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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Champ de gravitation central symétrique


 
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Champ de gravitation central symétrique

La résolution des équations d'Einstein appliquées à un système physique donné, est extrêmement ardue. Ces équations sont au nombre de seize mais les symétries permettent d'en réduire le nombre à dix. On a en effet : $ g_{\alpha\beta}=g_{\beta\alpha}$, $ R_{\alpha}=R_{\beta\alpha}$, $ Q_{\alpha\beta}=Q_{\beta\alpha}$. Malgré cette réduction, on doit résoudre un système différentiel du second ordre où les $ g_{\alpha\beta}$ sont les inconnues à déterminer. Cependant, la considération d'autres symétries physiques permet de simplifier la résolution ainsi que nous allons le voir dans le cas d'un champ à symétrie centrale.

Champ à symétrie centrale dans le vide

C'est l'astronome Karl Schwarzschild qui, dès 1916, va trouver la première solution exacte des équations d'Einstein pour un champ de gravitation central symétrique. Un tel champ est engendré par une distribution de matière ayant une même symétrie. C'est le cas du Soleil et de ne nombreux astres. Nous étudierons d'abord le champ de gravitation dans le vide, c'est-à-dire à l'extérieur des masses qui l'engendrent. Dans ce cas, nous supposerons que le tenseur d'impulsion-énergie est égal à zéro et les équations d'Einstein (4.32) se réduisent alors à :

$\displaystyle R_{\alpha\beta}-\dfrac{1}{2}\,g_{\alpha\beta}\,R=0$ (4.46)

La symétrie centrale du champ signifie que la métrique de l'espace-temps doit être la même pour tous les points équidistants du centre considéré. Si l'on a recours à des coordonnées spatiales "sphériques" $ r$, $ \theta$, $ \varphi$, l'expression la plus générale de l'intervalle s'écrit :

$\displaystyle ds^{2}=A(r,t)\,dr^{2}+B(r,t)\,(d\theta^{2}+sin^{2}\theta\,d\varphi^{2})+C(r,t)\,dt^{2}+D(r,t)\,dr\,dt$ (4.47)

Les fonctions $ A, B, C, D$ dépendent du "rayon vecteur" $ r$ et du "temps" $ t$. Par suite de l'arbitraire dans le choix du système de référence en relativité générale, on peut changer les coordonnées en les soumettant à n'importe quelle transformation qui ne viole pas la symétrie centrale de l'intervalle.

Chosissons les coordonnées $ r$ et $ t$ de sorte que la fonction $ D(r,t)$ soit nulle et que $ B(r,t)$ soit égale à $ -r^{2}$. Cette dernière condition implique que la coordonnée $ r$ est telle que la longueur de la circonférence d'un cercle, centrée sur l'origine des coordonnées, soit égale à $ 2\pi r$. Afin de simplifier les notations pour les calculs, il est commode de faire les choix suivants : $ A(r,t)=-e^{\lambda}$, $ C(r,t)=c^{2}\,e^{\nu}$, où $ \lambda$ et $ \nu$ sont des fonctions à déterminer de $ r$ et $ t$. Finalement, l'intervalle $ ds^{2}$ choisi s'écrit :

$\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,e^{\nu}\,dt^{2}-e^{\lambda}\,dr^{2}-r^{2}\,(d\theta^{2}+sin^{2}\theta\,d\varphi^{2})$ (4.48)

Notons les coordonnées "sphériques" sous la forme suivante : $ x^{0}=ct$, $ x^{1}=r$, $ x^{2}=\theta$, $ x^{3}=\varphi$. Les composantes covariantes non nulles du tenseur métrique sont alors les suivantes :

$\displaystyle g_{00}=e^{\nu}\,\,\,;\,\,\,g_{11}=-e^{\lambda}\,\,\,;\,\,\,g_{22}=-r^{2}\,\,\,;\,\,\,g_{33}=-r^{2}\,sin^{2}\theta$ (4.49)

Ces valeurs permettent de calculer aisément les expressions des symboles de Christoffel $ \textrm{$\Gamma^{}_{\alpha}$$^{}_{}$$^{\beta}$$^{}_{\chi}$}$ en utilisant les formules (4.40). On calcule ensuite les composantes covariantes du tenseur de Ricci $ R_{\alpha\beta}$ à partir des formules (4.38), puis, par contraction, le scalaire de courbure $ R$. Ces calculs, détaillés au cours de l'exercice 4.7.2, permettent d'écrire les équations d'Einstein (4.46) sous forme d'équations différentielles des fonctions $ \lambda(t,r)$ et $ \nu(t,r)$. L'intégration de ces équations donne les expressions de $ \lambda$ et $ \nu$. En écrivant que le champ de gravitation devient nul à l'infini, on détermine la constante d'intégration.

Finalement, on obtient explicitement l'expression du carré de l'intervalle :

$\displaystyle ds^{2}=\bigg(1-\dfrac{2GM}{rc^{2}}\bigg)c^{2}\,dt^{2}-\dfrac{1}{1-(2GM/rc^{2})}\,dr^{2}-r^{2}\,(d\theta^{2}+sin^{2}\theta\,d\varphi^{2})$ (4.50)

Le champ de gravitation dans le vide créé par une masse M centrale symétrique est ainsi complètement déterminé par (4.50).

Singularité de Schwarzschild

La métrique (4.50) est valable à l'extérieur de la masse qui crée le champ de gravitation. On voit que cette métrique présente une première singularité pour $ r=0$, le coefficient $ g_{00}$ de $ dt^{2}$ devenant alors infini.

Une seconde singularité est celle pour laquelle la coordonnée est telle que :

$\displaystyle r_{0}=\dfrac{2GM}{c^{2}}$ (4.51)

Cette quantité $ r_{0}$ est appelée le rayon gravitationnel. Dans ce cas, $ g_{00}$ s'annule et $ g_{11}$ devient infini. On peut alors définir une région singulière pour :

$\displaystyle 0<r<\dfrac{2GM}{c^{2}}$ (4.52)

Dans cette région, les coordonnées de temps et d'espace échangent leur rôle. Si l'on identifie $ r$ avec une distance newtonienne, on peut montrer que cette région singulière est située très profondément à l'intérieur de la masse $ M$ qui crée le champ de gravitation. Or dans ce domaine, la métrique (4.50) n'est plus valable puisqu'elle a été calculée en prenant un tenseur d'impulsion-énergie nul.

Cette singularité de Schwarzschild n'est qu'apparente car elle peut être éliminée par un choix convenable du système de coordonnées. Mais ce qui est éliminé est la singularité mathématique dans les composantes du tenseur métrique. Par contre, il n'en reste pas moins un phénomène physique tel que tout signal électromagnétique émis par une telle masse ne peut atteindre un observateur extérieur.

Champ à symétrie centrale à l'intérieur de la matière

Les équations de la gravitation d'Einstein ne déterminent pas entièrement la distribution et le mouvement de la matière. Ces équations n'impliquent pas l'équation d'état de la matière, c'est-à-dire l'équation qui relie entre elles la densité et la pression. Outre les équations d'Einstein, il faut donc se donner une équation d'état lorsqu'on veut résoudre le problème de la gravitation à l'intérieur de la matière.

Pour un système à symétrie sphérique en équilibre hydrostatique, la métrique générale  (4.48) peut être écrite sous la forme suivante :

$\displaystyle ds^{2}=\bigg(1+\dfrac{2\Phi(r)}{c^{2}}\bigg)\,c^{2}\,dt^{2}-\dfrac{1}{1-(2GM(r)/rc^{2})}\,dr^{2}-r^{2}\,(d\theta^{2}+sin^{2}\theta\,d\varphi^{2})$ (4.53)

La forme (4.53) constitue une généralisation de l'équation (4.50) où les fonctions $ \Phi(r)$ et $ M(r)$ sont à déterminer. L'utilisation de la métrique (4.53) permet le calcul du tenseur d'Einstein en fonction de $ \Phi(r)$ et $ M(r)$. Les équations d'Einstein fournissent ensuite pour ces deux fonctions un système d'équations couplées, appelées équations de Tolman-Oppenheimer-Volkov, dépendant de la densité d'énergie et de la pression de la matière dans le système considéré. Ainsi, la fonction $ M(r)$ apparaît comme étant la masse située dans une sphère de rayon inférieur à $ r$.

La métrique de Schwarzschild (4.50) étant un cas particulier de la métrique (4.53), les deux métriques se raccordent parfaitement à la surface d'une sphère de rayon donné $ R$ et de masse $ M$. On a en effet : $ \Phi(R)=-GM/R$, $ M(R)=M$.

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