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Considérons un cas particulier de champ gravitationnel stationnaire : celui d'un disque en rotation à vitesse angulaire uniforme.
- On considère un système d'inertie "immobile" en coordonnées cylindriques
, , , . Écrire l'expression du carré de l'intervalle dans ce
référentiel.
- Soient
, , , les coordonnées cylindriques du disque tournant dont l'axe de rotation coïncide avec l'axe du référentiel d'inertie. Déterminer
l'expression du carré de l'intervalle dans le système de coordonnées en rotation.
- Déterminer le carré de l'élément linéaire
de distance spatiale dans le système de coordonnées en rotation.
- En coordonnées cylindriques
, , , , le carré de l'intervalle s'écrit :
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(4.85) |
- Si l'axe de rotation du disque coïncide avec l'axe
du référentiel fixe, on a les relations suivantes entre coordonnées :
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(4.86) |
En calculant les différentielles des coordonnées (4.86), puis en élevant au carré et en substituant dans (4.85), on obtient :
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(4.87) |
- L'élément linéaire spatial est obtenu à partir de la formule (4.9), à savoir :
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(4.88) |
Les indices et varient de 1 à 3 et concernent les variables , , . On a donc :
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(4.89) |
Les autres composantes sont nulles. Compte tenu de (4.89), la formule (4.88) nous donne :
 |
(4.90) |
C'est l'astronome Karl Schwarzschild qui dès 1916, va trouver la première solution exacte des équations d'Einstein pour un champ de gravitation central symétrique. Un tel champ
est engendré par une distribution de matière ayant une même symétrie. C'est le cas du soleil et de nombreux astres.
- La symétrie centrale du champ signifie que la métrique de l'espace-temps doit être la même pour tous les poins équidistants du centre considéré. Si l'on a recours
à des coordonnées spatiales "sphériques"
, , , écrire l'expression la plus générale de l'intervalle.
- Choisissons les coordonnées
et de sorte que la fonction soit nulle et que soit égale à . Cette dernière condition implique que la
coordonnée est telle que la longueur de la circonférence d'un cercle, centré sur l'origine des coordonnées soit égale à . Afin de simplifier les notations pour
les calculs, il est commode de faire les choix suivants :
,
, où et sont des fonctions à déterminer de et .
Déterminer l'expression de l'intervalle avec les notations ainsi choisies.
- Écrire les composantes covariantes du tenseur métrique en considérant que les coordonnées
, , , représentent respectivement les coordonnées
d'indices 0, 1, 2, 3.
- Calculer les composantes contravariantes du tenseur métrique.
- Calculer les symboles de Christoffel de deuxième espèce correspondant à cette métrique.
- En considérant un tenseur d'impulsion-énergie égal à zéro, écrire les équations d'Einstein avec leurs composantes mixtes.
- Intégrer les équations d'Einstein. On montrera qu'on peut choisir
. La constante d'intégration sera déterminée en comparant avec la limite newtonienne.
- En déduire l'expression du carré de l'intervalle
permettant de déterminer complètement le champ de gravitation dans le vide créé par une distribution de
matière centrale symétrique.
- En déduire la métrique spatiale.
- Déterminer la correction à apporter à la métrique galiléenne à de grandes distances de l'origine des coordonnées. Que peut-on en déduire pour la métrique à
grande distance de n'importe quel système de corps ?
- Si l'on a recours à des coordonnées spatiales "sphériques"
, , , on a pour l'expression la plus générale de l'intervalle, la formule (4.47)
:
sin |
(4.91) |
- Avec le choix des fonctions données, il vient :
sin |
(4.92) |
- Considérons que les coordonnées
, , , représentent respectivement les coordonnées d'indices 0, 1, 2, 3. Les composantes covariantes du tenseur
métrique sont données par :
sin |
(4.93) |
- Les composantes contravariantes du tenseur métrique sont données par :
sin |
(4.94) |
- Les symboles de Christoffel de deuxième espèce correspondant à cette métrique se calculent en
utilisant les formules générales (3.15), à savoir :
 |
(4.95) |
Les indices 0, 1, 2, 3 correspondent respectivement aux variables , , , . On utilise le signe prime pour désigner la dérivation par rapport à la variable
et le point au dessus d'une lettre pour indiquer la dérivation par rapport à . On obtient les valeurs suivantes :
 |
(4.96) |
sin |
(4.97) |
Les autres composantes sont nulles, sauf celles écrites ci-dessus pour lesquelles on effectue une transposition des indices et situés en bas des symboles de Christoffel.
- Les équations d'Einstein sont données par les relations (4.31) sous forme covariante. Elles s'écrivent également avec les composantes mixtes des tenseurs sous la
forme (4.34). Pour un tenseur d'impulsion-énergie égal à zéro, on a :
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(4.99) |
Les composantes covariantes du tenseur de Ricci se calculent à partir de la formule (4.38), soit :
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(4.100) |
Ses composantes mixtes sont données par (4.39) :
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(4.101) |
Le scalaire de courbure, noté , est obtenu par contraction du tenseur de Ricci, soit :
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(4.102) |
L'utilisation des formules qui précèdent conduit aux équations suivantes :
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(4.103) |
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(4.104) |
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(4.105) |
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(4.106) |
Les autres composantes des équations d'Einstein sont identiquement nulles.
- L'équation (4.104) étant une conséquence des équations (4.103), (4.105) et (4.106), l'intégration des équations d'Einstein portent
uniquement sur ces trois dernières.
L'équation (4.106) se réduit à :
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(4.107) |
Elle montre que la fonction ne dépend que du temps. La somme des équations (4.103) et (4.105) se réduit à
. On obtient donc :
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(4.108) |
où est une fonction quelconque de . On peut supposer que car les choix effectués lors de la question 2 laisse la possibilité d'ajouter à une fonction
arbitraire. Avec , on a :
.
L'équation (4.105) s'intègre facilement et nous donne comme solution, compte tenu de
:
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(4.109) |
La constante d'intégration s'obtient en considérant qu'à grande distance où le champ de
gravitation est faible, son expression devient newtonienne. La composante du tenseur métrique est
donnée, dans le cas de l'approximation newtonienne, par (4.22), soit :
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(4.110) |
Les équations (4.109) et (4.110) donnent la relation :
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(4.111) |
L'expression du potentiel gravitationnel est :
, étant la masse totale du corps créant le
champ. La relation (4.109) nous donne donc pour valeur de la constante d'intégration :
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(4.112) |
- Le carré de l'intervalle
permettant de déterminer complètement le champ de gravitation
dans le vide créé par une distribution de matière centrale symétrique est donc :
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(4.113) |
Lorsque tend vers l'infini, cette métrique devient automatiquement eulidienne.
- La métrique spatiale est donnée par l'expression de distance spatiale :
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(4.114) |
- À de grandes distances de l'origine des coordonnées, la métrique (4.113) s'écrit :
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(4.115) |
où est l'intervalle euclidien. Pour une distribution de masses quelconques à l'origine, le champ
gravitationnel est central symétrique à de grandes distances. Par conséquent, la correction apportée
par le dernier terme de l'équation (4.115) s'ajoute à la métrique euclidienne pour n'importe
quel système de masses lorsqu'on se trouve à des distances suffisamment grandes.
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