Principe d'équivalence

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Principe d'équivalence

Voyons comment le principe d'équivalence entre champ de gravitation et champ d'accélération peut s'appliquer dans l'espace-temps riemannien. Dans ce but, nous allons voir que, en chaque point d'un espace de Riemann, on peut définir un espace euclidien tangent ou, en d'autres termes, qu'on peut douer l'espace riemannien d'une métrique euclidienne en chacun de ses points. C'est la généralisation d'un plan tangent en chaque point d'une surface sphérique.

Métrique euclidienne tangente

L'espace-temps riemannien $V_{4}$ est muni de la métrique (4.1), à savoir :

$\displaystyle ds^{2}=g_{\alpha\beta}\,dx^{\alpha}\,dx^{\beta}$

(4.10)

Soit $M_{0}$ un point de $V_{4}$ de coordonnées $(x^{\alpha})_{0}$ . On appelle métrique euclidienne tangente au point $M_{0}$ à la métrique (4.10), la métrique définie par un élément linéaire euclidien :

$\displaystyle ds^{2}=\gamma_{\alpha\beta}\,dx^{\alpha}\,dx^{\beta}$

(4.11)

construit avec les mêmes coordonnées $x^{\alpha}$ et tel que pour $(x^{\alpha})_{0}$ , on ait :

$\displaystyle (\gamma_{\alpha\beta})_{0}=(g_{\alpha\beta})_{0}$

(4.12)

La manière la plus simple de trouver une métrique euclidienne répondant à cette définition est de choisir des coefficients de l'élément linéaire (4.11) constants, à savoir : $\gamma_{\alpha\beta}=(g_{\alpha\beta})_{0}$ . Dans ce cas, on est certain que la métrique est euclidienne ; en choisissant un changement convenable des coordonnées, on obtient une métrique où les coefficients de l'élément linéaire sont tous égaux à $\delta_{ik}$ .

Pour que la notion de métrique tangente soit indépendante du système de coordonnées, on est amené à faire une convention supplémentaire sur les coefficients $g_{\alpha\beta}$ de la métrique d'un espace de Riemann.

À cet effet, considérons un changement de système de coordonnées, en faisant passer des $x^{\alpha}$ à de nouvelles coordonnées $x^{\alpha'}$ . Les composantes du tenseur métrique de l'espace euclidien tangent sont égaux à $\gamma_{\alpha\beta}=(g_{\alpha\beta})_{0}$ dans le système $x^{\alpha}$ et à $\gamma_{\alpha'\beta'}=(g_{\alpha'\beta'})_{0}$ dans le système $x^{\alpha'}$ . Les formules générales de transformation des composantes covariantes d'un tenseur lors d'un changement de coordonnées nous donnent les relations :

$\displaystyle \gamma_{\alpha\beta}=(g_{\alpha\beta})_{0}=(\partial_{\alpha}\,x^{\mu'})_{0}\,(\partial_{\beta}\,x^{\nu'})_{0}\,(g_{\mu'\nu'})_{0}$

(4.13)

Pour que la notion de métrique tangente euclidienne soit indépendante du système de coordonnées utilisées, il faut et il suffit que les relations (4.13) soient vérifiées. On est donc amené à faire la convention suivante : dans tout changement de coordonnées, les coefficients $g_{\alpha\beta}$ de la métrique d'un espace de Riemann se transforment selon la loi :

$\displaystyle \gamma_{\alpha\beta}==\partial_{\alpha}\,x^{\mu'}\,\partial_{\beta}\,x^{\nu'}\,g_{\mu'\nu'}$

(4.14)

Avec une telle convention, la notion de métrique tangente euclidienne acquiert un caractère intrinsèque, indépendant du système de coordonnées.

Système inertiel local

La métrique tangente euclidienne en un point $M_{0}$ définit un espace euclidien qu'on appelle l'espace euclidien tangent en $M_{0}$ à l'espace de Riemann considéré. En fait, il existe une infinité de métriques euclidiennes tangentes en un point donné et par conséquent une infinité d'espaces euclidiens tangents en $M_{0}$ . Cependant, comme on utilisera seulement par la suite uniquement les propriétés communes à tous les espaces euclidiens, on peut parler sans inconvénient de l'espace euclidien tangent en un point.

L'existence d'un tel espace euclidien tangent permet de le choisir en tant que système de référence localement inertiel. En conséquence, ce système de référence exclut tout champ de gravitation dans le volume infiniment petit de l'espace-temps donné. La possibilité d'un tel choix de référentiel est précisément l'expression du principe d'équivalence de la relativité générale.

En effet, selon ce principe, tout champ de gravitation homogène et uniforme peut être annulé à l'aide d'un choix judicieux de coordonnées. D'autre part, dans le cas d'un champ de gravitation ni homogène ni uniforme, il existe toujours une échelle de temps et de distance telles qu'il peut être approximativement considéré comme homogène et uniforme. Il est alors possible d'annuler très localement dans le temps et l'espace les effets de gravitation.

Dans un système de référence localement inertiel, les lois de la physique sont les lois relativistes dans l'espace-temps $E_{4}$ de Poincaré-Minkowski. Pour déterminer ces lois dans l'espace-temps $V_{4}$ de la relativité générale, il sera très souvent possible de le faire en partant des lois de la relativité restreinte. Pour cela, les indices relatifs aux coordonnées rectilignes de l'espace-temps $E_{4}$ sont conservés mais ces coordonnées peuvent être remplacées dans $V_{4}$ par n'importe quel autre système. D'autre part, les dérivées classiques $\partial_{\alpha}$ seront remplacées par des dérivées covariantes $\nabla_{\alpha}$ . C'est ce que nous avons déjà vu, par exemple, pour l'équation de conservation de l'électricité (2.43) écrite en coordonnées rectilignes réduites : $\partial_{\alpha}\,J^{\alpha}=0$ , et qui se transforme en $\nabla_{\alpha}\,J^{\alpha}=0$ en coordonnées curvilignes quelconques.

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