Sous-sections
Un phénomène de "fuite" des amas de galaxies a été observé dès 1912 par l'astronome Vesto Slipher en étudiant le
décalage spectral de la lumière émise par les galaxies. Les vitesses des galaxies les plus lointaines atteignent l'ordre
de grandeur de la vitesse de la lumière. À cette époque, la relativité générale n'était pas encore établie et la
fuite des galaxies fut interprétée comme un phénomène Doppler en relativité restreinte. Ce ne fut qu'à la suite de
l'article de Georges Lemaître, en 1927, que la vitesse de fuite des "nébuleuses extragalactiques" fut interprétée comme
étant celle de l'expansion de l'Univers.
Au phénomène Doppler classique, étudié en optique par Fizeau, se superpose donc à ces vitesses le phénomène de
relativité du temps : c'est l'effet Doppler-Fizeau relativiste que nous allons étudier.
Un observateur immobile au point dans un référentiel R, reçoit un rayonnement électromagnétique émis par une
source mobile S dans le référentiel R. Cette source est liée à un référentiel propre R' qui se déplace à la
vitesse uniforme par rapport à R, dans le sens des positifs. La source
est située au point origine (Fig. 1.1). À un instant donné, la direction de propagation du rayonnement vers l'observation fait un angle avec
l'axe .
- Écrire, dans le référentiel R, les expressions des composantes
et du vecteur d'onde
correspondant à la propagation dans la direction .
- On sait que la phase d'onde
où
est le rayon vecteur, est invariante par
changement de référentiel d'inertie. Calculer les formules de changement des composantes du vecteur d'onde et de la
pulsation lors du passage d'un référentiel d'inertie à un autre en translation uniforme à la vitesse relative .
- Soit
la pulsation mesurée dans R du rayonnement émis par la source S. Écrire les expressions des
composantes du vecteur d'onde
et de la pulsation dans R' en fonction de
et .
- Déterminer la pulsation
mesurée par l'observateur situé au point , en fonction de la pulsation
du rayonnement émis.
- Lorsque l'observateur est situé sur la droite
, et que la source S se dirige vers lui, déterminer l'expression de
. Même question lorsque la source s'éloigne de l'observateur
- Dans le référentiel R, le vecteur d'onde
, de norme , correspondant à la propagation dans la direction
a pour composantes, avec
:
- La phase
d'une onde dans R étant invariante lors du passage d'un référentiel
d'inertie à un autre, on note
la phase dans R', d'où :
 |
(1.22) |
Les formules de la transformation de Lorentz-Poincaré appliquées à la relation (1.22) nous donnent :
 |
(1.23) |
Cette dernière relation étant valable quels que soient
et , on obtient, en identifiant dans les deux membres de
(1.23) les termes dépendants de chacune des variables
:
 |
(1.24) |
- Les formules (1.24) donnent les formules de changement des composantes du vecteur d'onde et de la pulsation lors
d'un changement de référentiel d'inertie. Compte tenu des formules (1.21), on obtient :
- Avec
et , la dernière formule (1.25) donne :
 |
(1.26) |
- Lorsque l'observateur est situé sur l'axe
et que la source S se dirige vers lui, on a et la formule
(1.26) devient :
 |
(1.27) |
La pulsation perçue est supérieure à celle du rayonnement émis par la source dans son référentiel propre. On
obtient un décalage du spectre vers les petites longueurs d'onde ; on dit qu'on a un déplacement "vers le violet".
Lorsque la source s'éloigne de l'observateur, on a :
et la formule (1.26) devient :
 |
(1.28) |
Le décalage du spectre a lieu vers les grandes longueurs d'onde. On dit qu'on observe un déplacement "vers le rouge".
L'astronome Vesto Slipher observera un déplacement de la lumière des galaxies vers le rouge et son interprétation, en
1914, d'une fuite des galaxies fit sensation. Ce fut la théorie de la relativité générale qui permit par la suite, en
1927, de relier ce phénomène de "fuite" à la vitesse d'expansion de l'Univers.
Henri Poincaré a démontré l'invariance de l'intervalle ; il en a déduit que la transformation de Lorentz-Poincaré
constitue une rotation dans l'espace-temps.
- En utilisant la transfomation spéciale de Lorentz-Poincaré, vérifier que l'intervalle entre deux évènements de
coordonnées
et
est un invariant lors du passage d'un référentiel R
à un autre R' (Fig. 1.1).
- Effectuer le changement de variables utilisé par Poincaré :
 |
(1.29) |
Montrer que le carré de l'intervalle élémentaire , dans ce nouveau système de coordonnées, représente la
distance entre deux points dans un espace euclidien à quatre dimensions. En déduire que la transformation de
Lorentz-Poincaré est une rotation de l'espace-temps.
- On va trouver à présent la transformation de Lorentz-Poincaré en partant de la rotation de l'espace-temps dans un
plan spatio-temporel. Écrire les formules classiques de rotation d'un angle
dans le plan-spatio-temporel
autour du point origine du référentiel R.
- L'origine
du référentiel R' correspond à ; la vitesse de déplacement de R' par rapport à R est
égale à (Fig. 1.1). Calculer
sin et
cos en fonction de .
- En substituant
sin
et
cos dans les formules de rotation, retrouver la transformation de
Lorentz-Poincaré en fonction des variables initiales .
- L'intervalle
entre deux évènements est défini par :
 |
(1.30) |
La transformation spéciale de Lorentz-Poincaré est donnée par les formules (1.1). En reportant dans la définition
(1.30) de l'intervalle les expressions des coordonnées données par (1.1), puis en développant les carrés,
on obtient :
![$\displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}=\gamma^{2}(V)[(c^{2}-V^{2})\,(t'_{2}-t'_{1})-(1-V^{2}/c^{2})\,(x'_{2}-x'_{1})^{2}]$](img149.gif) |
(1.31) |
L'expression de donne les relations :
 |
(1.32) |
Substituant dans la relation (1.31), puis compte tenu de l'invariance des termes dépendants de et , on obtient :
 |
(1.33) |
L'intervalle est la forme quadratique invariante lors d'une transformation de Lorentz-Poincaré.
- En effectuant le changement de coordonnée (1.29), on obtient pour l'intervalle élémentaire :
 |
(1.34) |
Le carré de l'intervalle entre deux évènements peut être positif ou négatif. Un certain arbitraire peut donc
intervenir dans le choix du signe de , ce qui ne change rien à ses propriétés. Le second membre de la relation
(1.34) constitue la généralisation à quatre dimensions du carré de la distance dans l'espace à trois
dimensions. Avec les coordonnées (1.1), l'espace devient euclidien. Nous appellerons espace-temps de Poincaré
cet espace euclidien.
L'intervalle étant un invariant par une transformation de Lorentz-Poincaré, cela signifie que cette transformation conserve
les distances dans l'espace euclidien quadridimensionnel. Or les transformations de Lorentz-Poincaré sont celles du passage
d'un référentiel d'inertie à un autre. Dans l'espace euclidien défini par les coordonnées (1.29), un tel
passage s'effectue par des translations et des rotations du système de coordonnées. Les translations consistent simplement
en un changement de l'origine des temps et une translation de l'origine du référentiel. La transformation de
Lorentz-Poincaré est donc équivalente mathématiquement à une rotation de l'espace-temps défini par les coordonnées
(1.29).
- Une rotation quelconque de l'espace-temps de Poincaré peut être décomposée en trois rotations dans les plans
spatiaux
,
et
et trois rotations dans les plans spatio-temporels
,
,
. Les rotations dans les plans spatiaux correspondent simplement à des rotations ordinaires
dans l'espace euclidien à trois dimensions. Il reste donc à étudier les rotations dans les plans spatio-temporels.
Considérons nos deux référentiels habituels R et R'. Lors d'une rotation dans le plan
d'un angle ,
les coordonnées et restent invariantes. Les formules classiques de rotation dans un plan font passer des
coordonnées
aux coordonnées
selon les formules :
- L'origine
des coordonnées du référentiel R' correspond à . La rotation de par rapport à R
s'exprime donc en écrivant que est nul dans les formules (1.35), soit :
Le rapport des deux équations précédentes nous donne :
tan |
(1.37) |
Le déplacement du référentiel R' par rapport à R selon l'axe des s'effectue à la vitesse . Puisque
et , on obtient :
tan |
(1.38) |
L'angle de rotation est un nombre imaginaire pur puisque
tan est égal à . Les formules
classiques de trigonométrie nous donnent :
sin cos |
(1.39) |
- Substituant les expressions (1.39) dans les formules de rotation (1.35), il vient :
 |
(1.40) |
Le changement initial de variables
, reporté dans les formules (1.40) conduit
à :
 |
(1.41) |
On retrouve les formules classiques de la transformation de Lorentz-Poincaré. Celle-ci représente donc bien une rotation
d'un angle imaginaire dans l'espace-temps de Poincaré.
Le caractère corpusculaire du photon fut complété par Einstein en 1917 lorsqu'il proposa d'attribuer au photon, en plus de
son énergie, une certaine quantité de mouvement .
- Le photon étant de masse nulle et d'énergie
où est la fréquence du rayonnement photonique,
déterminer l'expression de son impulsion .
- Une expérience effectuée par Compton en 1923 vint confirmer directement l'aspect corpusculaire du photon. Dans cette
expérience, on envoie un faisceau de rayons X sur un matériau contenant un certain nombre d'électrons libres. Pour une
plaque de métal suffisamment mince, on observe, par transmission, des rayons X qui sont déviés par rapport à la direction
du faisceau initial avec une longueur d'onde légèrement plus grande que
celle des rayons X incidents (Fig. 1.3).
Figure 1.3
|
La vitesse initiale de l'électron dans un métal étant très faible par rapport à la vitesse de la lumière,
l'électron peut être considéré comme étant au repos. On suppose que le choc entre le photon et l'électron est
parfaitement élastique et l'énergie relativiste du système se conserve. Écrire cette équation de conservation des
énergies.
- Écrire l'équation vectorielle de conservation des impulsions du photon et de l'électron lors du choc ainsi que cette
même équation de conservation entre les modules des impulsions.
- En exprimant les impulsions du photon avant et après l'impact en fonction de ses fréquences respectives,
et
, écrire l'expression de l'équation de conservation des modules des impulsions en fonction des fréquences
et .
- Déterminer la variation de fréquence du photon avant et après l'impact. En déduire la variation de sa longueur
d'onde.
- L'énergie mécanique
d'une particule de masse et d'impulsion est donnée en relativité restreinte par :
 |
(1.42) |
Le photon étant de masse nulle, son énergie relativiste se réduit à . D'autre part, son énergie exprimée en
fonction de sa fréquence est, selon la relation de Planck, égale à : . L'impulsion du photon s'écrit ainsi
:
 |
(1.43) |
- On note respectivement
et les fréquences du photon avant et après le choc ; et sont
respectivement la masse et l'impulsion de l'électron qui est considéré comme étant au repos. La somme des énergies du
photon incident et de l'électron au repos doit être égale à la somme des énergies du photon diffusé et de
l'électron mis en mouvement. On a l'équation de conservation :
 |
(1.44) |
- On note
et
les impulsions du photon avant et après le choc,
l'impulsion de
l'électron après l'impact du photon. La conservation des impulsions s'écrit :
 |
(1.45) |
Les vecteurs
et
font entre eux un angle . La relation (1.45) conduit à l'équation
suivante entre leurs modules :
cos |
(1.46) |
- En utilisant l'expression (1.43) donnant l'impulsion en fonction de la fréquence, l'équation (1.46) dnne
l'expression de
en fonction des fréquences et . Reportant cette valeur de dans l'équation
(1.44), on obtient :
cos![$\displaystyle \,\theta+m^{2}\,c^{2}\bigg]^{1/2}$](img200.gif) |
(1.47) |
- En isolant les termes sous le radical et élevant au carré, on obtient après regroupement :
cos |
(1.48) |
Les fréquences
donnent ainsi la variation de la longueur d'onde :
La constante
est appelée longueur d'onde de Compton pour l'électron. Les résulats expérimentaux
vérifient parfaitement l'équation (1.49), ce qui justifie l'hypothèse corpusculaire du rayonnement
électromagétique.
|