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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Énergie


 
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Énergie

La physique classique reconnaît deux principes fondamentaux de conservation : ceux de conservation de l'énergie et de conservation de la masse. Ces deux principes apparaissent complètement indépendants. La théorie de la relativité restreinte permet de les fondre en un seul : le principe de conservation de la masse, généralisé sous forme de principe de conservation de l'inertie, se confond avec celui de conservation de l'énergie.

Quadrivecteur vitesse unitaire

Lorsqu'une particule effectue un certain déplacement d$ \mathbf{r}$ durant un temps impropre $ dt$, la vitesse ordinaire de cette particule est définie par $ \mathbf{v}=d\mathbf{r}/dt$.

Un tel déplacement $ d\mathbf{r}$ s'effectue durant un temps propre $ d\tau$. On définit, en relativité restreinte, une autre vitesse appelée vitesse propre ou célérité par la relation :

$\displaystyle \mathbf{v_{0}}=d\mathbf{r}/d\tau$ (1.15)

Les temps propre et impropre étant liés par la relation (1.6), la vitesse propre est distincte de la vitesse ordinaire. Notons $ v$ la norme de la vitesse $ \mathbf{v}$ ; on a la relation suivante entre ces deux vitesses : $ \mathbf{v_{0}}=\gamma(v)\,\mathbf{v}$. Bien que la notion de vitesse ordinaire $ \mathbf{v}$ soit plus intuitive, celle de la vitesse propre $ \mathbf{v_{0}}$ se révèle finalement plus naturelle pour la généralisation de la vitesse dans l'espace-temps.

Afin d'obtenir une vitesse propre de norme unité, formons le quadrivecteur $ \mathbf{u}=\mathbf{v_{0}}/c$ ayant pour composantes :

$\displaystyle u_{\alpha}=dx_{\alpha}/c\,d\tau=dx_{\alpha}/ds$ (1.16)

Les composantes $ u_{\alpha}$ se transforment conformément à la transformation de Lorentz-Poincaré lors d'un changement de référentiel d'inertie. On obtient un quadrivecteur appelé quadrivecteur vitesse unitaire ou quadrivitesse unitaire. En effet, compte tenu de l'expression du carré de l'intervalle $ ds^{2}$, on démontre aisément que la norme de la quadrivitesse est égale à l'unité.

Quadrivecteur impulsion-énergie

En mécanique classique, la quantité de mouvement est le produit de la masse $ m$ d'un objet par sa vitesse $ \mathbf{v}$. La généralisation de la notion de quantité de mouvement en relativité restreinte nécessite qu'une nouvelle entité permette de retrouver l'ancienne pour de faibles vitesses par rapport à celle de la lumière.

La vitesse propre $ \mathbf{v_{0}}$ s'identifie à la vitesse ordinaire $ \mathbf{v}$ pour les vitesses usuelles de la mécanique classique. Par conséquent, la quantité $ \mathbf{p}=m\mathbf{v_{0}}$ est un bon candidat pour généraliser la notion de quantité de mouvement. Cette quantité est appelée l'impulsion relativiste de la masse $ m$.

En relativité restreinte, ce sont les quadrivecteurs qui sont les plus intéressants. Puisque l'impulsion relativiste est tridimensionnelle, utilisons les composantes de la quadrivitesse, multipliées par $ mc^{2}$, pour former celles du quadrivecteur suivant :

$\displaystyle \mathbf{P}=mc^{2}\,(u_{0},u_{1},u_{2},u_{3})=(P_{0},P_{1},P_{2},P_{3})$ (1.17)

La composante $ P_{0}=\gamma(v)\,mc^{2}$ a la dimension d'une énergie puisque $ \gamma(v)$ est une quantité sans dimension. Développons $ P_{0}$ par rapport à $ v/c$, on obtient :

$\displaystyle P_{0}=mc^{2}+1/2\,mv^{2}+...$ (1.18)

Lorsque $ v=0$, le corps considéré est au repos et la quantité :

$\displaystyle E_{0}=mc^{2}$ (1.19)

est l'énergie du corps au repos dans son référentiel propre ; c'est l'énergie propre du corps. La relation  (1.19) montre que l'énergie d'un corps au repos et sa masse sont des concepts équivalents. Il n'existe donc qu'une seule entité fondamentale, celle-ci pouvant se manifester sous forme énergétique ou massique. Le second membre de la relation (1.18) montre un deuxième terme qui est l'énergie cinétique classique. Finalement $ P_{0}$ représente l'énergie totale du corps.

Le quadrivecteur $ \mathbf{P}$ donné par (1.17) a donc pour première composante l'énergie $ E$ du corps et pour les trois autres, les composantes de l'impulsion au facteur $ c^{2}$ près. $ \mathbf{P}$ est appelé quadrivecteur impulsion-énergie.

Invariance de la norme du quadrivecteur impulsion-énergie

L'énergie totale d'un corps $ E=P_{0}$ s'écrit :

$\displaystyle E=\gamma(v) \,mc^{2}=I(v)\,c^{2}$ (1.20)

Le coefficient $ I(v)=\gamma(v)\,m$ est appelé coefficient d'inertie. La relation (1.20) généralise l'équivalence entre l'énergie d'un corps au repos et sa masse : l'énergie et l'inertie deviennent des concepts équivalents en relativité restreinte.

La quadrivitesse étant covariante, il en est de même de l'impulsion-énergie. Puisque la quadrivitesse a une norme unité, la norme du quadrivecteur $ \mathbf{P}$ est égal à $ mc^{2}$, c'est-à-dire à l'énergie $ E_{0}$ d'un corps au repos.

L'énergie seule ou l'impulsion seule ne sont plus invariants lors d'un changement de référentiel. Toutes deux changent d'un référentiel à un autre mais, en revanche, la norme du quadrivecteur impulsion-énergie reste invariante. On obtient un nouvel invariant relativiste.

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