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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Ondes gravitationnelles


 
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Ondes gravitationnelles

L'idée d'une vitesse de propagation finie de l'attraction gravitationnelle est due à Pierre-Simon Laplace (1740-1827). Ce fut ensuite Henri Poincaré qui, en 1905, fit l'hypothèse d'une vitesse égale à celle de la lumière.

Une onde gravitationnelle peut être considérée comme une petite perturbation qui se propage dans l'espace-temps riemannien en le déformant légèrement. Nombre de phénomènes physiques peuvent être la source de telles perturbations puisqu'il n'y a pas de matière qui n'ait une action gravitationnelle. Le simple mouvement des planètes du système solaire, par exemple, est une source d'ondes gravitationnelles extrêmement faibles. De nombreux laboratoires d'astrophysique essaient de nos jours de détecter directement des ondes gravitationnelles.

Équations d'Einstein linéarisées

Considérons un espace-temps riemannien dont la métrique $ g'_{\alpha\beta}$ est connue. Supposons qu'une onde gravitationnelle perturbe légèrement cet espace-temps et déterminons les perturbations $ h_{\alpha\beta}$ qui en résulte pour la nouvelle métrique $ g_{\alpha\beta}$ :

$\displaystyle g_{\alpha\beta}=g'_{\alpha\beta}+h_{\alpha\beta}$ (4.54)

Afin de simplifier cette étude, supposons que le champ de gravitation initial soit suffisament faible pour que la métrique soit pratiquement euclidienne. Dans ce cas, nous pouvons choisir un système de référence tel que les composantes $ g'_{\alpha\beta}$ du tenseur métrique soient presque égales à celles de l'espace-temps de Poincaré-Minkowski. Dans ce cas, nous pouvons écrire :

$\displaystyle g_{\alpha\beta}=\eta_{\alpha\beta}+h_{\alpha\beta}$ (4.55)

Afin de respecter la cohérence de notre approximation, il est nécessaire d'utiliser les composantes $ \eta_{\alpha\beta}$ du tenseur métrique pour lever ou abaisser les indices. On a pour les composantes contravariantes $ g^{\alpha\beta}$ en posant :

$\displaystyle g^{\alpha\beta}=\eta^{\alpha\beta}+k^{\alpha\beta}$ (4.56)

Nous allons calculer le terme $ k^{\alpha\beta}$ :

  $\displaystyle g_{i\alpha}\,g^{\alpha\beta}=\delta^{i}_{\beta}$ (4.57)
  $\displaystyle (\eta_{i\alpha}+h_{i\alpha})\,(\eta^{\alpha\beta}+k^{\alpha\beta})=\delta^{i}_{\beta}$    
  $\displaystyle \eta_{i\alpha}\,\eta^{\alpha\beta}+\eta_{i\alpha}\,k^{\alpha\beta}+h_{i\alpha}\,\eta^{\alpha\beta}+h_{i\alpha}\,k^{\alpha\beta}=\delta^{i}_{\beta}$    

  $\displaystyle \eta_{i\alpha}\,k^{\alpha\beta}+h_{i\alpha}\,\eta^{\alpha\beta}=0$ (4.58)
  $\displaystyle \eta_{i\alpha}\,\eta^{\mu i}\,k^{\alpha\beta}=-\eta^{\alpha\beta}\,\eta^{\mu i}\,h_{i\alpha}$    
  $\displaystyle k^{\mu\beta}=-\eta^{\mu i}\,\eta^{\alpha\beta}\,h_{i\alpha}$    

Soit en posant $ h^{\mu\beta}=\eta^{\mu i}\,\eta^{\alpha\beta}\,h_{i\alpha}$, on a :

$\displaystyle g^{\alpha\beta}=\eta^{\alpha\beta}-h^{\alpha\beta}+O(h^{2}_{\alpha\beta})$ (4.59)

Compte tenu des hypothèses ci-dessus, et en notant :

$\displaystyle h_{kj,\alpha\beta}=\partial_{\alpha\beta}\,h_{kj}$ (4.60)

nous allons calculer le tenseur d'Einstein linéarisé. Commençons par le tenseur de Ricci :

$\displaystyle R_{\alpha\beta}=$ $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,\eta^{kj}\,(h_{\beta j,\alpha k}+h_{\alpha k,\beta j}-h_{\alpha\beta,kj}-h_{kj,\alpha\beta})$ (4.61)
$\displaystyle =$ $\displaystyle -\dfrac{1}{2}\,\eta^{kj}\,\partial_{\alpha\beta}\,h_{kj}+\dfrac{1...
...{\beta j}\,h_{\alpha k}-\dfrac{1}{2}\,\eta^{kj}\,\partial_{kj}\,h_{\alpha\beta}$    

En posant $ h=\eta^{\alpha\beta}\,h_{\alpha\beta}$ et $ \square=\eta^{\mu\nu}\,\partial_{\mu\nu}$ on obtient :

$\displaystyle R_{\alpha\beta}=-\dfrac{1}{2}\,\partial_{\alpha\beta}\,h+\dfrac{1...
...c{1}{2}\,\partial_{\beta j}\,h^{j}_{\alpha}-\dfrac{\square}{2}\,h_{\alpha\beta}$ (4.62)

Calculons maintenant le scalaire de courbure $ R$ :

$\displaystyle R=$ $\displaystyle g^{li}\,R_{li}=\dfrac{1}{2}\,\eta^{li}\,\eta^{kj}\,(h_{ij,kl}+h_{kl,ij}-h_{li,kj}-h_{kj,li})$ (4.63)
$\displaystyle =$ $\displaystyle \eta^{li}\,\eta^{kj}\,(h_{ij,kl}-h_{li,kj})$    

Ce qui donne pour le terme $ \eta_{\alpha\beta}\,R$ :

$\displaystyle \eta_{\alpha\beta}\,R=$ $\displaystyle \eta_{\alpha\beta}\,\eta^{li}\,\eta^{kj}\,(h_{ij,kl}-h_{li,kj})$ (4.64)
$\displaystyle =$ $\displaystyle \eta_{\alpha\beta}\,\partial_{kl}\,h^{lk}-\eta_{\alpha\beta}\,\eta^{li}\,\square\,h_{li}$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \eta_{\alpha\beta}\,\partial_{kl}\,h^{lk}-\eta_{\alpha\beta}\,\square\,h^{i}_{i}$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \eta_{\alpha\beta}\,\partial_{kl}\,h^{lk}-\eta_{\alpha\beta}\,\square\,h$    

Finalement, on a :

$\displaystyle S_{\alpha\beta}=\dfrac{1}{2}\,(-\partial_{\alpha\beta}\,h+\partia...
...{2}\,(\eta_{\alpha\beta}\,\partial_{kl}\,h^{lk}-\eta_{\alpha\beta}\,\square\,h)$ (4.65)

Le tenseur $ S_{\alpha\beta}$ peut être simplifié en posant :

$\displaystyle \tilde{h_{\alpha\beta}}=h_{\alpha\beta}-\dfrac{1}{2}\,\eta_{\alpha\beta}\,h$ (4.66)

Commençons par le terme $ -\partial_{\alpha\beta}\,h+\partial_{\alpha k}\,h^{k}_{\beta}+\partial_{\beta
j}\,h^{j}_{\alpha}$ ; nous choisssons une jauge pour laquelle :

$\displaystyle \partial_{\alpha}\,\tilde{h^{\alpha\beta}}=0$ (4.67)

Nous avons alors :

  $\displaystyle \partial_{\alpha k}\,h^{k}_{\beta}=\partial_{\alpha k}\,\tilde{h^{k}_{\beta}}+\dfrac{1}{2}\,\partial_{\alpha\beta}\,h$ (4.68)
  $\displaystyle \partial_{\beta j}\,h^{j}_{\alpha}=\partial_{\beta j}\,\tilde{h^{j}_{\alpha}}+\dfrac{1}{2}\,\partial_{\alpha\beta}\,h$ (4.69)

d'où, avec la relation de la jauge (4.67) :

  $\displaystyle -\partial_{\alpha\beta}\,h+\partial_{\alpha k}\,h^{k}_{\beta}+\partial_{\beta j}\,h^{j}_{\alpha}=$ (4.70)
  $\displaystyle \partial_{\alpha k}\,\tilde{h^{k}_{\beta}}+\partial_{\beta j}\,\tilde{h^{j}_{\alpha}}=$    
  $\displaystyle \partial_{\alpha k}\,\tilde{h^{k}_{\beta}}+\partial_{\beta j}\,\,g_{i\alpha}\,\tilde{h^{ji}}=$    
  $\displaystyle \partial_{\alpha k}\,\tilde{h^{k}_{\beta}}+\partial_{\beta}\,g_{i\alpha}\,\partial_{j}\,\tilde{h^{ji}}=$    
  $\displaystyle (1)\,\,\,\partial_{\alpha k}\,\tilde{h^{k}_{\beta}}$ (4.71)

Passons aux termes $ -\square\,h_{\alpha\beta}$, $ -\eta_{\alpha\beta}\,\partial_{kl}\,h^{kl}$ et $ -\eta_{\alpha\beta}\,\square\,h$ :




$\displaystyle (2)\,\,\,$ $\displaystyle -\square\,h_{\alpha\beta}=-\square\,\tilde{h_{\alpha\beta}}-\dfrac{1}{2}\,\eta_{\alpha\beta}\,\square\,h$ (4.72)
$\displaystyle (3)\,\,\,$ $\displaystyle -\eta_{\alpha\beta}\,\partial_{kl}\,h^{kl}=-\eta_{\alpha\beta}\,\...
...}\,\tilde{h^{kl}}-\dfrac{1}{2}\,\eta_{\alpha\beta}\,\partial_{kl}\,\eta^{kl}\,h$ (4.73)
$\displaystyle =-\eta_{\alpha\beta}\,\partial_{kl}\,\tilde{h^{kl}}-\dfrac{1}{2}\,\eta_{\alpha\beta}\,\square\,h$ (4.74)
$\displaystyle (4)\,\,\,$ $\displaystyle \eta_{\alpha\beta}\,\square\,h$ (4.75)

Ajoutons $ (1)+(2)+(3)+(4)$, on obtient donc pour le tenseur d'Einstein linéarisé :

$\displaystyle S_{\alpha\beta}=\dfrac{1}{2}\,(-\square\,\tilde{h_{\alpha\beta}}-...
...eta}\,\partial_{kl}\,\tilde{h^{kl}}+\partial_{\alpha k}\,\tilde{h^{k}_{\beta}})$ (4.76)

Finalement, les équations d'Einstein (4.32) s'écrivent :

$\displaystyle -\square\,\tilde{h_{\alpha\beta}}-\eta_{\alpha\beta}\,\partial_{k...
...rtial_{\alpha k}\,\tilde{h^{k}_{\beta}}=\dfrac{16\pi G}{c^{4}}\,Q_{\alpha\beta}$ (4.77)

Les équations (4.77) sont appelées équations d'Einstein linéarisées.

Propagation dans le vide

Par analogie avec l'équation de Maxwell pour les potentiels électromagnétiques, on peut imposer une condition de jauge de Lorentz que l'on a déjà utilisée en (4.67) :

$\displaystyle \partial_{\alpha}\,\tilde{h^{\alpha\beta}}=0$ (4.78)

Avec cette condition de jauge, les équations d'Einstein linéarisées s'écrivent :

$\displaystyle \square\,\tilde{h_{\alpha\beta}}=-\dfrac{16\pi G}{c^{4}}\,Q_{\alpha\beta}$ (4.79)

Dans le vide, les équations de propagation du champ de gravitation deviennent :

$\displaystyle \square\,\tilde{h_{\alpha\beta}}=0$ (4.80)

C'est l'équation classique de propagation des ondes dans le vide. Par conséquent, les champs gravitationnels se propagent dans le vide avec la vitesse de la lumière.

Considérons une onde de gravitation plane qui se propage selon une seule direction de l'espace, soit l'axe $ x^{1}=x$. Les équations de propagation (4.80) se réduisent à :

$\displaystyle \bigg(\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\dfrac{1}{c^{2}}\,\dfrac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\bigg)\,\tilde{h_{\alpha\beta}}=0$ (4.81)

Cette équation admet pour solution toute fonction de $ t\,\pm\,x/c$. On démontre que ces ondes de gravitation sont des ondes transverses dont la polarisation est déterminée par un tenseur symétrique du second ordre dans le plan perpendiculaire à l'axe des $ x$.

Comme pour les ondes électromagnétiques, les ondes gravitationnelles transportent une certaine quantité d'énergie. Mais les énergies mises en jeu lors du passage d'une onde de gravitation sont extrêmement faibles. Pour une onde très intense, par exemple l'explosion d'une supernovae au centre de la Galaxie, l'énergie de passage est d'un ordre de grandeur de $ 10^{-25}$ joules. Autant dire que leur détection est des plus délicates.

Au cours du chapitre suivant, nous verrons que ce n'est pas actuellement la détection directe des ondes gravitationnelles qui apporte la preuve de l'existence de telles ondes. C'est l'étude de la variation de l'orbite d'un pulsar double qui, en émettant des ondes de gravitation, perd de l'énergie et dont la mesure très précise de cette variation au cours de plus de 25 années constitue la preuve la plus remarquable de la validité de la relativité générale.

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