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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Structure de l'espace-temps plat


 
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Sous-sections

Structure de l'espace-temps plat

Suivant les valeurs respectives des quantités spatiales et temporelles, le carré de l'intervalle peut être positif, nul ou négatif.

Intervalle du genre lumière

Lorsque l'intervalle infinitésimal est nul, on a: $ c^{2}\,dt^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$. Les deux évènements peuvent être reliés par un rayon lumineux. L'intervalle est dit du genre lumière.

Considérons alors le lieu de tous les évènements possibles qui peuvent être reliés par un signal lumineux à un évènement déterminé $ O$ que nous allons prendre pour origine $ O$ de l'espace-temps représenté dans un référentiel R. Pour un évènement quelconque M, situé au point $ x,y,z,t$ et tel que l'intervalle avec $ O$ soit nul, on a :

$\displaystyle c^{2}\,t^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ (1.7)

Dans l'espace-temps à quatre dimensions, l'équation (1.7) est celle d'un hypercône représentant le lieu des trajectoires des rayons lumineux issus de l'origine $ O$. Afin de pouvoir visualiser une telle hypersurface et mieux étudier ses propriétés, limitons-nous aux évènements pour lesquels $ z=0$. On obtient alors l'équation :

$\displaystyle c^{2}\,t^{2}=x^{2}+y^{2}$ (1.8)

C'est l'équation d'une famille continue de cercles, centrés sur l'axe du temps, chaque cercle étant de rayon $ ct$. on obtient l'équation d'un cône appelé cône de lumière (Fig. 1.2). Tous les évènements situés sur le cône de lumière peuvent être reliés à l'évènement $ O$ par un signal de vitesse $ c$.

Figure 1.2
\includegraphics[width=70mm height=64mm]{fig2.eps}

Tous les évènements situés à l'intérieur du cône peuvent être reliés à $ O$ par un signal de vitesse inférieure à $ c$.

Intervalle du genre temps

Lorsque l'intervalle entre deux évènements est tel que : $ ds^{2}>0$, la partie temporelle de l'intervalle prédomine sur la partie spatiale. L'intervalle $ ds$ est alors un nombre réel et il est appelé l'intervalle du genre temps.

Remarquons que deux évènements relatifs à une même particule matérielle sont séparés par un intervalle qui est nécessairement du genre temps. En effet, la distance parcourue par la particule entre les deux évènements, situés respectivement aux temps $ t_{0}$ et $ t_{1}$, doit rester inférieure à $ c(t_{1}-t_{0})$. Si $ l_{12}$ est la distance parcourue, on a toujours $ c(t_{1}-t_{0})>l_{12}$, soit $ (s_{12})^{2}>0$.

Tous les intervalles du genre temps entre l'évènement $ O$ et un évènement quelconque sont situés à l'intérieur du cône de lumière. Ceux situés dans la région $ t>0$ sont postérieurs à l'évènement $ O$ ; cette région est appelée région du futur absolu (Fig. 1.2). Ceux situés dans la région $ t<0$ sont antérieurs à l'évènement $ O$ ; cette région est appelée région du passé absolue.

Dans cette région, l'interaction se propage toujours à une vitesse inférieure à celle de la lumière. Tous les évènements situés à l'intérieur du cône de lumière peuvent donc avoir une relation de cause à effet ; il en est de même pour les évènements situés sur le cône de lumière.

Deux évènements ne peuvent donc être liés par une relation de causalité que si leur intervalle est du genre temps ou genre lumière. L'existence d'un futur et d'un passé absolus pour ces évènements montre que la notion de causalité conserve toujours un sens en relativité restreinte.

Intervalle du genre espace

Lorsque l'intervalle entre deux évènements est tel que $ ds^{2}<0$, la partie spatiale de l'intervalle prédomine sur la partie temporelle. L'intervalle est alors un nombre imaginaire pur ; il est appelé intervalle du genre espace.

Dans la région extérieure au cône de lumière, tout intervalle entre l'évènement $ O$ et un évènement quelconque est du genre espace. Si l'on change de référentiel, ces évènements auront lieu en des points différents de l'espace qui appartiendront toujours à la région extérieure au cône de lumière. Cette région est appelée région d'éloignement absolu.

Les notions de "avant", "après", "simultanément" sont relatives pour tous les évènements de cette région. Il n'existe donc pas de notion de causalité dans la région d'éloignement absolu. Dans un référentiel où ces évènements sont simultanés, ils sont séparés d'une distance spatiale dont le carré est égal au carré de l'intervalle.

L'espace-temps euclidien de Poincaré

Un certain arbitraire peut intervenir dans le choix du signe du carré de l'intervalle entre deux évènements, ce qui ne change rien à ses propriétés. Choisissons la convention de signe opposée à celle qui figure dans la formule  (1.5) en posant :

$\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}\,dt^{2}$ (1.9)

C'est la forme quadratique définie par Poincaré dont il a démontré l'invariance. effectuons à présent le changement de variables utilisé par Poincaré : $ w=i\,ct$, avec $ i^{2}=-1$. L'intervalle (1.9) s'écrit alors :

$\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}$ (1.10)

On remarque que le second membre de cette dernière relation constitue la généralisation à quatre dimensions du carré de la distance entre deux points dans l'espace de la géométrie euclidienne à trois dimensions. Muni de telles coordonnées, l'espace-temps devient euclidien.

L'intervalle étant un invariant dans une transformation de Lorentz-Poincaré, cela signifie que cette transformation conserve les distances dans l'espace quandridimensionel de Poincaré. Dans l'espace ordinaire, ce sont les rotations qui conservent les distances par rapport à un point. Dans l'espace à quatre dimensions, la transformation de Lorentz-Poincaré constitue une rotation de l'espace-temps.

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