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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Déviation des rayons lumineux


 
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Déviation des rayons lumineux

Le champ de gravitation de Schwarzschild permet également l'étude de la déviation d'un rayon lumineux passant au voisinage du Soleil.

Équation de la déviation d'un rayon lumineux

Les trajectoires des rayons lumineux sont également des géodésiques mais celles-ci sont de longueur nulle :

$\displaystyle ds=0$ (5.17)

Cette condition nécessite, selon la seconde équation (5.5), que K devienne infini. Par conséquent, l'équation des trajectoires (5.6) pour des rayons lumineux se réduit à :

$\displaystyle \dfrac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u=\dfrac{3GM\,u^{2}}{c^{2}}$ (5.18)

Cette dernière équation s'intégre également par approximations successives. La solution de l'équation sans second membre est :

$\displaystyle u_{0}=\dfrac{1}{R}\,$cos$\displaystyle \,\varphi$ (5.19)

dans laquelle $ R$ est une constante d'intégration. Substituons cette solution dans le second membre de (5.18). L'équation ainsi obtenue admet la solution particulière :

$\displaystyle u_{1}=\dfrac{GM}{c^{2}R^{2}}\,($cos$\displaystyle ^{2}\,\varphi+2\,$sin$\displaystyle ^{2}\,\varphi)$ (5.20)

Une solution de seconde approximation de l'équation (5.18) peut être formée par la superposition des solutions $ u_{0}$ et $ u_{1}$, soit :

$\displaystyle u=u_{0}+u_{1}=\dfrac{1}{R}\,$cos$\displaystyle \,\varphi+\dfrac{GM}{c^{2}R^{2}}\,($cos$\displaystyle ^{2}\,\varphi+2\,$sin$\displaystyle ^{2}\,\varphi)$ (5.21)

Utilisons des coordonnées cartésiennes : $ x=r\,$cos$ \,\varphi$, $ y=r\,$sin$ \,\varphi$. Avec $ u=1/r$, l'équation (5.21) nous donne l'équation des trajectoires :

$\displaystyle x=R-\dfrac{GM}{c^{2}R}\,\dfrac{x^{2}+2y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ (5.22)

Le second terme du membre de droite de (5.22) représente une très petite deviation du rayon lumineux par rapport à la droite $ x=R$. Pour trouver les asymptotes, il suffit de prendre $ y$ très grand par rapport à $ x$. L'équation (5.22) devient alors :

$\displaystyle x=R\,\pm\,\dfrac{2GM\,y}{c^{2}R}$ (5.23)

L'angle $ \alpha$ des asymptotes, c'est-à-dire la déviation totale de la lumière à son passage dans le champ de gravitation, est donc :

$\displaystyle \alpha=\dfrac{4GM}{c^{2}R}$ (5.24)

Une déviation mesurable nécessite la présence d'un champ de gravitation très intense. La première mesure fut réalisée en 1919 en observant la déviation des rayons passant en incidence rasante au voisinage du Soleil.

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