DOURNAC.ORG
Français  English
 
   

Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Invariants de l'espace-temps plat


 
next up previous contents

suivant: Structure de l'espace-temps plat monter: L'espace-temps de la relativité restreinte précédent: Fondements de la Relativité restreinte   Table des matières

Sous-sections

Invariants de l'espace-temps plat

La transformation de Lorentz-Poincaré montre que l'espace et le temps sont inséparables. Tout phénomène physique élémentaire, appelé évènement, a lieu dans l'espace à un instant donné et il est déterminé par trois coordonnées d'espace et une de temps.

Espace-temps plat

La position d'un point $ M$ immobile dans l'espace, représentant le lieu d'un évènement, peut être déterminé par trois coordonnées $ x,y,z$. Pour chaque point $ M$, il existe en son voisinage un nombre quelconque d'autres points dont la position peut être déterminée par des coordonnées aussi voisines que l'on veut de celles de $ M$. On dit que l'espace est un continuum à trois dimensions.

Le temps, $ t$, est également une variable continue. Tous les évènements physiques sont déterminés par quatre coordonnées continues, $ x,y,z,t$. L'espace ponctuel formé par l'ensemble des points dans lequel se situent tous les évènements d'eterminés par quatre coordonnées constitue un continuum qui est appelé l'espace-temps.

L'espace-temps de la relativité restreinte est plat. Nous verrons plus précisément cette notion par la suite par opposition aux espaces courbes ; la courbure d'un espace plat est nulle. Dans l'espace-temps plat, les rayons lumineux suivent des droites ; un rayon lumineux dont la source suit une ligne droite se déplace dans un plan.

Vitesse de propagation des interactions

L'invariant fondamental de l'espace-temps est la constante de structure de l'espace-temps. Cet invariant est identifié à la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide. C'est également la vitesse de propagation des interactions gravifiques.

Cet invariant résulte directement du principe de relativité qui nécessite d'une part l'existence d'une vitesse limite des interactions et une vitesse limite identique dans tous les référentiels d'inertie. Il permet de mettre en évidence un autre invariant de l'espace-temps, c'est-à-dire une grandeur qui reste inchangée par une transformation de Lorentz-Poincaré, appelée intervalle entre deux évènements.

Intervalle entre deux évènements

Dès 1905, Henri Poincaré démontra qu'il existe une quantité inavariante sous l'action d'une transformation de Lorentz-Poincaré. La racine carrée de cet invariant a été appelée par la suite intervalle entre deux évènements.

Considérons un premier évènement $ A_{1}$ quelconque repéré dans l'espace-temps par les coordonnées $ x,y,z,t$ dans un référentiel R. Un second évènement $ A_{2}$ infiniment proche a pour coordonnées $ x+dx, y+dy, z+dz, t+dt$. Formons la quantité suivante :

$\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})$ (1.4)

La quantité infinitésimale $ ds$ est l'intervalle entre les deux évènements $ A_{1}$ et $ A_{2}$. Si l'on considère un second référentiel R' en translation uniforme par rapport à R, dans lequel ces mêmes évènements sont repérés, on peut écrire l'expression de l'intervalle $ ds'$ en fonction des coordonnées de R'. L'application de la transformation de Lorentz-Poincaré permet de transformer l'expression (1.4) en fonction des coordonnées de R'. On démontre ainsi que $ ds^{2}=ds'^{2}$. De plus, le $ ds^{2}$ est invariant par translation, rotation spatiale et retournements d'espace et de temps.

L'intervalle entre deux évènements est donc un invariant de l'espace-temps de la relativité restreinte.

Durée propre

Considérons toujours nos deux référentiels schématisés sur la figure 1.1. Une horloge H' est fixe dans R'; elle se déplace par rapport à R durant un temps $ dt$, d'une distance $ dl$ telle que : $ dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=V^{2}\,dt^{2}$. Cette horloge étant fixe dans R', sa position n'aura pas varié durant ce temps, d'où: $ dx'=dy'=dz'=0$.

Notons $ \tau$ le temps mesuré par l'horloge H' de R'. L'intervalle $ ds'$ dans R' correspond au déplacement infinitésimal $ dl$ de l'horloge dans R se réduit donc à: $ ds'=c\,d\tau$. L'invariance de cet intervalle nous permet alors d'écrire, selon (1.4) :

$\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dl^{2}=(c^{2}-V^{2})\,dt^{2}=ds'^{2}=c^{2}\,d\tau^{2}$ (1.5)

Cette dernière relation donne l'expression de la durée mesurée par l'horloge H' fixe dans le référentiel R' :

$\displaystyle d\tau=dt/\gamma(V)$ (1.6)

Par définition, le temps mesuré par une horloge fixe en un point d'un référentiel est appelé le temps propre du référentiel; le temps propre sera toujours noté par la suite par la lettre grecque $ \tau$. Ce temps est celui que mesurerait une horloge qui serait attachée à une particule se déplaçant dans l'espace-temps.

La durée $ d\tau$ est un intervalle de temps appelé durée propre. Cette quantité est un invariant de l'espace-temps plat de la relativité restreinte mais également, nous le verrons par la suite, de l'espace-temps courbe de la relativité générale.

La durée propre est donc un invariant dans une transformation de Lorentz-Poincaré. L'invariance de la durée propre montre que la marche de deux horloges strictement identiques, placées respectivement dans deux référentiels d'inertie, reste toujours physiquement le même conformément au principe de relativité.

Pour repérer une particule dans l'espace-temps, il faut cependant utiliser, dans un référentiel donné, un temps-coordonnée, que nous noterons en général par une lettre latine, $ t$, par exemple. Le temps propre ne balise pas tout l'espace; c'est un paramètre intrinsèque lié à chaque horloge. C'est un "temps personnel" qui ne doit pas être confondu avec le temps-coordonnée.

La durée $ dt$ qui figure dans la formule (1.6) est la différence entre deux temps-coordonnées ($ t+dt$) et $ t$. Cette quantité $ dt$ est appelée durée impropre; c'est une grandeur mesurée entre le temps marqué par deux horloges placées à des endroits différents; dans le cas présent, ces lieux sont infiniments voisins.

next up previous contents

suivant: Structure de l'espace-temps plat monter: L'espace-temps de la relativité restreinte précédent: Fondements de la Relativité restreinte   Table des matières

ps : join like me the Cosmology@Home project whose aim is to refine the model that best describes our Universe

   Home | Astronomy | Sciences | Philosophy | Coding | Cv   
- dournac.org © 2003 by fab -

Back to Top