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Suivant les valeurs respectives des quantités spatiales et temporelles, le carré de l'intervalle
peut être positif, nul ou négatif.
Lorsque l'intervalle infinitésimal est nul, on a:
. Les deux
évènements peuvent être reliés par un rayon lumineux. L'intervalle est dit du genre
lumière.
Considérons alors le lieu de tous les évènements possibles qui peuvent être reliés par un
signal lumineux à un évènement déterminé que nous allons prendre pour origine de
l'espace-temps représenté dans un référentiel R. Pour un évènement quelconque M, situé
au point
et tel que l'intervalle avec soit nul, on a :
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(1.7) |
Dans l'espace-temps à quatre dimensions, l'équation (1.7) est celle d'un hypercône
représentant le lieu des trajectoires des rayons lumineux issus de l'origine . Afin de pouvoir visualiser
une telle hypersurface et mieux étudier ses propriétés, limitons-nous aux évènements pour lesquels
. On obtient alors l'équation :
 |
(1.8) |
C'est l'équation d'une famille continue de cercles, centrés sur l'axe du temps, chaque cercle étant de
rayon . on obtient l'équation d'un cône appelé cône de
lumière (Fig. 1.2). Tous les
évènements situés sur le cône de lumière peuvent être reliés à l'évènement par un
signal de vitesse .
Figure 1.2
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Tous les évènements situés à l'intérieur du cône peuvent être reliés à par un signal de
vitesse inférieure à .
Lorsque l'intervalle entre deux évènements est tel que : , la partie temporelle de l'intervalle
prédomine sur la partie spatiale. L'intervalle est alors un nombre réel et il est appelé l'intervalle du genre temps.
Remarquons que deux évènements relatifs à une même particule matérielle sont séparés par un
intervalle qui est nécessairement du genre temps. En effet, la distance parcourue par la particule entre les
deux évènements, situés respectivement aux temps et , doit rester inférieure à
. Si est la distance parcourue, on a toujours
, soit
.
Tous les intervalles du genre temps entre l'évènement et un évènement quelconque sont situés à
l'intérieur du cône de lumière. Ceux situés dans la région sont postérieurs à
l'évènement ; cette région est appelée région du futur
absolu (Fig. 1.2). Ceux situés
dans la région sont antérieurs à l'évènement ; cette région est appelée région du
passé absolue.
Dans cette région, l'interaction se propage toujours à une vitesse inférieure à celle de la lumière.
Tous les évènements situés à l'intérieur du cône de lumière peuvent donc avoir une relation de
cause à effet ; il en est de même pour les évènements situés sur le cône de lumière.
Deux évènements ne peuvent donc être liés par une relation de causalité que si leur intervalle est du
genre temps ou genre lumière. L'existence d'un futur et d'un passé absolus pour ces évènements montre
que la notion de causalité conserve toujours un sens en relativité restreinte.
Lorsque l'intervalle entre deux évènements est tel que , la partie spatiale de l'intervalle
prédomine sur la partie temporelle. L'intervalle est alors un nombre imaginaire pur ; il est appelé intervalle du genre espace.
Dans la région extérieure au cône de lumière, tout intervalle entre l'évènement et un évènement quelconque
est du genre espace. Si l'on change de référentiel, ces évènements auront lieu en des points différents de l'espace
qui appartiendront toujours à la région extérieure au cône de lumière. Cette région est appelée région d'éloignement absolu.
Les notions de "avant", "après", "simultanément" sont relatives pour tous les évènements de cette région. Il
n'existe donc pas de notion de causalité dans la région d'éloignement absolu. Dans un référentiel où ces
évènements sont simultanés, ils sont séparés d'une distance spatiale dont le carré est égal au carré de
l'intervalle.
Un certain arbitraire peut intervenir dans le choix du signe du carré de l'intervalle entre deux évènements, ce qui ne
change rien à ses propriétés. Choisissons la convention de signe opposée à celle qui figure dans la formule
(1.5) en posant :
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(1.9) |
C'est la forme quadratique définie par Poincaré dont il a démontré l'invariance. effectuons à présent le changement
de variables utilisé par Poincaré : , avec . L'intervalle (1.9) s'écrit alors :
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(1.10) |
On remarque que le second membre de cette dernière relation constitue la généralisation à quatre dimensions du carré
de la distance entre deux points dans l'espace de la géométrie euclidienne à trois dimensions. Muni de telles
coordonnées, l'espace-temps devient euclidien.
L'intervalle étant un invariant dans une transformation de Lorentz-Poincaré, cela signifie que cette transformation conserve
les distances dans l'espace quandridimensionel de Poincaré. Dans l'espace ordinaire, ce sont les rotations qui conservent les
distances par rapport à un point. Dans l'espace à quatre dimensions, la transformation de Lorentz-Poincaré constitue une
rotation de l'espace-temps.
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