d'Univers, avec ze le redshift de l'émission :
- Univers hyperbolique : Ωk > 0
 | (9) |
- Univers euclidien : Ωk = 0
 | (10) |
- Univers sphérique : Ωk < 0
 | (11) |
Nous allons calculer numériquement ces 3 intégrales sous Matlab grâce à la fonction quad qui implémente une quadrature de Simpson. Voici comment elle est utilisée dans l'algorithme :
z_begin=0;
z_final=1100;
inter=1;
j=1;
for z=z_begin:inter:z_final
dc1(j)=c/(H0*sqrt((Omega1_k)))*sinh(sqrt((Omega1_k))*...
quad(@(x)myfunc(x,Omega1_m,Omega1_red,Omega1_k),z_begin,z));
j=j+1;
end
j=1;
for z=z_begin:inter:z_final
dc2(j)=c/H0*(quad(@(x)myfunc(x,Omega2_m,Omega2_red,Omega2_k),z_begin,z));
j=j+1;
end
j=1;
for z=z_begin:inter:z_final
dc3(j)=c/(H0*sqrt(abs(Omega3_k)))*sin(sqrt(abs(Omega3_k))*...
quad(@(x)myfunc(x,Omega3_m,Omega3_red,Omega3_k),z_begin,z));
j=j+1;
end
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Nous prendrons dans le programme ze égal à 1100 car ceci correspond à l'époque du découplage entre la matière et le rayonnement.
3.Résultats:
Voici le graphique obtenu par le programme :
Figure 2 : Valeur de l'horizon cosmique pour ze=1100 dans les 3 modèles
La courbe rouge est celle dont les paramètres cosmologiques (Ωm=0.3 et ΩΛ=0.7) correspondent au modèle standard (modèle ΛCDM). En convertissant en années-lumière ( 1pc = 3.26 a.l), nous obtenons à ze = 1100, avec H0=71 km/s/Mpc, une valeur du rayon de l'Univers observable égale à : R = 1.35 * 10^4 Mpc = 44.01 G a.l, soit 44 Milliards d'années-lumière.
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