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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Métrique de l'espace-temps plat


 
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Métrique de l'espace-temps plat

Les bases géométriques de la relativité restreinte mettent en jeu deux espaces distincts. D'une part un espace ponctuel dont les points sont repérés par quatre coordonnées ; c'est l'espace-temps. Un espace vectoriel associé à l'espace ponctuel.

Afin de rendre plus homogène les formules relativistes définies dans l'espace-temps, on utilise le changement de varaibles suivant :

$\displaystyle x_{0}=ct\,\,\,\,;\,\,\,\,x_{1}=x\,\,\,\,;\,\,\,\,x_{2}=y\,\,\,\,;\,\,\,\,x_{3}=z$ (1.11)

Pour désigner l'une quelconque de ces quatre coordonnées, on utilise un indice noté par une lettre grecque, par exemple $ x_{\mu}$. Par la suite, les indices grecs prendront toujours des valeurs de 0 à 3. Par contre, lorsque cela est nécessaire, on utilisera des indices latins, $ i,j,k$, par exemple, qui prendont des valeurs de 1 à 3. Ainsi $ x_{j}$ désigne l'une quelconque des coordonnées spatiales.

Quadrivecteurs

Les coordonnées $ (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$ d'un point de l'espace-temps peuvent être considérés comme les composantes d'un vecteur $ \mathbf{R}=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(ct,\mathbf{r})$ appelé rayon-vecteur. Lorsqu'on passe d'un référentiel d'inertie R à un autre R', les composantes de ce rayon vecteur se transforment selon les formules (1.1) de la transformation de Lorentz-Poincaré.

On appelle quadrivecteur $ \mathbf{A}$, ou encore 4-vecteur $ \mathbf{A}$, un ensemble de quatre quantités $ (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$ qui se transforment lors d'un changement de référentiel d'inertie comme les composantes $ x_{\mu}$ d'un rayon vecteur. Le rayon-vecteur $ \mathbf{R}$ est par définition un quadrivecteur.

La première composante d'un quadrivecteur est dite composante temporelle et les trois suivantes composantes spatiales.

Lorsque des entités mathématiques se transforment selon les formules de la transformation de Lorentz-Poincaré, ces grandeurs sont dites covariantes.

Par définition, les quadrivecteurs sont des vecteurs à quatre dimensions qui sont covariants.

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs de la géométrie classique est un invaraint pour les transformations géométriques de l'espace tridimensionnel. Nous avons vu que l'intervalle de l'espace-temps quadridimensionnel est un invariant ; il représente la pseudo-distance entre deux évènements.

Si l'on appelle d$ \mathbf{R}$ un quadrivecteur infinitésimal de l'espace-temps, on peut définir un produit scalaire tel que : d$ \mathbf{R}\,\cdot\,$d$ \mathbf{R}=ds^{2}=dx_{0}^{2}-dx_{1}^{2}-dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2}$. On obtient une quantité invariante qui incite à définir de manière générale le produit scalaire de deux quadrivecteurs $ \mathbf{A}=(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$ et $ \mathbf{B}=(b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})$ par :

$\displaystyle \mathbf{A}\,\cdot\,\mathbf{B}=a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}$ (1.12)

On peut vérifier aisément que le produit scalaire (1.12) satisfait aux axiomes de définition d'un produit scalaire.

La norme d'un quadrivecteur $ \mathbf{A}$ est définie par la racine carrée du produit scalaire de $ \mathbf{A}$ par lui-même, soit : $ \vert\vert\mathbf{A}\vert\vert=(\mathbf{A}\,\cdot\,\mathbf{A})^{1/2}$. Le nombre de signes + et - qui figurent dans l'expression de la norme d'un vecteur constitue une caractéristique de tout espace vectoriel; elle est appelée signature de l'espace vectoriel. L'espace vectoriel ainsi muni d'un tel produit scalaire est un espace préhilbertien, encore appelé par les physiciens espace pseudo-euclidien.

Espace-temps de Poincaré-Minkowski

Le formalisme quadridimensionnel inauguré par Poincaré fut repris et développé par Minkowski. Ce dernier introduisit la forme (1.12) du produit scalaire. Pour cela, il définit une base de l'espace vectoriel formé par les quadrivecteurs en postulant l'existence d'une base "minkowskienne".

Cette base est constituée par quatre vecteurs $ \mathbf{e_{\alpha}}$ orthonormés tels que leurs produits scalaires entre eux ont pour valeurs :

$\displaystyle \mathbf{e_{\alpha}}\,\cdot\,\mathbf{e_{\beta}}=0\,\,\,(\alpha\neq...
...,\mathbf{e_{0}}=1\,\,;\,\,\mathbf{e_{j}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}}=-1\,\,(j=1,2,3)$ (1.13)

Cette base permet d'écrire l'expression d'un vecteur quadridimensionnel $ \mathbf{A}$ sous la forme : $ \mathbf{A}=a_{0}\,\mathbf{e_{0}}+a_{1}\,\mathbf{e_{1}}+a_{2}\,\mathbf{e_{2}}+a_{3}\,\mathbf{e_{3}}$, où les quantités $ a_{\mu}$ sont les composantes du vecteur $ \mathbf{A}$. Par suite du choix des propriétés de la base, le produit scalaire de deux vecteurs défini par (1.12) est alors automatiquement satisfait.

Tenseur fondamental de l'espace-temps plat

Les produits scalaires des vecteurs de base, définis par les formules (1.13), forment un ensemble de seize quantités qui sont les composantes d'un tenseur d'ordre deux. Nous verrons par la suite la définition et les propriétés des tenseurs.

Ce tenseur, noté classiquement $ g$, est le tenseur fondamental de l'espace-temps plat de la relativité restreinte; on dit encore le tenseur métrique.

On écrit généralement un tenseur sous sa forme matricielle, les éléments de la matrice étant les composantes classées dans l'ordre des indices croissants. Notons $ \eta_{\alpha\beta}=\mathbf{e_{\alpha}}\,\cdot\,\mathbf{e_{\beta}}$ les composantes du tenseur. Les formules (1.13) conduisent à la matrice suivante :

$\displaystyle [\eta_{\alpha\beta}]=\begin{bmatrix}\eta_{00}&\eta_{01}&\eta_{02}...
...matrix}=\begin{bmatrix}1&0&0&0 \\ 0&-1&0&0 \\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$ (1.14)


Le tenseur $ g$ constitue l'élément structural le plus important dans la physique de l'espace-temps. Il définit ce que l'on appelle la métrique de l'espace-temps plat, d'où son appellation de tenseur métrique.

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