1.Introduction:

Nous souhaitons ici résoudre numériquement les équations de Friedmann afin d'obtenir, dans les différentes géométries possibles de l'Univers, le facteur d'échelle en fonction du temps. Pour cela, on assimile le contenu de l'Univers à ce que l'on nomme un fluide parfait, c'est-à-dire un fluide dont les seules propriés intéressantes (du point de vue de la dynamique de l'Univers) se réduisent à sa densité ρ et à sa pression p. Dans ce cas, le tenseur d'impulsion-énergie prend une forme simple, et les équations d'Einstein se réduisent à un ensemble de 2 équations différentielles (voir plus bas eq(1) et eq(2) qui permettent de calculer R(t) en fonction de ρ et de p du "fluide cosmique", du paramète de courbure k, ainsi que de la constante cosmologique Λ.

Il est naturel que la densité de matière que contient l'Univers apparaisse comme un paramètre crucial pour déterminer son évolution. En effet, l'Univers évolue sous l'effet de son propre poids : plus sa densité est élevée, plus il exerce d'attraction gravitationnelles sur lui-même et plus son expansion doit se ralentir.

On peut en généreal décrire un fluide parfait par une équation d'état, reliant sa pression p et sa densité ρ. Dans les équations d'Einstein, le terme de densité apparaît sous la forme ρc² (où c est la vitesse de la lumière), celui de pression sous la forme p. Il y aura lieu, dans ces conditions, de comparer les valeurs des quantités ρc² et p. L'application des équations d'Einstein, avec un tenseur d'impulsion-énergie prenant la forme d'un fluide parfait, donne les équations fondamentales de la cosmologie :

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pouvant être déduites des deux premières. Ces "équations de Friedmann" décrivent la classe générale des modèles de Friedmann-Lemaître. Elles sont à la base des modèles de big bang et permettent de déterminer la structure de l'Univers d'après son contenu.

La première de ces équations donne la dérivée seconde du facteur d'échelle, qui exprime l'accélération ou la décélération de l'expansion. Remarquons que, même avec les hypothèses simplificatrices mentionnées (homogénéité, fluide parfait), densité et pression ne suffisent pas à déterminer la géométrie et la dynamique de l'Univers. Il faut connaître également la constante cosmologique dont nous verrons l'influence plus loin dans les résultats.

2.Les différentes composantes du contenu de l'Univers

Nous nous intéressons maintenant aux différentes composantes du contenu de l'Univers. Elles se distinguent par leurs équations d'états, et donc par leurs lois de dilution.

1.La matière froide:

Ce que nous appellerons matière en cosmologie, par opposition aux autres formes d'énergies décrites ci-dessous, se caractérise par une vitesse d'agitation thermique très faible (v_th << c) et une pression négligeable; (p=ρv_th² << ρc²). Elle est donc "froide" ou "non relativiste". Cela autorise à négliger le terme de pression p devant le terme de densité ρc², sans commettre une erreur trop importante. Autrement dit, pour la matière, on applique l'approximation p=0. La matière froide se dilue proportionnellement à R^-3 (cf eq(3)), nous pouvons écrire sa densité sous la forme :

(4)

2.Le rayonnement:

Le rayonnement est constitué de photons (ou plus généralement, de particules sans masse propre), se déplaçant à la vitesse de la lumière. Sa pression très élevée ne peut être négligée, et son équation d'équation d'état s'écrit p=1/3 ρc². Nous en connaissons trois composantes possibles : rayonnement électromagnémagnétique (photons), ondes gravitationnelles, et neutrinos, s'ils sont dépourvus de masse propre (voir ici). La contribution des ondes gravitationnelles est aujourd'hui négligeable. L'influence dynamique du rayonnement éléctromagnétique, omniprésent dans l'Univers, est aujourd'hui faible, mais elle a été beaucoup plus importante au début de l'histoire cosmique. Il en est de même des neutrinos (non massifs).

3.Matière noire

Les astronomes connaissent les formes répertoriées de la matière, étoiles brillantes (faites de gaz chaud), réunis sous forme de galaxies, gaz, poussières, planètes, etc. Ils dénombrent les galaxies dans l'Univers. Pour chacune, ils analysent séparément masse M et luminosité L, et établissent une valeur moyenne < M/L > du rapport masse sur luminosité. Par la suite, le produit de la luminosité d'une galaxie par < M/L > donne sa masse. Finalement, la densité de masse correspondant à la matière s'édrit donc : ρ_galaxies=N_galaxies < M/L > . D'aprè les dernières estimations, ρ_galaxies vaut 2.10^-31g.cm-3, soit Ω_m=0.04. Il s'agit de la contribution baryonique visible à la densité de l'Univers.

Les analyses dynamiques des galaxies ou des amas de galaxies ne sont pas en accord avec ces estimations. L'interprétation la plus simple et la plus courante de ce désaccord suppose que ces objets contiennent davantage de masse que ce que nous y voyons : à côté de la masse visible, se trouveraient de grandes quantités de masse cachée (ou invisible) que l'on appelle aussi matière noire. Les contributions additionnées des masses dynamiques des amas sont estimés à Ω_m=0.2-0.3. Un autre argument conduit à une estimation du même ordre. Il se fonde sur les calculs de la nucléosynthèse primordiale dans le cadre des modèles de big-bang : leurs résultats ne sont en accord avec les observations d'éléments légers, que si la contribution Ω_b des baryons à Ω_m est de l'ordre 0.01-0.05.

4.Energie noire, vide et quintessence:

Matière et rayonnement, ces deux formes d'énergie, sont les archétypes du contenu de l'Univers. Néanmoins, une troisième forme d'énergie a été récemment évoquée en cosmologie, avec une pression négative. Selon la théorie quantique des champs, il se pourrait en effet que l'état fondamental associé à un champ quantique ait exercé une influence dynamique en cosmologie. Il s'agit de ce que l'on appelle, selon un terme assez malheureux mais frappant, l'énergie du vide. Par vide, on se réfère en fait à l'état fondamental par rapport auquel on mesure des excitations des champs. La théorie suggère qu'un tel état puisse posséder une densité d'énergie ρ_vide, et tout se passe comme si l'on pouvait lui attribuer également une pression négative p=-ρ_vide !

Il est ramarquable que la contribution d'une telle énergie du vide soit, dans certains cas, formellement identique à celle d'une constante cosmologique Λ=8πGρ_vide. Néanmoins, cette analogie n'opère rigoureusement que si l'énergie du vide est calculée dans un espace-temps sans courbure ni évolution, celui de Minkowski. Cela ne correspond évidemment pas aux conditions de la cosmologie (par exemple, l'énergie du vide est a priori variable au cours de l'évolution cosmique alors que, par définition, Λ est rigoureusement constante).

3.Les paramètres cosmologiques:

1.Constante de Hubble:

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2.Paramètre de décélération:

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3.Paramètres de densité:

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L'ensemble des modèles dominés par la matière (avec Λ=0) se divise en deux classes selon que la densité est inférieure ou supérieure à cette valeur. La valeur critique de la densité jouant le rôle d'une unité naturelle, on définit le paramètre de densité Ω_m :

(8)

(9)

4.Mise en équation du problème:

Nous voyons que les eq(1) et eq(2) font intervenir la dérivée seconde et première du facteur d'échelle. Le but est de combiner ces deux équations afin d'obtenir une équation différentielle du second ordre que l'on mettra sous forme matricielle. Ceci nous permettra ensuite d'utiliser les solveurs d'ode de Matlab.En introduisant le facteur d'échelle normalisé y(t)=R(t)/R₀, nous pouvons écrire l'eq(1) sous la forme:

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(11)

(12)

(13)

(14)

Nous pourrons alors déduire la valeur de Ω_k en fonction de la valeur de Ω_m et de Ω_Λ ( On néglige Ω_r car nous sommes dans l'ère de la matière, voir plus haut).

L'équation suivante sera utile dans la compréhension des résultats, surtout concernant le signe du paramètre de décélération q₀. On obtient rapidement :

(15)

Écrivons maintenant l'eq(13) sous la forme d'un système du premier ordre qui est adaptée pour les solveurs Matlab :

	(16)
avec
	(17)

5.Résultats:

• la courbe noire qui correspond à un Univers de type sphérique (k=1). Après une première phase d'expansion, l'Univers se contracte ("collapse model" en anglais). C'est le modèle du "Big Crunch".

• la courbe verte qui correspond à une géométrie euclidienne (k=0) avec une constante cosmologique nulle. La densité est exactement égale à la densité critique et l'expansion est éternelle tout en décélérant (q₀=0.5 cf eq(15)).

• la courbe bleue montre une géométrie de type hyperbolique (k=-1). L'expansion y est aussi éternelle mais son taux décroît au fil du temps (q₀=0.15).

• la courbe rouge est celle qui correspond le mieux aux observations actuelles. On retrouve la valeur de Ω_m égale à 0.3 et Ω_Λ à 0.7, d'où q₀=-0.55. D'après l'eq(14), on voit que Ω_k=0, soit k=0. La géométrie est donc euclidienne. L'expansion s'accélère indéfiniment (q₀ < 0), jusqu'à atteindre une valeur telle que les objets astrophysiques eux-mêmes sont disloqués : c'est le modèle du "Big Rip". Nous pouvons estimer avec cette courbe l'âge de l'Univers en partant de y=0 jusqu'à y=1; on obtient une valeur égale environ à 13 Milliards d'années.

Source Matlab de ce projet :

friedmann.m