Espace-temps à courbure riemannienne

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Espace-temps à courbure riemannienne

Le cadre chronogéométrique de la relativité générale postulé par Einstein est un espace de Riemann à quatre dimensions dont les grandeurs physiques sont décrites par des tenseurs. Les conventions déjà utilisées pour les notations indicielles des tenseurs de la relativité restreinte sont toujours les mêmes : les indices grecs varient de 0 à 3 et les indices latins de 1 à 3.

La variété espace-temps $V_{4}$

L'élément primitif de la relativité générale est constitué par une variété espace-temps $V_{4}$ à quatre dimensions sur laquelle est définie une métrique riemannienne $ds^{2}$ . L'expression locale de cette métrique dans un système de coordonnées $x^{\mu}$ est :

$\displaystyle ds^{2}=g_{\alpha\beta}(x^{\mu})\,dx^{\alpha}\,dx^{\beta}$

(4.1)

Les coefficients $g_{\alpha\beta}$ sont les composantes du tenseur métrique ; ce sont des fonctions des coordonnées $x^{\mu}$ . Les $g_{\alpha\beta}$ sont appelés les potentiels de gravitation puisque tout champ de gravitation n'est pas autre chose qu'une modification de l'espace-temps et qu'il est donc déterminé par les coefficients $g_{\alpha\beta}$ . Par suite des symétries : $g_{\alpha\beta}=g_{\beta\alpha}$ , les potentiels de gravitation sont au nombres de dix.

L'expression définie par (4.1) est dite intervalle élémentaire dans la variété $V_{4}$ . En particulier, l'équation $ds^{2}=0$ définit, en chaque point de la variété, un hypercône élémentaire, lieu des directions spatiotemporelles dans lesquelles se propage la lumière à partir de ce point.

Le problème fondamental de la relativité générale consiste à déterminer les potentiels de gravitation correspondant aux différents systèmes physiques considérés.

Métrique spatiale non euclidienne

La métrique riemannienne de l'espace-temps entraîne le changement de la métrique proprement spatiale. Dans un champ de gravitation, la géométrie de l'espace devient non euclidienne. Ceci concerne aussi bien les champs gravitationnels dus à la matière-énergie pour lesquels l'espace-temps a une certaine courbure que les champs qui doivent leur existence à des référentiels non inertiels conservant l'espace-temps plat.

Dans le cas d'un champ de gravitation variable, non seulement la métrique de l'espace n'est pas euclidienne, mais elle varie avec le temps. Cela signifie que les rapports entre les diverses distances géométriques sont variables.

Par conséquent, l'immobilité relative d'un ensemble de corps est généralement impossible en relativité générale. La notion même de système de référence en relativité générale va donc essentiellement changer par rapport au sens qu'il avait en relativité restreinte. Dans cette dernière, un référentiel inertiel est considéré comme formé par un ensemble de corps au repos les uns par rapport aux autres. Dans un champ gravitationnel variable, il n'existe pas de tels ensembles de corps. C'est donc un système de coordonnées de Gauss qui joue le rôle d'un référentiel de l'espace-temps riemannien.

Temps propre

Notons $x^{0}$ la coordonnée temporelle et $x^{1}$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ les coordonnées spatiales d'un système de référence arbitraire. Comment peut-on déterminer le temps propre, noté $\tau$ en un point donné de l'espace en fonction de la coordonnée temporelle $x^{0}$ ? À cet effet, considérons deux évènements infiniment voisins qui ont lieu en un seul et même point de l'espace. Dans ce cas, l'intervalle élémentaire entre ces deux évènements est égal à $c\,d\tau$ , où $d\tau$ est la durée de temps propre entre les deux évènements. Puisque, par hypothèse : $dx^{1}=dx^{2}=dx^{3}=0$ , l'expression de la métrique (4.1) se réduit à :

$\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,d\tau^{2}=g_{00}\,(dx^{0})^{2}$

(4.2)

Le laps de temps propre entre deux évènements infiniment voisins est donc :

$\displaystyle d\tau=\dfrac{1}{c}\,\sqrt{g_{00}}\,dx^{0}$

(4.3)

La relation précédente permet d'obtenir la durée propre entre deux évènements quelconques qui ont lieu en un seul et même point de l'espace :

$\displaystyle \tau=\dfrac{1}{c}\,\int\,\sqrt{g_{00}}\,dx^{0}$

(4.4)

Remarquons la différence qui existe entre la coordonnée $x^{0}$ qui ne sert qu'au repérage des points de l'espace-temps et la mesure du temps propre en un point.

Élément de distance spatiale

Déterminons l'expression de l'élément de distance spatiale de l'espace-temps riemannien. En relativité restreinte, l'élément infinitésimal est défini comme étant la distance spatiale entre deux évènements ayant lieu au même instant. En relativité générale, on ne peut déterminer en écrivant simplement $dx^{0}=0$ dans l'intervalle élémentaire . Cela tient au fait que le temps propre en différents points de l'espace est diversement lié à la coordonnée temporelle $x^{0}$ .

Afin de calculer , considérons un signal lumineux émis d'un point $P_{1}$ de l'espace de coordonnées $x^{\alpha}+dx^{\alpha}$ , et se dirigeant vers le point infiniment voisin $P_{2}$ de coordonnées $x^{\alpha}$ . Supposons que ce signal soit réfléchi instantanément au point $P_{2}$ , en sens inverse. Le temps nécessaire, mesuré du point d'émission $P_{1}$ , est égal au double de la distance entre les deux points divisé par la vitesse .

L'intervalle élémentaire du parcours du signal lumineux entre les deux points est nul. Écrivons le $ds^{2}$ de ce parcours en mettant en évidence la coordonnée temporelle et les coordonnées spatiales ; on a :

$\displaystyle ds^{2}=g_{00}\,dx^{0}\,dx^{0}+2\,g_{0i}\,dx^{0}\,dx^{i}+g_{ik}\,dx^{i}\,dx^{k}=0$

(4.5)

La sommation sur les lettres latines s'effectue de 1 à 3. La résolution de l'équation du second degré (4.5) relativement à $dx^{0}$ donne deux racines :

$\displaystyle dx^{0}_{(1)}=-\dfrac{1}{g_{00}}\,\bigg(g_{0i}\,dx^{i}-\sqrt{(g_{0i}\,g_{0k}-g_{ik}\,g_{00})\,dx^{i}\,dx^{k}}\bigg)$

(4.6)

$\displaystyle dx^{0}_{(2)}=-\dfrac{1}{g_{00}}\,\bigg(g_{0i}\,dx^{i}+\sqrt{(g_{0i}\,g_{0k}-g_{ik}\,g_{00})\,dx^{i}\,dx^{k}}\bigg)$

(4.7)

Ces deux racines correspondent respectivement à la propagation du signal lumineux dans une direction puis dans l'autre entre les deux points $P_{1}$ et $P_{2}$ . Soit $x^{0}$ l'instant d'arrivée du signal au point $P_{2}$ , alors les instants de son départ de $P_{1}$ et de son retour en $P_{1}$ sont respectivement $x^{0}+dx^{0}_{(2)}$ et $x^{0}+dx^{0}_{(1)}$ . Le laps de temps total entre l'émission et le retour du signal au même point $P_{1}$ est alors donné par :

$\displaystyle dx^{0}_{(1)}-dx^{0}_{(2)}=\dfrac{2}{g_{00}}\,\sqrt{(g_{0i}\,g_{0k}-g_{ik}\,g_{00})\,dx^{i}\,dx^{k}}$

(4.8)

On obtient la durée entre l'émission et l'arrivée du signal au même point exprimée en fonction de la coordonnée de repérage temporelle $x^{0}$ dans l'espace-temps. Pour obtenir le laps de temps propre entre les deux évènements, il faut, selon (4.3), multiplier (4.8) par $(1/c)\,\sqrt{g_{00}}$ . De plus, la distance séparant les deux points est obtenue en multipliant ce laps de temps propre par . On obtient finalement :

$\displaystyle dl^{2}=\bigg(\dfrac{g_{0i}\,g_{0k}}{g_{00}}-g_{ik}\bigg)\,dx^{i}\,dx^{k}$

(4.9)

Les quantités entre parenthèses dans l'expression (4.9) sont les composantes du tenseur métrique tridimensionnel qui détermine les propriétés géométriques de l'espace. Les composantes $g_{ik}$ dépendent, en général, de la coordonnée $x^{0}$ , de sorte que la métrique spatiale varie avec le temps. La notion de distance entre deux corps n'est généralement valable que localement, l'intégration de sur une courbe spatiale n'ayant un sens que lorsque les $g_{ik}$ sont indépendants du temps.

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