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Voyons comment le principe d'équivalence entre champ de gravitation et champ d'accélération peut
s'appliquer dans l'espace-temps riemannien. Dans ce but, nous allons voir que, en chaque point d'un espace de
Riemann, on peut définir un espace euclidien tangent ou, en d'autres termes, qu'on peut douer
l'espace riemannien d'une métrique euclidienne en chacun de ses points. C'est la généralisation d'un
plan tangent en chaque point d'une surface sphérique.
L'espace-temps riemannien est muni de la métrique (4.1), à savoir :
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(4.10) |
Soit un point de de coordonnées
. On appelle métrique euclidienne
tangente au point à la métrique (4.10), la métrique définie par un élément
linéaire euclidien :
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(4.11) |
construit avec les mêmes coordonnées
et tel que pour
, on ait :
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(4.12) |
La manière la plus simple de trouver une métrique euclidienne répondant à cette définition est de
choisir des coefficients de l'élément linéaire (4.11) constants, à savoir :
. Dans ce cas, on est certain que la métrique est euclidienne ;
en choisissant un changement convenable des coordonnées, on obtient une métrique où les coefficients de
l'élément linéaire sont tous égaux à
.
Pour que la notion de métrique tangente soit indépendante du système de coordonnées, on est amené
à faire une convention supplémentaire sur les coefficients
de la métrique d'un espace
de Riemann.
À cet effet, considérons un changement de système de coordonnées, en faisant passer des
à de nouvelles coordonnées
. Les composantes du tenseur métrique de l'espace euclidien
tangent sont égaux à
dans le système
et à
dans le système
. Les formules générales
de transformation des composantes covariantes d'un tenseur lors d'un changement de coordonnées nous donnent
les relations :
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(4.13) |
Pour que la notion de métrique tangente euclidienne soit indépendante du système de coordonnées
utilisées, il faut et il suffit que les relations (4.13) soient vérifiées. On est donc amené
à faire la convention suivante : dans tout changement de coordonnées, les coefficients
de la métrique d'un espace de Riemann se transforment selon la loi :
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(4.14) |
Avec une telle convention, la notion de métrique tangente euclidienne acquiert un caractère
intrinsèque, indépendant du système de coordonnées.
La métrique tangente euclidienne en un point définit un espace euclidien qu'on appelle l'espace euclidien tangent en à l'espace de Riemann considéré. En fait, il existe une
infinité de métriques euclidiennes tangentes en un point donné et par conséquent une infinité
d'espaces euclidiens tangents en . Cependant, comme on utilisera seulement par la suite uniquement les
propriétés communes à tous les espaces euclidiens, on peut parler sans inconvénient de l'espace
euclidien tangent en un point.
L'existence d'un tel espace euclidien tangent permet de le choisir en tant que système de référence
localement inertiel. En conséquence, ce système de référence exclut tout champ de gravitation dans le
volume infiniment petit de l'espace-temps donné. La possibilité d'un tel choix de référentiel est
précisément l'expression du principe d'équivalence de la relativité générale.
En effet, selon ce principe, tout champ de gravitation homogène et uniforme peut être annulé à
l'aide d'un choix judicieux de coordonnées. D'autre part, dans le cas d'un champ de gravitation ni
homogène ni uniforme, il existe toujours une échelle de temps et de distance telles qu'il peut être
approximativement considéré comme homogène et uniforme. Il est alors possible d'annuler très
localement dans le temps et l'espace les effets de gravitation.
Dans un système de référence localement inertiel, les lois de la physique sont les lois relativistes
dans l'espace-temps de Poincaré-Minkowski. Pour déterminer ces lois dans l'espace-temps
de la relativité générale, il sera très souvent possible de le faire en partant des lois de la relativité
restreinte. Pour cela, les indices relatifs aux coordonnées rectilignes de l'espace-temps sont
conservés mais ces coordonnées peuvent être remplacées dans par n'importe quel autre
système. D'autre part, les dérivées classiques
seront remplacées par des
dérivées covariantes
. C'est ce que nous avons déjà vu, par exemple, pour
l'équation de conservation de l'électricité (2.43) écrite en coordonnées rectilignes réduites :
, et qui se transforme en
en coordonnées
curvilignes quelconques.
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