Espace-temps de la Relativité Générale

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Exercices

Élément de distance spatiale dans un système en rotation

Considérons un cas particulier de champ gravitationnel stationnaire : celui d'un disque en rotation à vitesse angulaire $\omega$ uniforme.

On considère un système d'inertie "immobile" en coordonnées cylindriques , $\varphi'$ , , . Écrire l'expression du carré de l'intervalle dans ce référentiel.
Soient , $\varphi$ , , les coordonnées cylindriques du disque tournant dont l'axe de rotation coïncide avec l'axe du référentiel d'inertie. Déterminer l'expression du carré de l'intervalle dans le système de coordonnées en rotation.
Déterminer le carré de l'élément linéaire de distance spatiale dans le système de coordonnées en rotation.

Correction

En coordonnées cylindriques , $\varphi'$ , , , le carré de l'intervalle s'écrit :

$\displaystyle ds'^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dr'^{2}-r'^{2}\,d\varphi'^{2}-dz'^{2}$ (4.85)
Si l'axe de rotation du disque coïncide avec l'axe du référentiel fixe, on a les relations suivantes entre coordonnées :

$\displaystyle r'=r\,\,\,;\,\,\,z'=z\,\,\,;\,\,\,\varphi'=\varphi+\omega t$ (4.86)

En calculant les différentielles des coordonnées (4.86), puis en élevant au carré et en substituant dans (4.85), on obtient :

$\displaystyle ds'^{2}=ds^{2}=(c^{2}-\omega^{2}\,r^{2})\,dt^{2}-2\,\omega\,r^{2}\,d\varphi\,dt-r^{2}\,d\varphi^{2}-dz^{2}-dr^{2}$ (4.87)
L'élément linéaire spatial est obtenu à partir de la formule (4.9), à savoir :

$\displaystyle dl^{2}=\bigg(\dfrac{g_{0i}\,g_{0k}}{g_{00}}-g_{ik}\bigg)\,dx^{i}\,dx^{k}$ (4.88)

Les indices et varient de 1 à 3 et concernent les variables , $\phi$ , . On a donc :

$\displaystyle g_{00}=c^{2}-\omega^{2}\,r^{2}\,\,\,;\,\,\,g_{02}=-2\,\omega\,r^{2}\,\,\,;\,\,\,g_{11}=-1\,\,\,;\,\,\,g_{22}=-r^{2}\,\,\,;\,\,\,g_{33}=-1$ (4.89)

Les autres composantes sont nulles. Compte tenu de (4.89), la formule (4.88) nous donne :

$\displaystyle dl^{2}=dr^{2}+\dfrac{4\,\omega^{2}\,r^{2}-1}{c^{2}-\omega^{2}\,r^{2}}\,r^{2}\,d\varphi^{2}+dz^{2}$ (4.90)

Métrique d'un champ de gravitation central symétrique

C'est l'astronome Karl Schwarzschild qui dès 1916, va trouver la première solution exacte des équations d'Einstein pour un champ de gravitation central symétrique. Un tel champ est engendré par une distribution de matière ayant une même symétrie. C'est le cas du soleil et de nombreux astres.

La symétrie centrale du champ signifie que la métrique de l'espace-temps doit être la même pour tous les poins équidistants du centre considéré. Si l'on a recours à des coordonnées spatiales "sphériques" , $\theta$ , $\varphi$ , écrire l'expression la plus générale de l'intervalle.
Choisissons les coordonnées et de sorte que la fonction soit nulle et que soit égale à $-r^{2}$ . Cette dernière condition implique que la coordonnée est telle que la longueur de la circonférence d'un cercle, centré sur l'origine des coordonnées soit égale à $2\pi r$ . Afin de simplifier les notations pour les calculs, il est commode de faire les choix suivants : $A(r,t)=-e^{\lambda}$ , $C(r,t)=c^{2}\,e^{\nu}$ , où $\lambda$ et $\nu$ sont des fonctions à déterminer de et . Déterminer l'expression de l'intervalle $ds^{2}$ avec les notations ainsi choisies.
Écrire les composantes covariantes du tenseur métrique en considérant que les coordonnées , , $\theta$ , $\varphi$ représentent respectivement les coordonnées d'indices 0, 1, 2, 3.
Calculer les composantes contravariantes du tenseur métrique.
Calculer les symboles de Christoffel de deuxième espèce correspondant à cette métrique.
En considérant un tenseur d'impulsion-énergie égal à zéro, écrire les équations d'Einstein avec leurs composantes mixtes.
Intégrer les équations d'Einstein. On montrera qu'on peut choisir $\lambda=-\nu$ . La constante d'intégration sera déterminée en comparant avec la limite newtonienne.
En déduire l'expression du carré de l'intervalle $ds^{2}$ permettant de déterminer complètement le champ de gravitation dans le vide créé par une distribution de matière centrale symétrique.
En déduire la métrique spatiale.
Déterminer la correction à apporter à la métrique galiléenne à de grandes distances de l'origine des coordonnées. Que peut-on en déduire pour la métrique à grande distance de n'importe quel système de corps ?

Correction

Si l'on a recours à des coordonnées spatiales "sphériques" , $\theta$ , $\varphi$ , on a pour l'expression la plus générale de l'intervalle, la formule (4.47) :

$\displaystyle ds^{2}=A(r,t)\,dr^{2}+B(r,t)\,(d\theta^{2}+$ sin $\displaystyle ^{2}\theta\,d\varphi^{2})+C(r,t)\,dt^{2}+D(r,t)\,dr\,dt$ (4.91)
Avec le choix des fonctions données, il vient :

$\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,e^{\nu}\,dt^{2}-e^{\lambda}\,dr^{2}-r^{2}\,(d\theta^{2}+$ sin $\displaystyle ^{2}\theta\,d\varphi^{2})$ (4.92)
Considérons que les coordonnées , , $\theta$ , $\varphi$ représentent respectivement les coordonnées d'indices 0, 1, 2, 3. Les composantes covariantes du tenseur métrique sont données par :

$\displaystyle g_{00}=e^{\nu}\,\,\,;\,\,\,g_{11}=-e^{\lambda}\,\,\,;\,\,\,g_{22}=-r^{2}\,\,\,;\,\,\,g_{33}=-r^{2}\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\theta$ (4.93)
Les composantes contravariantes du tenseur métrique sont données par :

$\displaystyle g^{00}=e^{-\nu}\,\,\,;\,\,\,g^{11}=-e^{-\lambda}\,\,\,;\,\,\,g^{22}=-r^{-2}\,\,\,;\,\,\,g^{33}=-r^{-2}\,$ sin $\displaystyle ^{-2}\,\theta$ (4.94)
Les symboles de Christoffel de deuxième espèce correspondant à cette métrique se calculent en utilisant les formules générales (3.15), à savoir :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}=\dfrac{1}{2}\,g^{jl}\,(\partial_{k}\,g_{il}+\partial_{i}\,g_{lk}-\partial_{l}\,g_{ki})$ (4.95)

Les indices 0, 1, 2, 3 correspondent respectivement aux variables , , $\theta$ , $\varphi$ . On utilise le signe prime pour désigner la dérivation par rapport à la variable et le point au dessus d'une lettre pour indiquer la dérivation par rapport à . On obtient les valeurs suivantes :

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{0}$$^{}_{}$$^{0}$$^{}_{0}$}=\dfrac{\dot{\nu}}... ...Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{0}$$^{}_{1}$}=\dfrac{\dot{\lambda}}{2}\,e^{\lambda-\nu}$ (4.96)

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{0}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{0}$}=\dfrac{\nu'}{2}\,... ...}=-r\,e^{-\lambda}\,\,;\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{3}$}=-r\,$ sin $\displaystyle ^{2}\,\theta\,e^{-\lambda}$ (4.97)

$\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{1}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{2}$}=\textrm{$\Gamma^{... ...3}$}=\dfrac{1}{r}\,\,\,;\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{3}$$^{}_{}$$^{2}$$^{}_{3}$}=-$ sin $\displaystyle \,\theta\,$ cos $\displaystyle \,\theta\,\,\,;\,\,\,\textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{3}$$^{}_{3}$}=$ cotan $\displaystyle \,\theta$ (4.98)

Les autres composantes sont nulles, sauf celles écrites ci-dessus pour lesquelles on effectue une transposition des indices et situés en bas des symboles de Christoffel.
Les équations d'Einstein sont données par les relations (4.31) sous forme covariante. Elles s'écrivent également avec les composantes mixtes des tenseurs sous la forme (4.34). Pour un tenseur d'impulsion-énergie égal à zéro, on a :

$\displaystyle R^{\alpha}_{\,\,\beta}-\dfrac{1}{2}\,\delta^{\alpha}_{\beta}\,R=0$ (4.99)

Les composantes covariantes $R_{is}$ du tenseur de Ricci se calculent à partir de la formule (4.38), soit :

$\displaystyle R_{is}=\textrm{$R_{i}$$^{}_{}$$^{k}$$_{}$$_{k}$$_{s}$}=\partial_{... ...^{}_{i}$$^{}_{}$$^{l}$$^{}_{k}$}\textrm{$\Gamma^{}_{s}$$^{}_{}$$^{k}$$^{}_{l}$}$ (4.100)

Ses composantes mixtes sont données par (4.39) :

$\displaystyle R^{i}_{\,\,j}=g^{ik}\,R_{kj}$ (4.101)

Le scalaire de courbure, noté , est obtenu par contraction du tenseur de Ricci, soit :

$\displaystyle R=g^{is}\,R_{is}$ (4.102)

L'utilisation des formules qui précèdent conduit aux équations suivantes :

$\displaystyle e^{-\lambda}\,\bigg(\dfrac{\nu'}{r}+\dfrac{1}{r^{2}}\bigg)-\dfrac{1}{r^{2}}=0$ (4.103)

$\displaystyle \dfrac{1}{2}e^{-\lambda}\,\bigg(\nu''+\dfrac{\nu'^{2}}{2}+\dfrac{... ...ambda}+\dfrac{\dot{\lambda}^{2}}{2}-\dfrac{\dot{\nu}\,\dot{\lambda}}{2}\bigg)=0$ (4.104)

$\displaystyle e^{-\lambda}\,\bigg(\dfrac{1}{r^{2}}-\dfrac{\lambda'}{r}\bigg)-\dfrac{1}{r^{2}}=0$ (4.105)

$\displaystyle e^{-\lambda}\,\dfrac{\dot{\lambda}}{r}=0$ (4.106)

Les autres composantes des équations d'Einstein sont identiquement nulles.
L'équation (4.104) étant une conséquence des équations (4.103), (4.105) et (4.106), l'intégration des équations d'Einstein portent uniquement sur ces trois dernières.
L'équation (4.106) se réduit à :

$\displaystyle \dot{\lambda}=0$ (4.107)

Elle montre que la fonction $\lambda$ ne dépend que du temps. La somme des équations (4.103) et (4.105) se réduit à $\lambda'+\nu'=0$ . On obtient donc :

$\displaystyle \lambda+\nu=f(t)$ (4.108)

où est une fonction quelconque de . On peut supposer que car les choix effectués lors de la question 2 laisse la possibilité d'ajouter à $\nu$ une fonction arbitraire. Avec , on a : $\lambda=-\nu$ .

L'équation (4.105) s'intègre facilement et nous donne comme solution, compte tenu de $g_{00}=e^{\nu}$ :

$\displaystyle e^{-\lambda}=e^{\nu}=1+\dfrac{K}{r}=g_{00}$ (4.109)

La constante d'intégration s'obtient en considérant qu'à grande distance où le champ de gravitation est faible, son expression devient newtonienne. La composante $g_{00}$ du tenseur métrique est donnée, dans le cas de l'approximation newtonienne, par (4.22), soit :

$\displaystyle g_{00}=1+\dfrac{2\Phi}{c^{2}}$ (4.110)

Les équations (4.109) et (4.110) donnent la relation :

$\displaystyle 1+\dfrac{K}{r}=1+\dfrac{2\Phi}{c^{2}}$ (4.111)

L'expression du potentiel gravitationnel est : $\Phi=-GM/r$ , étant la masse totale du corps créant le champ. La relation (4.109) nous donne donc pour valeur de la constante d'intégration :

$\displaystyle K=-\dfrac{2GM}{c^{2}}$ (4.112)
Le carré de l'intervalle $ds^{2}$ permettant de déterminer complètement le champ de gravitation dans le vide créé par une distribution de matière centrale symétrique est donc :

$\displaystyle ds^{2}=\bigg(1-\dfrac{2GM}{rc^{2}}\bigg)\,c^{2}\,dt^{2}-\dfrac{1}{1-(2GM/rc^{2})}\,dr^{2}-r^{2}\,(d\theta^{2}+sin^{2}\theta\,d\varphi^{2})$ (4.113)

Lorsque tend vers l'infini, cette métrique devient automatiquement eulidienne.
La métrique spatiale est donnée par l'expression de distance spatiale :

$\displaystyle dl^{2}=\dfrac{1}{1-(2GM/rc^{2})}\,dr^{2}+r^{2}\,(d\theta^{2}+sin^{2}\theta\,d\varphi^{2})$ (4.114)
À de grandes distances de l'origine des coordonnées, la métrique (4.113) s'écrit :

$\displaystyle ds^{2}=ds_{0}^{2}-\dfrac{2GM}{rc^{2}}\,(dr^{2}+c^{2}\,dt^{2})$ (4.115)

où $ds_{0}$ est l'intervalle euclidien. Pour une distribution de masses quelconques à l'origine, le champ gravitationnel est central symétrique à de grandes distances. Par conséquent, la correction apportée par le dernier terme de l'équation (4.115) s'ajoute à la métrique euclidienne pour n'importe quel système de masses lorsqu'on se trouve à des distances suffisamment grandes.