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Le principe des géodésiques postulé par Einstein s'accorde parfaitement avec la description de
l'espace-temps par un espace de Riemann. Nous avons vu qu'en relativité générale, il n'y a plus de
force de gravitation puisque c'est la courbure de l'espace-temps qui en tient lieu. Une particule
matérielle qui serait soumise uniquement à une force de gravitation doit donc être considérée comme
"libre" en relativité générale. En conséquence, on ne peut pas distinguer son mouvement de celui
d'une particule effectuant un mouvement purement inertiel.
La droite décrite par une particule libre de la mécanique classique a été généralisée par
Einstein en supposant que sous la seule action de l'inertie et de la gravitation, toute particule décrit
une géodésique de l'espace-temps riemannien.
L'étude du mouvement d'un corps de masse importante dans un champ de gravitation est difficile puisque ce
corps crée lui-même son propre champ. Par contre, une particule matérielle suffisament petite plongée
dans un champ extérieur est sans influence sur le champ de gravitation crée par d'autres masses beaucoup
plus importante ainsi que sur leur mouvement propre.
L'utilisation d'une particule de masse très faible dans un champ de gravitation simplifie donc beaucoup
l'étude des lois du mouvement. Une telle particule se trouve plongée dans un champ extérieur à
elle-même qu'elle ne modifie pas. Dans ce cas, Einstein a supposé que sa trajectoire est une
géodésique de l'espace-temps riemannien.
Ce n'est seulement que onze ans après avoir énoncé son hypothèse des géodésiques, en 1927,
qu'Einstein et Grommer ont réussi à démontrer qu'une particule qui se déplace dans un champ
extérieur, devrait décrire une géodésique de ce champ, au premier ordre. Les trajectoires des
particules dans un champ extérieur de gravitation sont donc décrites par le système différentiel
suivant :
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(4.15) |
Les symboles de Christoffel qui figurent dans ces équations doivent être déterminés en fonction des
coefficients
de la métrique (4.1) de l'espace-temps considéré.
Dans le cas de faibles vitesses des particules dans un champ de gravitation, les équations relativistes du
mouvement doivent se réduire aux équations correspondantes non relativistes. Si les vitesses sont
faibles, cela signifie que le champ de gravitation lui-même est faible sinon les particules acquerraient de
grandes vitesses. Cette circonstance permet de déterminer les composantes du tenseur métrique
dans ce cas limite.
En mécanique non relativiste, le mouvement d'une particule dans un champ de gravitation est déterminé
par la fonction de Lagrange, ou lagrangien, qui s'écrit dans un référentiel d'inertie :
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(4.16) |
La fonction est une fonction des coordonnées et du temps caractérisant le champ et est appelée
le potentiel de gravitation. Dans le cas d'une masse isolée, le potentiel à la distance
du centre de cette masse est donné par :
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(4.17) |
où est la constante de gravitation.
La fonction de Lagrange d'une particule matérielle libre a pour expression, en relativité restreinte :
. Lorsque la vitesse devient très petite vis-à-vis de , le
lagrangien tend vers la limite :
. Pour que le lagrangien non relativiste (4.16)
devienne égal à lorsque le potentiel de gravitation et la vitesse deviennent très
faibles, il faut ajouter la constante à la fonction de Lagrange ; on obtient :
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(4.18) |
Le lagrangien (4.18) peut donc être considéré comme la limite aux basses vitesses d'un
lagrangien relativiste pour une particule de masse dans un champ gravitationnel. L'action pour une
telle particule a, dans ce cas, la forme :
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(4.19) |
D'autre part, en relativité restreinte, l'action pour une particule matérielle libre est donnée par :
. Comparant cette dernière expression avec (4.19), on voit que, dans le cas limite
considéré, on a :
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(4.20) |
En élevant au carré et en négligeant les termes qui s'annulent lorsque tend vers l'infini, on
obtient :
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(4.21) |
avec
. Par conséquent, la composante du tenseur métrique est, dans le cas
limite considéré :
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(4.22) |
Pour une masse située à l'origine des coordonnées, on obtient, compte tenu de l'expression
(4.17) du potentiel de gravitation :
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(4.23) |
Les équations des géodésiques sous la forme (4.15) ne conviennent pas à la propagation des
rayons lumineux car le long de leurs lignes de propagation, l'intervalle est nul et tous les termes de
l'équation des géodésiques deviennent infinis. Pour obtenir une équation convenable pour la
lumière, utilisons le fait que la direction de propagation d'un rayon lumineux est déterminée, en
optique géométrique, par le vecteur d'onde qui est tangent au rayon.
Le quadrivecteur d'onde
peut être écrit sous la forme :
, où
est un paramètre qui varie le long du rayon lumineux. Ce paramètre est déterminé par l'équation
que l'on peut déduire du fait que, en relativité restreinte, le vecteur d'onde ne varie pas le long d'un
rayon lumineux qui se propage dans le vide, soit
. En relativité générale, on aura
, d'où :
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(4.24) |
Le paramètre est donc déterminé par ces dernières équations. D'autre part, le carré du
quadrivecteur d'onde est nul :
. Soit la phase de l'onde lumineuse, le
quadrivecteur d'onde est tel que :
. En substituant
à
dans la relation
, on obtient
l'équation de propagation d'un rayon lumineux dans un champ de gravitation sous la forme :
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(4.25) |
Cette dernière équation, appelée équation d'eikonale, est fondamentale en optique
géométrique.
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