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Sciences > L'espace-temps de la relativité restreinte - Exercices


 
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Exercices

Décalage spectral de la lumière des galaxies

Un phénomène de "fuite" des amas de galaxies a été observé dès 1912 par l'astronome Vesto Slipher en étudiant le décalage spectral de la lumière émise par les galaxies. Les vitesses des galaxies les plus lointaines atteignent l'ordre de grandeur de la vitesse de la lumière. À cette époque, la relativité générale n'était pas encore établie et la fuite des galaxies fut interprétée comme un phénomène Doppler en relativité restreinte. Ce ne fut qu'à la suite de l'article de Georges Lemaître, en 1927, que la vitesse de fuite des "nébuleuses extragalactiques" fut interprétée comme étant celle de l'expansion de l'Univers.

Au phénomène Doppler classique, étudié en optique par Fizeau, se superpose donc à ces vitesses le phénomène de relativité du temps : c'est l'effet Doppler-Fizeau relativiste que nous allons étudier.

Un observateur immobile au point $ M$ dans un référentiel R, reçoit un rayonnement électromagnétique émis par une source mobile S dans le référentiel R. Cette source est liée à un référentiel propre R' qui se déplace à la vitesse uniforme $ V$ par rapport à R, dans le sens des $ x$ positifs. La source est située au point origine $ O'$ (Fig. 1.1). À un instant donné, la direction $ O'M$ de propagation du rayonnement vers l'observation fait un angle $ \theta$ avec l'axe $ Ox$.

  1. Écrire, dans le référentiel R, les expressions des composantes $ k_{x}$ et $ k_{y}$ du vecteur d'onde $ \mathbf{k}$ correspondant à la propagation dans la direction $ O'M$.

  2. On sait que la phase d'onde $ (\omega\,t-\mathbf{k}\,\cdot\,\mathbf{r})$ $ \mathbf{r}$ est le rayon vecteur, est invariante par changement de référentiel d'inertie. Calculer les formules de changement des composantes du vecteur d'onde et de la pulsation lors du passage d'un référentiel d'inertie à un autre en translation uniforme à la vitesse relative $ V$.

  3. Soit $ \omega$ la pulsation mesurée dans R du rayonnement émis par la source S. Écrire les expressions des composantes du vecteur d'onde $ \mathbf{k'}$ et de la pulsation $ \omega'$ dans R' en fonction de $ k=\vert\vert\mathbf{k}\vert\vert$ et $ \omega$.

  4. Déterminer la pulsation $ \omega$ mesurée par l'observateur situé au point $ M$, en fonction de la pulsation $ \omega'$ du rayonnement émis.

  5. Lorsque l'observateur est situé sur la droite $ Ox$, et que la source S se dirige vers lui, déterminer l'expression de $ \omega$. Même question lorsque la source s'éloigne de l'observateur

Correction

  1. Dans le référentiel R, le vecteur d'onde $ \mathbf{k}$, de norme $ k$, correspondant à la propagation dans la direction $ O'M$ a pour composantes, avec $ k=\omega/c$ :

    $\displaystyle k_{x}=k\,$cos$\displaystyle \,\theta=\dfrac{\omega}{c}\,$cos$\displaystyle \,\theta\,\,\,;\,\,\,k_{y}=k\,$sin$\displaystyle \,\theta=\dfrac{\omega}{c}\,$sin$\displaystyle \,\theta$ (1.21)

  2. La phase $ (\omega\,t-\mathbf{k}\,\cdot\,\mathbf{r})$ d'une onde dans R étant invariante lors du passage d'un référentiel d'inertie à un autre, on note $ (\omega'\,t'-\mathbf{k'}\,\cdot\,\mathbf{r'})$ la phase dans R', d'où :

    $\displaystyle (\omega\,t-\mathbf{k}\,\cdot\,\mathbf{r})=(\omega'\,t'-\mathbf{k'}\,\cdot\,\mathbf{r'})$ (1.22)

    Les formules de la transformation de Lorentz-Poincaré appliquées à la relation (1.22) nous donnent :

    $\displaystyle \gamma(V)\,k_{x}\,(x'+Vt')+k_{y}y'+k_{z}z'-\gamma(V)\,\omega\,\big(t'+\dfrac{Vx'}{c^{2}}\big)=k'_{x'}x'+k'_{y'}y'+k'_{z'}z'-\omega'\,t'$ (1.23)

    Cette dernière relation étant valable quels que soient $ \mathbf{r}$ et $ t$, on obtient, en identifiant dans les deux membres de  (1.23) les termes dépendants de chacune des variables $ x',y',z',t'$ :

    $\displaystyle k'_{x'}=\gamma(V)\,\big(k_{x}-\dfrac{\omega\,V}{c^{2}}\big)\,\,\,...
..._{y}\,\,\,;\,\,\,k'_{z'}=k_{z}\,\,\,;\,\,\,\omega'=\gamma(V)\,(\omega-k_{x}\,V)$ (1.24)

  3. Les formules (1.24) donnent les formules de changement des composantes du vecteur d'onde et de la pulsation lors d'un changement de référentiel d'inertie. Compte tenu des formules (1.21), on obtient :

    $\displaystyle k'_{x'}=\gamma(V)\,\big(k\,$cos$\displaystyle \,\theta-\dfrac{\omega\,V}{c^{2}}\big)\,\,\,;\,\,\,\omega'=\gamma(V)\,(\omega-k\,V\,$cos$\displaystyle \,\theta)$ (1.25)

  4. Avec $ k=\omega/c$ et $ \beta=V/c$, la dernière formule (1.25) donne :

    $\displaystyle \omega=\dfrac{\omega'}{\gamma(V)(1-\beta\,\text{cos}\,\theta)}=\dfrac{\omega'\,\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta\,\text{cos}\,\theta}$ (1.26)

  5. Lorsque l'observateur est situé sur l'axe $ Ox$ et que la source S se dirige vers lui, on a $ \theta=0$ et la formule  (1.26) devient :

    $\displaystyle \omega=\dfrac{\omega'\,\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta}=\omega'\,\sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}$ (1.27)

    La pulsation perçue est supérieure à celle du rayonnement émis par la source dans son référentiel propre. On obtient un décalage du spectre vers les petites longueurs d'onde ; on dit qu'on a un déplacement "vers le violet".

    Lorsque la source s'éloigne de l'observateur, on a : $ \theta=\pi$ et la formule (1.26) devient :

    $\displaystyle \omega=\omega'\,\dfrac{1-\beta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\omega'\,\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}$ (1.28)

    Le décalage du spectre a lieu vers les grandes longueurs d'onde. On dit qu'on observe un déplacement "vers le rouge".

    L'astronome Vesto Slipher observera un déplacement de la lumière des galaxies vers le rouge et son interprétation, en 1914, d'une fuite des galaxies fit sensation. Ce fut la théorie de la relativité générale qui permit par la suite, en 1927, de relier ce phénomène de "fuite" à la vitesse d'expansion de l'Univers.

La transformation de Lorentz-Poincaré est une rotation de l'espace-temps

Henri Poincaré a démontré l'invariance de l'intervalle ; il en a déduit que la transformation de Lorentz-Poincaré constitue une rotation dans l'espace-temps.

  1. En utilisant la transfomation spéciale de Lorentz-Poincaré, vérifier que l'intervalle entre deux évènements de coordonnées $ (x_{1},y_{1},z_{1},t_{1})$ et $ (x_{2},y_{2},z_{2},t_{2})$ est un invariant lors du passage d'un référentiel R à un autre R' (Fig. 1.1).

  2. Effectuer le changement de variables utilisé par Poincaré :

    $\displaystyle x=x_{1}\,\,\,;\,\,\,y=x_{2}\,\,\,;\,\,\,z=x_{3}\,\,\,;\,\,\,ict=x_{4}$ (1.29)

    Montrer que le carré de l'intervalle élémentaire $ ds^{2}$, dans ce nouveau système de coordonnées, représente la distance entre deux points dans un espace euclidien à quatre dimensions. En déduire que la transformation de Lorentz-Poincaré est une rotation de l'espace-temps.

  3. On va trouver à présent la transformation de Lorentz-Poincaré en partant de la rotation de l'espace-temps dans un plan spatio-temporel. Écrire les formules classiques de rotation d'un angle $ \theta$ dans le plan-spatio-temporel $ (x_{1},x_{4})$ autour du point origine $ O$ du référentiel R.

  4. L'origine $ O'$ du référentiel R' correspond à $ x'_{1}=0$ ; la vitesse de déplacement de R' par rapport à R est égale à $ V$ (Fig. 1.1). Calculer sin$ \,\theta$ et cos$ \,\theta$ en fonction de $ V$.

  5. En substituant sin$ \,\theta$ et cos$ \,\theta$ dans les formules de rotation, retrouver la transformation de Lorentz-Poincaré en fonction des variables initiales $ x,y,z,t$.

Correction

  1. L'intervalle $ s_{12}$ entre deux évènements est défini par :

    $\displaystyle (s_{12})^{2}=c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}$ (1.30)

    La transformation spéciale de Lorentz-Poincaré est donnée par les formules (1.1). En reportant dans la définition  (1.30) de l'intervalle les expressions des coordonnées données par (1.1), puis en développant les carrés, on obtient :

    $\displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}=\gamma^{2}(V)[(c^{2}-V^{2})\,(t'_{2}-t'_{1})-(1-V^{2}/c^{2})\,(x'_{2}-x'_{1})^{2}]$ (1.31)

    L'expression de $ \gamma(V)$ donne les relations :

    $\displaystyle \gamma^{2}(c^{2}-V^{2})=c^{2}\,\,\,;\,\,\,-\gamma^{2}(1-V^{2}/c^{2})=-1$ (1.32)

    Substituant dans la relation (1.31), puis compte tenu de l'invariance des termes dépendants de $ y$ et $ z$, on obtient :

    $\displaystyle (s_{12})^{2}=c^{2}(t'_{2}-t'_{1})^{2}-(x'_{2}-x'_{1})^{2}-(y'_{2}-y'_{1})^{2}-(z'_{2}-z'_{1})^{2}=(s'_{12})^{2}$ (1.33)

    L'intervalle est la forme quadratique invariante lors d'une transformation de Lorentz-Poincaré.

  2. En effectuant le changement de coordonnée (1.29), on obtient pour l'intervalle élémentaire :

    $\displaystyle ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}+dx_{4}^{2}$ (1.34)

    Le carré de l'intervalle entre deux évènements peut être positif ou négatif. Un certain arbitraire peut donc intervenir dans le choix du signe de $ ds^{2}$, ce qui ne change rien à ses propriétés. Le second membre de la relation  (1.34) constitue la généralisation à quatre dimensions du carré de la distance dans l'espace à trois dimensions. Avec les coordonnées (1.1), l'espace devient euclidien. Nous appellerons espace-temps de Poincaré cet espace euclidien.

    L'intervalle étant un invariant par une transformation de Lorentz-Poincaré, cela signifie que cette transformation conserve les distances dans l'espace euclidien quadridimensionnel. Or les transformations de Lorentz-Poincaré sont celles du passage d'un référentiel d'inertie à un autre. Dans l'espace euclidien défini par les coordonnées (1.29), un tel passage s'effectue par des translations et des rotations du système de coordonnées. Les translations consistent simplement en un changement de l'origine des temps et une translation de l'origine du référentiel. La transformation de Lorentz-Poincaré est donc équivalente mathématiquement à une rotation de l'espace-temps défini par les coordonnées  (1.29).

  3. Une rotation quelconque de l'espace-temps de Poincaré peut être décomposée en trois rotations dans les plans spatiaux $ (x_{1},x_{2})$, $ (x_{1},x_{3})$ et $ (x_{2},x_{3})$ et trois rotations dans les plans spatio-temporels $ (x_{4},x_{1})$, $ (x_{4},x_{2})$, $ (x_{4},x_{3})$. Les rotations dans les plans spatiaux correspondent simplement à des rotations ordinaires dans l'espace euclidien à trois dimensions. Il reste donc à étudier les rotations dans les plans spatio-temporels.

    Considérons nos deux référentiels habituels R et R'. Lors d'une rotation dans le plan $ (x_{4},x_{1})$ d'un angle $ \theta$, les coordonnées $ x_{2}$ et $ x_{3}$ restent invariantes. Les formules classiques de rotation dans un plan font passer des coordonnées $ (x_{4},x_{1})$ aux coordonnées $ (x'_{4},x'_{1})$ selon les formules :

    $\displaystyle x_{1}=x'_{1}\,$cos$\displaystyle \,\theta-x'_{4}\,$sin$\displaystyle \,\theta\,\,\,;\,\,\,x_{4}=x'_{1}\,$sin$\displaystyle \,\theta+x'_{4}\,$cos$\displaystyle \,\theta$ (1.35)

  4. L'origine $ O'$ des coordonnées du référentiel R' correspond à $ x'_{1}=0$. La rotation de $ O'$ par rapport à R s'exprime donc en écrivant que $ x'_{1}$ est nul dans les formules (1.35), soit :

    $\displaystyle x_{1}=-x'_{4}\,$sin$\displaystyle \,\theta\,\,\,;\,\,\,x_{4}=x'_{4}\,$cos$\displaystyle \,\theta$ (1.36)

    Le rapport des deux équations précédentes nous donne :

    $\displaystyle \dfrac{x_{1}}{x_{4}}=-$tan$\displaystyle \,\theta$ (1.37)

    Le déplacement du référentiel R' par rapport à R selon l'axe des $ x$ s'effectue à la vitesse $ V=x/t$. Puisque $ x=x_{1}$ et $ x_{4}=ict$, on obtient :

    tan$\displaystyle \,\theta=-Vt/ict=iV/c$ (1.38)

    L'angle de rotation $ \theta$ est un nombre imaginaire pur puisque tan$ \,\theta$ est égal à $ iV/c$. Les formules classiques de trigonométrie nous donnent :

    sin$\displaystyle \,\theta=i\,\gamma(V)\,V/c\,\,\,;\,\,\,$cos$\displaystyle \,\theta=\gamma(V)$ (1.39)

  5. Substituant les expressions (1.39) dans les formules de rotation (1.35), il vient :

    $\displaystyle x_{1}=\gamma(V)\,\big(x'_{1}-\dfrac{iV}{c}\,x'_{4}\big)\,\,\,;\,\,\,x_{4}=\gamma(V)\,\big(x'_{4}+\dfrac{iV}{c}\,x'_{1}\big)$ (1.40)

    Le changement initial de variables $ x=x_{1}, x'=x'_{1}, ict=x_{4}, ict'=x'_{4}$, reporté dans les formules (1.40) conduit à :

    $\displaystyle x_{1}=\gamma(V)\,(x'+Vt')\,\,\,;\,\,\,t=\gamma(V)\,(t'+\dfrac{V}{c^{2}}\,x')$ (1.41)

    On retrouve les formules classiques de la transformation de Lorentz-Poincaré. Celle-ci représente donc bien une rotation d'un angle imaginaire dans l'espace-temps de Poincaré.

Effet Compton

Le caractère corpusculaire du photon fut complété par Einstein en 1917 lorsqu'il proposa d'attribuer au photon, en plus de son énergie, une certaine quantité de mouvement $ p$.

  1. Le photon étant de masse nulle et d'énergie $ E=h\nu$$ \nu$ est la fréquence du rayonnement photonique, déterminer l'expression de son impulsion $ p$.

  2. Une expérience effectuée par Compton en 1923 vint confirmer directement l'aspect corpusculaire du photon. Dans cette expérience, on envoie un faisceau de rayons X sur un matériau contenant un certain nombre d'électrons libres. Pour une plaque de métal suffisamment mince, on observe, par transmission, des rayons X qui sont déviés par rapport à la direction du faisceau initial avec une longueur d'onde légèrement plus grande que celle des rayons X incidents (Fig. 1.3).

    Figure 1.3
    \includegraphics[width=59mm height=45mm]{fig3.eps}

    La vitesse initiale de l'électron dans un métal étant très faible par rapport à la vitesse de la lumière, l'électron peut être considéré comme étant au repos. On suppose que le choc entre le photon et l'électron est parfaitement élastique et l'énergie relativiste du système se conserve. Écrire cette équation de conservation des énergies.

  3. Écrire l'équation vectorielle de conservation des impulsions du photon et de l'électron lors du choc ainsi que cette même équation de conservation entre les modules des impulsions.

  4. En exprimant les impulsions du photon avant et après l'impact en fonction de ses fréquences respectives, $ \nu_{1}$ et $ \nu_{2}$, écrire l'expression de l'équation de conservation des modules des impulsions en fonction des fréquences $ \nu_{1}$ et $ \nu_{2}$.

  5. Déterminer la variation de fréquence du photon avant et après l'impact. En déduire la variation de sa longueur d'onde.

Correction

  1. L'énergie mécanique $ E$ d'une particule de masse $ m$ et d'impulsion $ p$ est donnée en relativité restreinte par :

    $\displaystyle E=c(p^{2}+m^{2}\,c^{2})^{1/2}$ (1.42)

    Le photon étant de masse nulle, son énergie relativiste se réduit à $ E=pc$. D'autre part, son énergie exprimée en fonction de sa fréquence $ \nu$ est, selon la relation de Planck, égale à : $ E=h\nu$. L'impulsion du photon s'écrit ainsi :

    $\displaystyle p=\dfrac{E}{c}=\dfrac{h\nu}{c}$ (1.43)

  2. On note respectivement $ \nu_{1}$ et $ \nu_{2}$ les fréquences du photon avant et après le choc ; $ m$ et $ p_{e}$ sont respectivement la masse et l'impulsion de l'électron qui est considéré comme étant au repos. La somme des énergies du photon incident et de l'électron au repos doit être égale à la somme des énergies du photon diffusé et de l'électron mis en mouvement. On a l'équation de conservation :

    $\displaystyle h\nu_{1}+mc^{2}=h\nu_{2}+c(p_{e}^{2}+m^{2}c^{2})^{1/2}$ (1.44)

  3. On note $ \mathbf{p_{1}}$ et $ \mathbf{p_{2}}$ les impulsions du photon avant et après le choc, $ \mathbf{p_{e}}$ l'impulsion de l'électron après l'impact du photon. La conservation des impulsions s'écrit :

    $\displaystyle \mathbf{p_{1}}=\mathbf{p_{2}}+\mathbf{p_{e}}$ (1.45)

    Les vecteurs $ \mathbf{p_{1}}$ et $ \mathbf{p_{2}}$ font entre eux un angle $ \theta$. La relation (1.45) conduit à l'équation suivante entre leurs modules :

    $\displaystyle p_{e}^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}-2p_{1}\,p_{2}\,$cos$\displaystyle \,\theta$ (1.46)

  4. En utilisant l'expression (1.43) donnant l'impulsion en fonction de la fréquence, l'équation (1.46) dnne l'expression de $ p_{e}$ en fonction des fréquences $ \nu_{1}$ et $ \nu_{2}$. Reportant cette valeur de $ p_{e}$ dans l'équation  (1.44), on obtient :

    $\displaystyle \dfrac{h\nu_{1}}{c}+mc=\dfrac{h\nu_{2}}{c}+\bigg[\bigg(\dfrac{h\n...
...\bigg(\dfrac{h\nu_{2}}{c}\bigg)^{2}-\dfrac{2\,h^{2}\,\nu_{1}\,\nu_{2}}{c^{2}}\,$cos$\displaystyle \,\theta+m^{2}\,c^{2}\bigg]^{1/2}$ (1.47)

  5. En isolant les termes sous le radical et élevant au carré, on obtient après regroupement :

    $\displaystyle \nu_{1}-\nu_{2}=\dfrac{h\,\nu_{1}\,\nu_{2}}{m\,c^{2}}\,(1-$cos$\displaystyle \,\theta)$ (1.48)

    Les fréquences $ \nu=c/\lambda$ donnent ainsi la variation de la longueur d'onde :

    $\displaystyle \Delta\,\lambda=\lambda_{2}-\lambda_{1}=\dfrac{2\,h}{m\,c}\,$sin$\displaystyle ^{2}\,\dfrac{\theta}{2}=2\,\lambda_{c}\,$sin$\displaystyle ^{2}\,\dfrac{\theta}{2}$ (1.49)

    La constante $ \lambda_{c}=h/mc$ est appelée longueur d'onde de Compton pour l'électron. Les résulats expérimentaux vérifient parfaitement l'équation (1.49), ce qui justifie l'hypothèse corpusculaire du rayonnement électromagétique.

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