Sous-sections
Les bases géométriques de la relativité restreinte mettent en jeu deux espaces distincts. D'une part un espace ponctuel
dont les points sont repérés par quatre coordonnées ; c'est l'espace-temps. Un espace vectoriel associé à l'espace
ponctuel.
Afin de rendre plus homogène les formules relativistes définies dans l'espace-temps, on utilise le changement de varaibles
suivant :
 |
(1.11) |
Pour désigner l'une quelconque de ces quatre coordonnées, on utilise un indice noté par une lettre grecque, par exemple
 . Par la suite, les indices grecs prendront toujours des valeurs de 0 à 3. Par contre, lorsque cela est nécessaire,
on utilisera des indices latins,  , par exemple, qui prendont des valeurs de 1 à 3. Ainsi  désigne l'une
quelconque des coordonnées spatiales.
Les coordonnées
 d'un point de l'espace-temps peuvent être considérés comme les composantes
d'un vecteur
 appelé rayon-vecteur. Lorsqu'on passe d'un référentiel
d'inertie R à un autre R', les composantes de ce rayon vecteur se transforment selon les formules (1.1) de la
transformation de Lorentz-Poincaré.
On appelle quadrivecteur
 , ou encore 4-vecteur
, un ensemble de quatre quantités
 qui se transforment lors d'un changement de référentiel d'inertie comme les composantes
d'un rayon vecteur. Le rayon-vecteur
 est par définition un quadrivecteur.
La première composante d'un quadrivecteur est dite composante temporelle et les trois suivantes composantes spatiales.
Lorsque des entités mathématiques se transforment selon les formules de la transformation de Lorentz-Poincaré, ces
grandeurs sont dites covariantes.
Par définition, les quadrivecteurs sont des vecteurs à quatre dimensions qui sont covariants.
Le produit scalaire de deux vecteurs de la géométrie classique est un invaraint pour les transformations géométriques de
l'espace tridimensionnel. Nous avons vu que l'intervalle de l'espace-temps quadridimensionnel est un invariant ; il représente
la pseudo-distance entre deux évènements.
Si l'on appelle
d un quadrivecteur infinitésimal de l'espace-temps, on peut définir un produit scalaire tel
que :
d d . On obtient une quantité
invariante qui incite à définir de manière générale le produit scalaire de deux quadrivecteurs
 et
 par :
 |
(1.12) |
On peut vérifier aisément que le produit scalaire (1.12) satisfait aux axiomes de définition d'un produit
scalaire.
La norme d'un quadrivecteur
est définie par la racine carrée du produit scalaire de
par lui-même, soit :
 . Le nombre de signes + et - qui figurent dans l'expression de la norme d'un
vecteur constitue une caractéristique de tout espace vectoriel; elle est appelée signature de l'espace vectoriel.
L'espace vectoriel ainsi muni d'un tel produit scalaire est un espace préhilbertien, encore appelé par les physiciens
espace pseudo-euclidien.
Le formalisme quadridimensionnel inauguré par Poincaré fut repris et développé par Minkowski. Ce dernier introduisit la
forme (1.12) du produit scalaire. Pour cela, il définit une base de l'espace vectoriel formé par les quadrivecteurs
en postulant l'existence d'une base "minkowskienne".
Cette base est constituée par quatre vecteurs
 orthonormés tels que leurs produits scalaires entre eux ont
pour valeurs :
 |
(1.13) |
Cette base permet d'écrire l'expression d'un vecteur quadridimensionnel
sous la forme :
 , où les quantités  sont les
composantes du vecteur
. Par suite du choix des propriétés de la base, le produit scalaire de deux vecteurs défini
par (1.12) est alors automatiquement satisfait.
Les produits scalaires des vecteurs de base, définis par les formules (1.13), forment un ensemble de seize quantités
qui sont les composantes d'un tenseur d'ordre deux. Nous verrons par la suite la définition et les propriétés des
tenseurs.
Ce tenseur, noté classiquement  , est le tenseur fondamental de l'espace-temps plat de la relativité restreinte; on
dit encore le tenseur métrique.
On écrit généralement un tenseur sous sa forme matricielle, les éléments de la matrice étant les composantes
classées dans l'ordre des indices croissants. Notons
 les
composantes du tenseur. Les formules (1.13) conduisent à la matrice suivante :
![$\displaystyle [\eta_{\alpha\beta}]=\begin{bmatrix}\eta_{00}&\eta_{01}&\eta_{02}...
...matrix}=\begin{bmatrix}1&0&0&0 \\ 0&-1&0&0 \\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$](img80.gif) |
(1.14) |
Le tenseur constitue l'élément structural le plus important dans la physique de l'espace-temps. Il définit ce que l'on
appelle la métrique de l'espace-temps plat, d'où son appellation de tenseur métrique.
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