Principe des géodésiques

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Principe des géodésiques

Le principe des géodésiques postulé par Einstein s'accorde parfaitement avec la description de l'espace-temps par un espace de Riemann. Nous avons vu qu'en relativité générale, il n'y a plus de force de gravitation puisque c'est la courbure de l'espace-temps qui en tient lieu. Une particule matérielle qui serait soumise uniquement à une force de gravitation doit donc être considérée comme "libre" en relativité générale. En conséquence, on ne peut pas distinguer son mouvement de celui d'une particule effectuant un mouvement purement inertiel.

La droite décrite par une particule libre de la mécanique classique a été généralisée par Einstein en supposant que sous la seule action de l'inertie et de la gravitation, toute particule décrit une géodésique de l'espace-temps riemannien.

Système différentiel des géodésiques

L'étude du mouvement d'un corps de masse importante dans un champ de gravitation est difficile puisque ce corps crée lui-même son propre champ. Par contre, une particule matérielle suffisament petite plongée dans un champ extérieur est sans influence sur le champ de gravitation crée par d'autres masses beaucoup plus importante ainsi que sur leur mouvement propre.

L'utilisation d'une particule de masse très faible dans un champ de gravitation simplifie donc beaucoup l'étude des lois du mouvement. Une telle particule se trouve plongée dans un champ extérieur à elle-même qu'elle ne modifie pas. Dans ce cas, Einstein a supposé que sa trajectoire est une géodésique de l'espace-temps riemannien.

Ce n'est seulement que onze ans après avoir énoncé son hypothèse des géodésiques, en 1927, qu'Einstein et Grommer ont réussi à démontrer qu'une particule qui se déplace dans un champ extérieur, devrait décrire une géodésique de ce champ, au premier ordre. Les trajectoires des particules dans un champ extérieur de gravitation sont donc décrites par le système différentiel suivant :

$\displaystyle \dfrac{d^{2}x^{\alpha}}{ds^{2}}+\textrm{$\Gamma^{}_{\chi}$$^{}_{}$$^{\alpha}$$^{}_{\beta}$}\,\dfrac{dx^{\beta}}{ds}\,\dfrac{dx^{\chi}}{ds}=0$

(4.15)

Les symboles de Christoffel qui figurent dans ces équations doivent être déterminés en fonction des coefficients $g_{\alpha\beta}$ de la métrique (4.1) de l'espace-temps considéré.

Approximation newtonienne

Dans le cas de faibles vitesses des particules dans un champ de gravitation, les équations relativistes du mouvement doivent se réduire aux équations correspondantes non relativistes. Si les vitesses sont faibles, cela signifie que le champ de gravitation lui-même est faible sinon les particules acquerraient de grandes vitesses. Cette circonstance permet de déterminer les composantes $g_{00}$ du tenseur métrique dans ce cas limite.

En mécanique non relativiste, le mouvement d'une particule dans un champ de gravitation est déterminé par la fonction de Lagrange, ou lagrangien, qui s'écrit dans un référentiel d'inertie :

$\displaystyle L=\dfrac{1}{2}m v^{2}-m\Phi$

(4.16)

La fonction $\Phi$ est une fonction des coordonnées et du temps caractérisant le champ et est appelée le potentiel de gravitation. Dans le cas d'une masse isolée, le potentiel $\Phi$ à la distance du centre de cette masse est donné par :

$\displaystyle \Phi=-\dfrac{GM}{r}$

(4.17)

où est la constante de gravitation.

La fonction de Lagrange d'une particule matérielle libre a pour expression, en relativité restreinte : $L=-mc^{2}(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}$ . Lorsque la vitesse devient très petite vis-à-vis de , le lagrangien tend vers la limite : $L_{0}=-mc^{2}$ . Pour que le lagrangien non relativiste (4.16) devienne égal à $L_{0}$ lorsque le potentiel de gravitation $\Phi$ et la vitesse deviennent très faibles, il faut ajouter la constante $-mc^{2}$ à la fonction de Lagrange ; on obtient :

$\displaystyle L=-mc^{2}+\dfrac{1}{2}m v^{2}-m\Phi$

(4.18)

Le lagrangien (4.18) peut donc être considéré comme la limite aux basses vitesses d'un lagrangien relativiste pour une particule de masse dans un champ gravitationnel. L'action pour une telle particule a, dans ce cas, la forme :

$\displaystyle S=\int\,Ldt=-mc\int\,\bigg(c-\dfrac{v^{2}}{2c}+\dfrac{\Phi}{c}\bigg)\,dt$

(4.19)

D'autre part, en relativité restreinte, l'action pour une particule matérielle libre est donnée par : $S=-mc\,\int\,ds$ . Comparant cette dernière expression avec (4.19), on voit que, dans le cas limite considéré, on a :

$\displaystyle ds=\bigg(c-\dfrac{v^{2}}{2c}+\dfrac{\Phi}{c}\bigg)\,dt$

(4.20)

En élevant au carré et en négligeant les termes qui s'annulent lorsque tend vers l'infini, on obtient :

$\displaystyle ds^{2}=(c^{2}+2\Phi)\,dt^{2}-d\mathbf{r}^{2}$

(4.21)

avec $d\mathbf{r}=\mathbf{v}\,dt$ . Par conséquent, la composante $g_{00}$ du tenseur métrique est, dans le cas limite considéré :

$\displaystyle g_{00}=1+\dfrac{2\Phi}{c^{2}}$

(4.22)

Pour une masse située à l'origine des coordonnées, on obtient, compte tenu de l'expression (4.17) du potentiel de gravitation :

$\displaystyle g_{00}=1-2\dfrac{GM}{r c^{2}}$

(4.23)

Propagation d'un rayon lumineux

Les équations des géodésiques sous la forme (4.15) ne conviennent pas à la propagation des rayons lumineux car le long de leurs lignes de propagation, l'intervalle est nul et tous les termes de l'équation des géodésiques deviennent infinis. Pour obtenir une équation convenable pour la lumière, utilisons le fait que la direction de propagation d'un rayon lumineux est déterminée, en optique géométrique, par le vecteur d'onde qui est tangent au rayon.

Le quadrivecteur d'onde $k^{\alpha}$ peut être écrit sous la forme : $k^{\alpha}=dx^{\alpha}/dh$ , où est un paramètre qui varie le long du rayon lumineux. Ce paramètre est déterminé par l'équation que l'on peut déduire du fait que, en relativité restreinte, le vecteur d'onde ne varie pas le long d'un rayon lumineux qui se propage dans le vide, soit $dk^{\alpha}$ . En relativité générale, on aura $\nabla k^{\alpha}=0$ , d'où :

$\displaystyle \dfrac{dk^{\alpha}}{dh}+\textrm{$\Gamma^{}_{\mu}$$^{}_{}$$^{\alpha}$$^{}_{\lambda}$}\,k^{\mu}\,k^{\lambda}=0$

(4.24)

Le paramètre est donc déterminé par ces dernières équations. D'autre part, le carré du quadrivecteur d'onde est nul : $k_{\alpha}\,k^{\alpha}=0$ . Soit $\Psi$ la phase de l'onde lumineuse, le quadrivecteur d'onde est tel que : $k^{\alpha}=\partial_{\alpha}\,\Psi$ . En substituant $\partial_{\alpha}\,\Psi$ à $k^{\alpha}$ dans la relation $k_{\alpha}\,k^{\alpha}=0$ , on obtient l'équation de propagation d'un rayon lumineux dans un champ de gravitation sous la forme :

$\displaystyle g_{\alpha\beta}\,\partial_{\alpha}\Psi\,\partial_{\beta}\Psi=0$

(4.25)

Cette dernière équation, appelée équation d'eikonale, est fondamentale en optique géométrique.

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