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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Avance du périhélie de Mercure


 
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Avance du périhélie de Mercure

La trajectoire d'une planète isolée autour du Soleil, déterminée selon la théorie newtonienne, est une ellipse invariable. Cependant, l'observation montre que le périhélie d'une planète (point le plus proche du Soleil au cours de sa trajectoire) se déplace lentement au cours des siècles ; son orbite n'est pas fixe mais tourne lentement dans son plan.

Insuffisance de la théorie newtonienne

Cette perturbation du mouvement elliptique de chaque planète a pour cause divers facteurs : attraction des autres planètes, aplatissement éventuel du Soleil, etc. On peut calculer par la mécanique newtonienne classique, la valeur de l'avance du périhélie due à chacun des facteurs mais on constate qu'il reste un résidu inexpliqué.

Plus la planète est proche, plus le résidu est important. Pour Mercure, on observe un résidu de l'avance du périhélie par siècle de 43.11$ \,\pm\,$00.45 secondes d'arc, pour Vénus de 8.4$ \,\pm\,$4.8, et pour la Terre de 5.0$ \,\pm\,$1.2 secondes.

Ces valeurs sont très petites mais elles furent suffisantes pour que les astronomes les eussent mesurées avec précision et qu'elles leur posassent une énigme.

C'est au 19e siècle que l'astronome Urbain le Verrier (1811-1877) (qui prévit par le calcul l'existence de la planète Neptune, découverte par la suite) établit la théorie de l'orbite de Mercure en tenant compte des perturbations dues à d'autres planètes. Le Verrier nota un petit désaccord entre les observations astronomiques séculaires et ses calculs effectués à partir de la mécanique newtonienne.

Mouvement d'une particule dans un champ de Schwarzschild

L'étude du mouvement d'une planète dans le champ de gravitation créé par le Soleil peut être assimilé à celui d'une petite particule qui ne perturbe pas le champ à symétrie centrale sphérique étudié par Schwarzschild. La métrique de l'espace-temps où évolue la particule est celle donnée par (4.50) :

$\displaystyle ds^{2}=A\,c^{2}\,dt^{2}-\dfrac{1}{A}\,dr^{2}-r^{2}\,(d\theta^{2}+sin^{2}\theta\,d\varphi^{2})$ (5.1)

On a posé : $ A=1-\dfrac{2GM}{rc^{2}}$. Dans l'espace-temps considéré, la trajectoire d'une particule est une géodésique donnée par les équations (4.15) :

$\displaystyle \dfrac{d^{2}x^{\alpha}}{ds^{2}}+\textrm{$\Gamma^{}_{\chi}$$^{}_{}$$^{\alpha}$$^{}_{\beta}$}\,\dfrac{dx^{\beta}}{ds}\,\dfrac{dx^{\chi}}{ds}=0$ (5.2)

Les symboles de Christoffel sont calculés à partir de la métrique de Schwarzschild (5.1). Écrivons les équations (5.2) pour $ x^{2}=\theta$ ; il vient :

$\displaystyle \dfrac{d^{2}\theta}{ds^{2}}+\dfrac{2}{r}\,\dfrac{dr}{ds}\,\dfrac{d\theta}{ds}-$sin$\displaystyle \,\theta\,$cos$\displaystyle \,\theta\,\bigg(\dfrac{d\varphi}{ds}\bigg)^{2}=0$ (5.3)

Supposons le mouvement initial tel que :

$\displaystyle \theta_{s=0}=\dfrac{\pi}{2}\,\,\,;\,\,\,\bigg(\dfrac{d\theta}{ds}\bigg)_{s=0}=0$ (5.4)

Ces conditions initiales donnent : $ d^{2}\theta/ds^{2}=0$. On peut choisir un système de coordonnées tel que les conditions (5.4) restent identiques au cours du mouvement qui s'effectue dans un plan. Les autres caractéristiques de la trajectoire sont fournies par les équations des géodésiques. Pour $ x^{0}=ct$ et $ x^{3}=\varphi$, les équations (5.2) ont respectivement pour solutions :

$\displaystyle A\,\dfrac{dt}{ds}=\dfrac{L}{c^{2}}\,\,\,;\,\,\,r^{2}\,\dfrac{d\varphi}{ds}=\dfrac{K}{c}$ (5.5)

$ L$ et $ K$ sont des constantes d'intégration ; $ c$ est la vitesse de la lumière.

Pour $ x^{1}=r$, on va utiliser l'expression du $ ds^{2}$ donné par (5.1) et éliminer de cette expression $ dt$ et $ ds$ compte tenu de (5.5). Posant $ u=1/r$, on obtient une première équation des trajectoires :

$\displaystyle \dfrac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u=\dfrac{GM}{K^{2}}+\dfrac{3GM\,u^{2}}{c^{2}}$ (5.6)

La première équation (5.5) nous donne : $ dt/ds=L/Ac^{2}$. Reportant cette dernière relation dans la seconde équation (5.5), il vient :

$\displaystyle r^{2}\,\dfrac{d\varphi}{ds}=r^{2}\,\dfrac{d\varphi}{dt}\,\dfrac{dt}{ds}=r^{2}\,\dfrac{d\varphi}{dt}\,\dfrac{L}{Ac^{2}}=\dfrac{K}{c}$ (5.7)

Reportant la valeur : $ A=1-2GM/rc^{2}$ dans (5.7), on obtient une seconde équation des trajectoires :

$\displaystyle r^{2}\,\dfrac{d\varphi}{ds}=\dfrac{Kc}{L}\,\bigg(1-\dfrac{2GM}{rc^{2}}\bigg)$ (5.8)

Les équations (5.6) et (5.8) du mouvement de la particule dans un champ de gravitation à symétrie sphérique sont peu différentes des équations de la mécanique newtonienne qui sont les suivantes :

$\displaystyle \dfrac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u=\dfrac{GM}{K^{2}}\,\,\,;\,\,\,r^{2}\,\dfrac{d\varphi}{dt}=K$ (5.9)

Les termes supplémentaires qui apparaissent dans les équations de la relativité générale sont très petits lorsque la vitesse de la particule est faible devant $ c$. C'est le cas pour les mouvements des planètes autour du Soleil ; les équations relativistes des trajectoires montrent que les orbites des planètes sont bien les géodésiques de l'espace-temps riemannien.

Avance du périhélie des planètes

Calculons par approximation l'avance séculaire du périhélie des planètes. La solution de la première équation newtonienne (5.9) est :

$\displaystyle u_{0}=\dfrac{GM}{K^{2}}\,[1+e\,$cos$\displaystyle (\varphi-\bar{\omega})]$ (5.10)

Les paramètres $ e$ et $ \bar{\omega}$ sont des constantes d'intégration. Elles représentent respectivement l'excentricité de l'orbite de la planète et la longitude de son périhélie. Si $ a$ est la demi longueur du grand axe de la trajectoire elliptique, on a :

$\displaystyle K^{2}=GMa(1-e^{2})$ (5.11)

Calculons, par approximations successives, une solution de l'équation relativiste (5.6). Pour cela, substituons la solution (5.10), qui est une solution approchée de (5.6), dans le terme supplémentaire que fait intervenir cette dernière équation. On obtient :

$\displaystyle \dfrac{d^{2}u}{d\varphi^{2}}+u\simeq\dfrac{6M^{3}G^{3}}{c^{2}K^{2}}\,e\,$cos$\displaystyle (\varphi-\bar{\omega})$ (5.12)

Les autres termes ne sont pas retenus car ils apportent une contribution négligeable. L'équation (5.12) admet comme solution particulière :

$\displaystyle u_{1}=\dfrac{3G^{3}M^{3}}{c^{2}K^{4}}\,e\,\varphi\,$sin$\displaystyle (\varphi-\bar{\omega})$ (5.13)

Une solution de seconde appproximation peut être formée par la superposition des solutions $ u_{0}$ et $ u_{1}$ ; on obtient :

$\displaystyle u=u_{0}+u_{1}=\dfrac{GM}{K^{2}}\,[1+e\,$cos$\displaystyle (\varphi-\bar{\omega}-\delta\bar{\omega})]$ (5.14)

où l'on a posé : $ \delta\bar{\omega}=3G^{2}M^{2}\varphi/c^{2}K^{2}$. Compte tenu de l'expression de $ K^{2}$ donnée par (5.11), on a :

$\displaystyle \delta\bar{\omega}=\dfrac{3GM}{ac^{2}(1-e^{2})}\varphi$ (5.15)

Lors de la révolution complète d'une planète autour du Soleil, c'est-à-dire pour $ \varphi=2\pi$, l'avance du périhélie a donc pour expression :

$\displaystyle \delta\bar{\omega}=\dfrac{6\pi GM}{ac^{2}(1-e^{2})}$ (5.16)

En ce qui concerne la planète Mercure, les calculs de mécanique newtonienne compte tenu de l'action perturbatrice des autres planètes, donnent une avance séculaire de 5557 secondes d'arc environ. Or les observations astronomiques montrent que cette avance est en réalité de 5600 secondes d'arc environ. C'est ce résidu $ \delta\bar{\omega}$ de 43 secondes, inexpliqué par la théorie de Newton, dont rend compte la relativité générale.

Dans le cas de Mercure, l'excentricité de son orbite est relativement importante : $ e=0.2056$, et son orbite est la plus proche du Soleil, donc $ a$ est la plus faible valeur des demi axes des ellipses planétaires. Le résidu d'avance du périhélie de Mercure est ainsi le plus important des planètes.

L'application de la formule (5.16) conduit à une valeur du résidu d'avance séculaire du périhélie de Mercure égale à 43.15 secondes d'arc. Cette valeur coïncide avec les mesures astronomiques, 43.11$ \,\pm\,$0.45 secondes, compte tenu de leur incertitude expérimentale.

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