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Exercices

Avance séculaire du périhélie de Mercure

La formule (5.16) donne l'avance du périhélie d'une planète au cours d'une révolution autour du Soleil, à savoir :

$\displaystyle \delta\bar{\omega}=\dfrac{6\pi GM}{ac^{2}(1-e^{2})}$ (5.32)

  1. La masse du Soleil est : $ M=1.983$x$ 10^{30}$kg. Calculer, en fonction de l'excentricité et de la demi-longueur du grand axe de l'orbite d'une planète, la quantité $ \delta\bar{\omega}$ en secondes d'arc.

  2. Si $ T$ est la durée de révolution de la planète exprimée en jours sidéraux, déterminer l'avance du périhélie réalisée en un siècle en fonction de $ T$, $ a$ et $ e$.

  3. On a les données suivantes pour la planète Mercure : $ a=5.8$x$ 10^{10}$m, $ e=0.2056$, $ T=87.97$ jours. Calculer l'avance séculaire, en secondes d'arc, du périhélie de la planète Mercure.

Correction

  1. La constante de gravitation est égale à : $ G=6.6725$x$ 10^{-11}$m$ ^{3}$/(kg.s$ ^{2}$) ; la masse du Soleil : $ M=1.983$x$ 10^{30}$kg ; la vitesse de la lumière : 299 792 458 m/s. La formule (5.16) donne les valeurs des angles en radians. Il faut donc convertir ces valeurs en secondes d'arc, soit :

    $\displaystyle \delta\bar{\omega}=\dfrac{6\pi GM}{ac^{2}(1-e^{2})}\,\dfrac{360\,\text{x}\,3600}{2\pi}$ (5.33)

    On obtient :

    $\displaystyle \delta\bar{\omega}=\dfrac{57.34\,\text{x}\,10^{10}}{a(1-e^{2})}\,\,\,\text{secondes d'arc}$ (5.34)

  2. Si $ T$ est la durée de révolution de la planète exprimée en jours sidéraux, l'avance du périhélie $ d\Omega$ réalisée en un siècle sera :

    $\displaystyle d\Omega=\dfrac{100\,T_{\text{Terre}}}{T_{\text{plan\\lq ete}}}\,d\ba... ...25}{a(1-e^{2})\,T_{\text{plan\\lq ete}}}\,d\bar{\omega}\,\,\,\text{secondes d'arc}$ (5.35)

  3. En portant dans la formule (5.35) les données numériques pour la planète Mercure, on obtient :

    $\displaystyle d\Omega=42.9\,\,\,$secondes d'arc (5.36)

    Cette valeur correspond sensiblement aux résultats expérimentaux compte tenu de l'incertitude expérimentale.

Variation de la période orbitale d'un pulsar binaire

La perte d'énergie par radiation gravitationnelle d'un pulsar binaire conduit à une variation de sa période orbitale que nous allons calculer. Pour simplifier, considérons un pulsar binaire formé par deux masses égales $ M$, situées à la distance $ 2R$, qui effectuent un mouvement circulaire.

  1. On note $ G_{b}$ la constante de gravitation de chaque masse $ M$ du pulsar. Soit $ V$ la vitesse de chacune des masses par rapport à un référentiel fixe. Écrire l'expression de l'énergie totale $ E$ du système des deux masses en mécanique classique.

  2. Déterminer l'expression de la vitesse $ V$ à partir de la mécanique classique.

  3. La fréquence de l'onde gravitationnelle $ \omega_{b}$ est liée à la fréquence de la période orbitale $ P_{b}$ par : $ \omega_{b}=2\pi/P_{b}$. Calculer la distance $ R$ en fonction de la période orbitale $ P_{b}$. En déduire l'expression de l'énergie totale $ E$ en fonction de la période orbitale.

  4. Démontrer la relation $ dE/E=(-2/3)\,dP_{b}/P_{b}$. En déduire l'expression de la variation de la période $ dP_{b}/dt$ en fonction du taux de perte d'énergie $ dE/dt$.

  5. Le taux de perte d'énergie par radiation gravitationnelle, calculé à partir de la relativité générale, est donné par : $ dE/dt=128\,G_{b}\,\omega_{b}^{6}\,M^{2}\,R^{4}/5c^{5}$.
    En déduire l'expression du taux de variation de la période orbitale $ dP_{b}/dt$ en fonction de $ P_{b}$.

Correction

  1. L'énergie totale $ E$ du système formé par le pulsar binaire est égale à l'énergie cinétique des deux masses plus leur énergie potentielle, soit :

    $\displaystyle E=M\,V^{2}-\dfrac{G_{b}\,M^{2}}{2R}$ (5.37)

  2. L'équation newtonienne du mouvement conduit à la relation :

    $\displaystyle M\,\dfrac{V^{2}}{R}=\dfrac{G_{b}\,M^{2}}{(2R)^{2}}$ (5.38)

    d'où :

    $\displaystyle V^{2}=\dfrac{G_{b}\,M}{4R}$ (5.39)

  3. La fréquence de l'onde gravitationnelle $ \omega_{b}$ est liée à la fréquence de la période orbitale $ P_{b}$ par : $ \omega_{b}=2\pi/P_{b}$. De plus, la vitesse $ V$ est donnée par : $ V=\omega_{b}R$. La relation (5.39) nous donne :

    $\displaystyle R=\dfrac{G_{b}\,M}{4V^{2}}=\dfrac{G_{b}\,M}{4}\,\bigg(\dfrac{2\pi\,R}{P_{b}}\bigg)^{-2}$ (5.40)

    soit :

    $\displaystyle R^{3}=\dfrac{G_{b}\,M}{16\pi^{2}}\,P_{b}^{2}$ (5.41)

    L'énergie totale (5.37) s'écrit en substituant l'expression (5.39) de $ V^{2}$ dans $ E$ ; il vient :

    $\displaystyle E=-\dfrac{G_{b}\,M^{2}}{4R}$ (5.42)

    En remplaçant $ R$ dans l'expression de l'énergie par sa valeur tirée de (5.41), on obtient :

    $\displaystyle E=-M\,\bigg(\dfrac{\pi\,M\,G_{b}}{2}\bigg)^{2/3}\,P_{b}^{-2/3}$ (5.43)

  4. En différentiant l'expression (5.43), on obtient :

    $\displaystyle \dfrac{dE}{E}=-\dfrac{2}{3}\,\dfrac{dP_{b}}{P_{b}}$ (5.44)

    En divisant par $ dt$ et réarrangeant la relation (5.44), il vient :

    $\displaystyle \dfrac{dP_{b}}{dt}=-\dfrac{3\,P_{b}}{2}\,\dfrac{dE}{dt}$ (5.45)

  5. Le taux de perte d'énergie par radiation gravitationnelle, calculé à partir de la théorie de la relativité générale, est donné par :

    $\displaystyle \dfrac{dE}{dt}=\dfrac{128\,G_{b}}{5c^{5}}\,\omega_{b}^{6}\,M^{2}\,R^{4}$ (5.46)

    Reportant cette dernière expression de $ dE/dt$ dans (5.45), on obtient :

    $\displaystyle \dfrac{dP_{b}}{dt}=-\dfrac{48\pi}{5c^{5}}\,\bigg(\dfrac{4\pi\,G_{b}\,M}{P_{b}}\bigg)^{5/3}$ (5.47)

    La théorie que l'on vient de développer donne le principe du calcul pour l'étude des variations de la période orbitale d'un pulsar binaire. Pour un pulsar réel donné, il faut tenir compte de l'excentricité de l'orbite suivie par les deux masses ainsi que du fait que ces masses ne seront pas égales entre elles en général.

    La formule (5.47) doit alors être multipliée par le facteur suivant qui prend en compte l'excentricité $ e$ d'une orbite elliptique, soit :

    $\displaystyle \alpha=\dfrac{1+(73/24)\,e^{2}+(37/96)\,e^{4}}{(1-e^{2})^{7/2}}$ (5.48)

    D'autre part, pour le pulsar binaire PSR 1913+16, les masses sont légèrement différentes ; on les notes $ M_{a}$ et $ M_{b}$. Il faut alors remplacer dans la formule (5.47) la quantité $ (2M)^{5/3}$ par le terme $ \beta=4\,M_{a}\,M_{b}\,(M_{a}+M_{b})^{-3/2}$. Compte tenu des masses $ M_{a}$ et $ M_{b}$, on obtient finalement en relativité générale un taux de variation de la période orbitale donné par :

    $\displaystyle \dfrac{dP_{b}}{dt}=-\bigg(\dfrac{192\pi\,M_{a}\,M_{b}}{5c^{5}(M_{... ...6)\,e^{4}}{(1-e^{2})^{7/2}}\bigg)\,\bigg(\dfrac{2\pi\,G_{b}}{P_{b}}\bigg)^{5/3}$ (5.49)

    Compte tenu des paramètres numériques du pulsar binaire PSR 1913+16, on obtient pour valeur théorique :

    $\displaystyle \dfrac{dP_{b}}{dt}=-(2.40247\,\pm\,0.00002)\,$x$\displaystyle \,10^{-12}\,\,\,$s/s (5.50)

    La valeur observée doit être corrigée pour l'accélération galactique du pulsar binaire qui engendre également une petite variation de la période orbitale, soit : $ (dP_{b}/dt)_{\text{galactique}}=-(0.0125\,\pm\,0.0050)\,\text{x}\,10^{-12}\,\,\,\text{s/s}$. Le taux de variation corrigé a ainsi pour valeur :

    $\displaystyle \bigg(\dfrac{dP_{b}}{dt}\bigg)_{\text{corrig\'e}}=\bigg(\dfrac{dP... ..._{\text{galactique}}=-(2.4086\,\pm\,0.0052)\,\text{x}\,10^{-12}\,\,\,\text{s/s}$ (5.51)

    On obtient une excellente vérification de la prévision théorique (5.50). De plus, ce phénomène de diminution de la période orbitale confirme l'existence des ondes gravitationnelles que prédit la relativité générale.


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