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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Fondements de la Relativité Restreinte


 
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Fondements de la Relativité Restreinte

La relativité restreinte fut créée au début du 20$ ^{e}$ siècle en se basant sur un phénomène particulier : les ondes électromagnétiques. En cherchant l'invariance des équations de Maxwell, Lorentz et Poincaré aboutirent aux formules relativistes de passage des coordonnées d'espace et de temps entre deux référentiels en translation uniforme l'un par rapport à l'autre. Ces formules fondamentales de la relativité restreinte constituent la transformation de Lorentz-Poincaré.

De son coté, Einstein postula l'invariance de la vitesse de la lumière d'une source par rapport à tout référentiel en translation uniforme ce qui lui permit d'aboutir également à cette transformation fondamentale. Ce postulat sur la lumière est encore largement utilisé pour l'enseignement de la relativité restreinte alors qu'il pose un problème essentiel qui est complètement occulté.

La relativité restreinte impose en effet une loi universelle à tous les phénomènes physiques. Pourquoi la lumière jouerait-elle un rôle majeur dans les phénomènes qui n'ont aucun rapport avec elle ? Pourquoi les rapports fondamentaux entre l'espace et le temps dépendraient-ils a priori d'un phénomène électromagnétique particulier ?

Postulats de Poincaré-Einstein

Ce fondement électromagnétique de la relativité restreinte fut critiqué dès 1910 et divers travaux de recherche réalisés au cours du 20$ ^{e}$ siècle montrèrent la possibilité de postulats basés uniquement sur des propriétés de l'espace et du temps. Jean-Marc Lévy-Leblond retrouva ces résultats et milita pour rénover l'enseignement des bases de la relativité restreinte. Ces nouveaux "postulats" sont les suivants :

  1. Principe de relativité : les lois des phénomènes physiques doivent être les mêmes, soit pour un observateur fixe, soit pour un observateur entraîné dans un mouvement de translation uniforme.
  2. L'espace est homogène : l'espace a les mêmes propriétés en chaque point. Autrement dit, l'espace est invariant par translation ; les origines de l'espace sont arbitraires pour l'expression des lois physiques.
  3. L'espace est isotrope : toutes les directions dans l'espace sont physiquement équivalentes. Autrement dit, après rotation dans l'espace d'un référentiel, celui-ci reste équivalent au référentiel d'origine.
  4. Le temps est homogène : le temps est identique en tout point d'un même référentiel. Toutes les horloges d'un référentiel donné doivent être strictement réglées à une même heure.
  5. Principe de causalité : tout phénomène physique peut être relié à une cause. Ce postulat est celui de l'existence même des lois de la nature.

Nous appelons postulats de Poincaré-Einstein les cinq postulats ci-dessus. On voit qu'ils ne font aucune référence à un phénomène physique particulier.

Transformation de Lorentz-Poincaré

Partant des postulats de Poincaré-Einstein, le problème est d'établir des relations entre les coordonnées de deux systèmes de référence en translation à vitesse constante l'un par rapport à l'autre. Pour cela, considérons les deux référentiels schématisés sur la figure 1.1.

Figure 1.1
\includegraphics[width=130mm height=50mm]{fig1.eps}

Les deux référentiels R et R' ont respectivement pour coordonnées spatiales $ x,y,z$ et $ x',y',z'$ et pour coordonnée temporelle $ t$ et $ t'$. Le référentiel R' se déplace par rapport à R à la vitesse constante $ V$ le long d'un axe $ Ox$ ; c'est un référentiel d'intertie. On suppose que le point $ O'$ de R' est passé au temps $ t=0$ au point $ O$.

Les relations entre les coordonnées d'espace et de temps des référentiels R et R' sont obtenus en utilisant les postulats de la relativité restreinte énoncés ci-dessus. Leur démonstration aboutit à la mise en évidence d'une vitesse limite lors de l'addition des vitesses de plusieurs référentiels. Cette vitesse limite est appelée constante de structure de l'espace-temps. Elle est identifiée à la plus grande vitesse mesurée qui est celle de la vitesse de la lumière dans le vide, notée $ c$.

Finalement, le principe de relativité est vérifiée par les lois physiques si l'on effectue la transformation suivante, appelée transformation spéciale de Lorentz-Poincaré :

$\displaystyle x'=\gamma(V)\,(x-V\,t)\,\,\,;\,\,\,y'=y\,\,\,;\,\,\,z'=z\,\,\,;\,\,\,t'=\gamma(V)\,(t-V\,x/c^{2})$ (1.1)

avec :

$\displaystyle \gamma(V)=(1-V^{2}/c^{2})^{-1/2}$ (1.2)

Cette transformation se généralise pour des référentiels ayant des vitesses relatives uniformes dans une direction quelconque. Les formules correspondantes constituent la transformation de Lorentz-Poincaré.

Formule de composition des vitesses

Considérons un troisième référentiel R" qui est en translation uniforme par rapport à R' à la vitesse $ U$. La vitesse de R" par rapport au référentiel R, notée $ W$, est donnée par :

$\displaystyle W=(V+U)(1+V\,U/c^{2})$ (1.3)

Cette loi de composition des vitesses montre que si l'une des vitesses $ V$ ou $ U$ est égale à $ c$, la vitesse résultante $ W$ est toujours égale à $ c$. La constante de structure de l'espace-temps apparaît comme une vitesse que l'on ne peut pas dépasser.

Remarquons que la loi relativiste de composition des vitesses s'identifie à la loi galiléenne de la mécanique classique pour de faibles vitesses $ V$ et $ U$ par rapport à $ c$. Cette nouvelle loi montre que la mécanique newtonienne doit être généralisée.

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