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Sciences > Idées de base de la relativité générale - Exercices


 
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Sous-sections

Exercices

Géométrie à bord d'un disque tournant

La relativité restreinte ne s'applique pas, en principe, au disque tournant, puisqu'il ne constitue pas un système d'inertie. On peut cependant étendre cette théorie en considérant un disque tournant S où les instruments de mesure sont affectés par la force centrifuge. Cependant, les valeurs des étalons de longueur et de temps par rapport à S seront définies en supposant que toutes les corrections que nécessitent les forces propres aux systèmes accélérés ont été effectuées. Cela revient à postuler qu'après correction des effets propres aux accélérations, les règles liées au disque tournant sont uniquement soumises à une contraction de Lorentz.

Soit S$ _{0}$ un système galiléen par rapport auquel le disque S est animé d'une vitesse de rotation $ \omega$. Choisissons un système de coordonnées polaires $ (r, \theta)$. La distance entre deux points infiniment voisins $ (r, \theta)$ et $ (r+dr, \theta+d\theta)$ du système S, mesuré à l'aide de l'étalon de longueur du système S$ _{0}$ est toujours :

$\displaystyle d\sigma^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta^{2}$ (3.7)

pour un observateur de S$ _{0}$.

Pour un tel observateur, l'étalon de longueur $ dl$ de S placé dans une direction radiale quelconque aura une longueur unité puisqu'il n'est pas animé d'une quelconque vitesse de translation dans le sens de sa longueur. Par contre, si cet étalon de longueur est dirigé selon une perpendiculaire au rayon du disque, en un point situé à une distance $ r$ du centre de rotation, cet étalon possède une vitesse dans le sens de sa longueur : $ v=r\,\omega$ et subit une contraction de longueur.

  1. Déterminer, pour un observateur de S$ _{0}$, l'expression de la distance entre les deux points $ (r, \theta)$ et $ (r+dr, \theta+d\theta)$, mesurée avec les étalons de longueur liés au système accéléré S.

  2. Comparer la circonférence d'un cercle de rayon $ r$ mesurée dans S$ _{0}$ avec celle du même cercle mesurée dans S.

  3. Faire de même pour la surface de ce cercle. Que peut-on en déduire quant à la géométrie naturelle du disque ?

  4. Déterminer les composantes du tenseur métrique du disque tournant S.

  5. Calculer les symboles de Christoffel de deuxième espèce de cette métrique.

  6. Calculer les équations des géodésiques du disque tournant.

Correction

  1. Lorsqu'il est placé perpendiculairement au rayon du disque, l'étalon de longueur $ dl$ de S subit une contraction qui pour S$ _{0}$, ramène sa longueur au repos $ dl_{0}$ à la valeur :

    $\displaystyle dl_{0}=dl\,\sqrt{1-\dfrac{\omega^{2}\,r^{2}}{c^{2}}}$ (3.8)

    Pour un observateur de S$ _{0}$, la distance entre deux points $ (r, \theta)$ et $ (r+dr, \theta+d\theta)$ mesurée avec les étalons de longueur liés au système accéléré S, devient :

    $\displaystyle d\sigma^{2}=dr^{2}+\dfrac{r^{2}\,d\theta^{2}}{1-\dfrac{\omega^{2}\,r^{2}}{c^{2}}}$ (3.9)

  2. Mesurée avec les étalons de S$ _{0}$, une circonférence de rayon $ r$ a la longueur :

    $\displaystyle s_{0}=r\,\int_{0}^{2\pi}\,d\theta=2\pi\,r$ (3.10)

    Lorsque les mesures sont effectuées à l'aide des étalons liés au disque tournant, on obtient la longueur de la circonférence en effectuant la sommation sur les $ d\sigma$ donnés par (3.9) avec $ r$=constante :

    $\displaystyle s=\int\,\dfrac{r\,d\theta}{\sqrt{1-\dfrac{\omega^{2}\,r^{2}}{c^{2...
...\int_{0}^{2\pi}d\theta=\dfrac{s_{0}}{\sqrt{1-\dfrac{\omega^{2}\,r^{2}}{c^{2}}}}$ (3.11)

    La longueur de la circonférence d'un cercle dans S est telle que $ s>s_{0}$.

  3. La superficie du cercle de rayon $ r$ est donnée par :

    $\displaystyle S_{T}=\int_{0}^{2\pi}\,\int_{0}^{r}\,\dfrac{r\,d\theta}{\sqrt{1-\...
...2\pi\,c^{2}}{\omega^{2}}\bigg(1-\sqrt{1-\dfrac{\omega^{2}\,r^{2}}{c^{2}}}\bigg)$ (3.12)

    La superficie $ S_{T}$ d'un cercle de rayon $ r$ du disque tournant est supérieure à celle mesurée par un observateur de S$ _{0}$.

    Ces mesures sont réalisées avec des étalons liés au disque tournant. Or ces étalons sont des étalons naturels que choisirait un observateur de S, la géométrie édifiée à l'aide de son propre système de mesure n'est pas une géométrie euclidienne.

  4. La géométrie de S a pour élément linéaire :

    $\displaystyle d\sigma^{2}=g_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j}\,\,\,;\,\,\,i,j=1,2$ (3.13)

    Numérotons les coordonnées: $ r=y^{1}, \theta=y^{2}$. La métrique (3.13) nous donne :

    $\displaystyle g_{11}=1\,\,\,;\,\,\,g_{22}=\dfrac{r^{2}}{1-\dfrac{r^{2}\,\omega^{2}}{c^{2}}}\,\,\,;\,\,\,g_{12}=g_{21}=0$ (3.14)

  5. Les symboles de Christoffel se calculent en utilisant la formule suivante :

    $\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{j}$$^{}_{i}$}=\dfrac{1}{2}\,g^{jl}\,(\partial_{k}\,g_{il}+\partial_{i}\,g_{lk}-\partial_{l}\,g_{ki})$ (3.15)

    Dans le cas présent, les indices $ i$, $ j$, $ k$, $ l$, prennent les valeurs 1 et 2. Il faut d'abord calculer les composantes contravariantes du tenseur métrique. On note $ g$ le déterminant de la matrice des composantes du tenseur métrique. On a :

    $\displaystyle g=\dfrac{r^{2}}{1-\dfrac{r^{2}\,\omega^{2}}{c^{2}}}$ (3.16)

    Les compossantes covariantes du tenseur métrique ont pour valeurs d'après :

    $\displaystyle g_{ik}\,g^{kj}=\delta_{ij}$ (3.17)

    Puisque la matrice [$ g_{ij}$] est diagonale, on en déduit :

    $\displaystyle g^{11}=\dfrac{1}{g}\,g_{11}=1\,\,;\,\,g^{22}=\dfrac{1}{g}\,g_{22}=\dfrac{1-\dfrac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}}{r^{2}}\,\,;\,\,g^{12}=g^{21}=0$ (3.18)

    Par conséquent, les valeurs non nulles des symboles de Christoffel de deuxième espèce sont les suivantes :

    $\displaystyle \textrm{$\Gamma^{}_{2}$$^{}_{}$$^{1}$$^{}_{2}$}=-\dfrac{1}{2}\,g^...
...\partial_{1}\,g_{22}=\dfrac{1}{r\,\bigg(1-\dfrac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}\bigg)}$ (3.19)

  6. Les géodésiques du système S représentent les plus courts chemins d'un point à un autre. Elles sont données par l'équation suivante :

    $\displaystyle \dfrac{d^{2}u^{i}}{ds^{2}}+\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{j}$}\,\dfrac{du^{k}}{ds}\,\dfrac{du^{j}}{ds}=0\,\,\,;\,\,\,i,j,k=1,2$ (3.20)

    Pour $ i=1$, on obtient selon les formules (3.19) et (3.20) :

    $\displaystyle \dfrac{d^{2}r}{ds^{2}}-\dfrac{r}{\bigg(1-\dfrac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}\bigg)^{2}}\,\bigg(\dfrac{d\theta}{ds}\bigg)^{2}=0$ (3.21)

    Pour $ i=2$, on a :

    $\displaystyle \dfrac{d^{2}\theta}{ds^{2}}+\dfrac{2}{r\,\bigg(1-\dfrac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}\bigg)}\,\dfrac{dr}{ds}\,\dfrac{d\theta}{ds}=0$ (3.22)

    L'équation (3.22) s'écrit :

    $\displaystyle \dfrac{d}{ds}\bigg(\dfrac{r^{2}}{1-\dfrac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}}\,\dfrac{d\theta}{ds}\bigg)=0$ (3.23)

    Cette dernière équation s'intègre sous la forme :

    $\displaystyle \dfrac{r^{2}}{1-\dfrac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}}\,\dfrac{d\theta}{ds}=K$ (3.24)

    L'équation (3.9) peut être mise sous la forme suivante dans laquelle on reporte l'expression  (3.24) ; il vient en prenant $ d\sigma=ds$ :

    $\displaystyle \bigg(\dfrac{dr}{d\sigma}\bigg)^{2}=1-\dfrac{r^{2}}{1-\dfrac{r^{2...
...\bigg)^{2}=1-\dfrac{K^{2}}{r^{2}}\,\bigg(1-\dfrac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}\bigg)$ (3.25)

    d'où :

    $\displaystyle \dfrac{dr}{d\theta}\,\dfrac{d\theta}{d\sigma}=\dfrac{dr}{d\theta}...
...=\pm\sqrt{1-\dfrac{K^{2}}{r^{2}}\,\bigg(1-\dfrac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}\bigg)}$ (3.26)

    Lorsque $ K=0$, on a :

    $\displaystyle \dfrac{dr}{d\sigma}=1\,\,\,;\,\,\,\dfrac{d\theta}{d\sigma}=0$ (3.27)

    Les courbes $ \theta=$cste, c'est-à-dire les rayons du disque, sont les géodésiques de S. Lorsque K est différent de zéro, l'équation différentielle des géodésiques s'écrira :

    $\displaystyle \dfrac{dr}{d\theta}=\pm\dfrac{1}{K}\,\dfrac{r^{2}}{1-\dfrac{r^{2}\omega^{2}}{c^{2}}}\,\sqrt{1+\dfrac{K^{2}\omega^{2}}{c^{2}}-\dfrac{K^{2}}{r^{2}}}$ (3.28)

    L'intégration de cette équation différentielle s'obtient en effectuant un changement de variable :

    $\displaystyle \rho=\dfrac{r}{K}\,\sqrt{1+\dfrac{K^{2}\omega^{2}}{c^{2}}}$ (3.29)

    En choisissant l'origine afin que $ \theta_{0}=0$, on obtient pour solution de (3.28) :

    $\displaystyle \theta=\pm\,$arcos$\displaystyle \dfrac{a}{\rho}\,\pm\,\dfrac{a\omega^{2}}{c^{2}}\,\sqrt{r^{2}-a^{2}}$ (3.30)

    avec :

    $\displaystyle a=\dfrac{K}{\sqrt{1+\dfrac{K^{2}\omega^{2}}{c^{2}}}}$ (3.31)

    Les géodésiques sont des courbes définies par (3.30) lorsque K est différent de zéro. En particulier, on peut former un triangle curviligne à partir de trois géodésiques et montrer que la somme des angles d'un tel triangle est comprise entre zéro et $ \pi$.

Décalage spectral gravitationnel

Nous avons vu que la mécanique classique permet, selon Richard Feynman, d'interpréter le décalage gravitationnel d'un phénomène lumineux. En considérant la lumière sous l'aspect quantique, nous allons voir qu'on retrouve le même phénomène de décalage vers le rouge ou le bleu.

  1. Un photon est émis à l'altitude $ z_{0}$ avec une fréquence $ \nu_{0}$ dans le champ gravitationnel d'une étoile. En utilisant l'équivalence relativiste entre masse et énergie, déterminer la "masse" du photon émis.

  2. Le photon atteint l'altitude $ z_{1}>z_{0}$. Soit $ M$ la masse de l'étoile, $ R$ son rayon, $ G$ sa constante de gravitation. Calculer l'énergie du photon à l'altitude $ z_{1}$ où le photon est observé.

  3. Déterminer la fréquence $ \nu$ du photon à l'altitude $ z_{1}$ en supposant que la variation d'altitude est très faible devant $ R$.

  4. En déduire la variation de fréquence $ \Delta\nu$. Déterminer le décalage spectral défini par $ Z=\Delta\nu/\nu$.

Correction

  1. L'énergie quantique d'un photon de fréquence $ \nu_{0}$ est : $ E_{0}=h\,\nu_{0}$. D'autre part, l'équivalence entre la masse et l'énergie d'une particule est donnée par : $ E_{0}=m\,c^{2}$. On obtient ainsi la "masse" du photon :

    $\displaystyle m=\dfrac{h\,\nu_{0}}{c^{2}}$ (3.32)

    Bien entendu, le photon n'a pas de masse mais on peut considérer que l'influence de la gravitation sur le photon a la même conséquence que s'il possédait une certaine "masse" donnée par (3.32).

  2. Pour atteindre l'altitude $ z_{1}$, le photon doit dépenser contre la gravitation une certaine énergie $ \Delta E$. Notons $ \Delta U$ la variation du potentiel de gravitation entre les points d'émission et le point d'observation du photon ; on a :

    $\displaystyle \Delta E=m\,\Delta U$ (3.33)

    Déterminons la variation $ \Delta U$ de potentiel gravitationnel en fonction des paramètres de l'étoile :

    $\displaystyle \Delta U=\dfrac{GM}{R+z_{0}}-\dfrac{GM}{R+z_{1}}$ (3.34)

    L'énergie du photon à l'altitude $ z_{1}$ est donnée par :

    $\displaystyle E=E_{0}-m\Delta U=E_{0}-m\bigg(\dfrac{GM}{R+z_{0}}-\dfrac{GM}{R+z_{1}}\bigg)$ (3.35)

  3. Pour de faibles variations d'altitude, le potentiel gravitationnel varie de :

    $\displaystyle \Delta U=\dfrac{GM}{R+z_{0}}-\dfrac{GM}{R+z_{1}}=-\dfrac{GM}{R^{2}}\,(z_{1}-z_{0})$ (3.36)

    La fréquence $ \nu$ du photon à l'altitude $ z_{1}$ est telle que : $ E=h\,\nu$. Les relations  (3.35) et (3.36) nous donnent :

    $\displaystyle \nu=\nu_{0}-\dfrac{m\,\vert\Delta U\vert}{h}=\nu_{0}-\dfrac{m\,GM}{R^{2}\,h}\,(z_{1}-z_{0})$ (0.2)

  4. La variation de fréquence a pour expression :

    $\displaystyle \Delta \nu=\nu_{0}-\nu=\dfrac{m\,GM}{R^{2}\,h}\,(z_{1}-z_{0})$ (3.38)

    La fréquence d'émission est supérieure à celle d'observation ; la longueur d'onde est donc inférieure ; on observe un décalage du spectre vers le rouge. Le décalage spectral $ Z$ est défini par : $ Z=\Delta\nu/\nu$. Avec $ E=m\,c^{2}$, on obtient :

    $\displaystyle Z=\dfrac{\Delta \nu}{\nu}=\dfrac{GM}{R^{2}\,c^{2}}\,(z_{1}-z_{0})$ (3.39)


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