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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - La matière-énergie déforme l'espace-temps


 
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La matière-énergie déforme l'espace-temps

Divers phénomènes physiques montrent que la géométrie de l'espace-temps ne peut être euclidienne. Ces phénomènes étant dus à la présence de matière et d'énergie dans l'espace-temps, il semble logique de penser que la géométrie elle-même est une description théorique déterminée par la matière-énergie.

Le contenu de l'espace pourrait déterminer sa métrique

La remise en cause de la géométrie euclidienne au cours du 19e siècle incita les mathématiciens à discuter des fondements de nos représentations de la nature. Bernhard Riemann (1826-1866) présenta un mémoire, Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie, dans lequel il introduisit l'idée révolutionnaire possible entre les corps matériels et l'espace :

Or, il semble que les concepts empiriques, sur lesquels sont fondées les déterminations métriques de l'étendue, le concept du corps solide et celui du rayon lumineux, cessent de substituer dans l'infiniment petit. Il est donc très légitime de supposer que les rapports métriques de l'espace dans l'infiniment petit ne sont pas conformes aux hypothèses de la Géométrie euclidienne, et c'est ce qu'il faudrait effectivement admettre, du moment où l'on obtiendrait par là une explication plus simple des phénomènes.

Ainsi, selon Riemann, le contenu de l'espace pourrait déterminer sa métrique. C'est également Riemann qui, dans ce même mémoire, introduisit le concept de variété différentielle à $ n$ dimensions, extension de la notion d'espace et dont nous nous servirons en relativité générale.

L'espace non euclidien de Poincaré

Dans son célèbre ouvrage, la science et l'hypothèse, Henri Poincaré publie ses réflexions sur les fondements des sciences. Dans sa partie consacrée à l'espace et la géométrie, il reprend l'idée de Riemann et imagine un univers dans lequel la matière induit nécessairement une géométrie non euclidienne car les lois y sont différentes de celles auxquelles nous sommes accoutumés :

Supposons, par exemple, un monde renfermé dans une grande sphère et soumis aux lois suivantes : la température n'y est pas uniforme ; elle est maxima au centre, et elle diminue à mesure qu'on s'en éloigne, pour se réduire au zéro absolu quand on atteint la sphère où ce monde est renfermé.
Je supposerai de plus que, dans ce monde, tous les corps aient même coefficient de dilatation, de telle façon que la longueur d'une règle quelconque soit proportionnelle à sa température absolue. Je supposerai enfin qu'un objet transporté d'un point à un autre, dont la température est différente, se met immédiatement en équilibre calorifique avec son nouveau milieu.

Dans un tel monde, des êtres qui étudieraient leur univers découvrirait une géométrie non euclidienne. Un tel exemple d'un monde à température variable non euclidien est souvent repris de manière plus simple en imaginant un plan dont la surface est chauffée de manière non homogène.

Chronogéométrie de l'espace-temps

Comment exprimer mathématiquement l'idée que les propriétés géométriques de l'espace-temps sont déterminées par l'existence de la matière et de l'énergie ?
Nous avons vu, par exemple, que l'expression (3.3) du $ ds^{2}$ d'un disque tournant s'écrit en fonction de la vitesse angulaire de rotation. Les $ g_{\alpha\beta}$ qui définissent la métrique de l'espace-temps dépendent du champ d'accélération.

De manière générale, les référentiels non inertiels sont équivalents à des champs de force. La forme $ ds^{2}$, donnée par (3.5), pour des systèmes de référence non inertiels, s'exprime en fonction du champ de composantes $ g_{\alpha\beta}$ du tenseur métrique. En mécanique relativiste, ces champs de force sont déterminés par les $ g_{\alpha\beta}$. Les caractéristiques géométriques de l'espace-temps s'identifient aux paramètres mécaniques d'un système non inertiel.

Par suite du principe d'équivalence entre les champs de gravitation et ceux d'accélération, il en résulte que tout champ gravitationnel est également déterminé par les quantités $ g_{\alpha\beta}$. La présence d'un champ de gravitation entraîne une modification de la métrique non euclidienne de l'espace-temps.

Ainsi se trouve fermé un triangle des équivalences entre champ de composantes du tenseur métrique, champ de gravitation et champ d'accélération. Cette triple équivalence est représentée sur la figure 3.4.

Figure 3.4
\includegraphics[width=99mm height=30mm]{fig8.eps}

La détermination des composantes $ g_{\alpha\beta}$ du tenseur métrique va être le problème central de la relativité générale. Ce tenseur détermine en effet toutes les propriétés géométriques de l'espace-temps.

Puisque le temps est l'une des dimensions de l'espace-temps, on parle plutôt de chronogéométrie de l'espace-temps.

La matière-énergie détermine la chronogéométrie de l'espace-temps

L'espace-temps n'est donc plus conçu en relativité générale comme un espace abstrait formé uniquement d'espace géométrique et de temps ainsi que c'est le cas en relativité restreinte. Ce sont les masses et l'énergie qui structurent l'espace-temps qui devient nécessairement non euclidien.

L'effet d'une masse n'est plus de créer une force gravitationnelle ainsi que cela a lieu dans la théorie de Newton. La masse modifie la chronogéométrie de l'espace-temps.

Remarquons que le changement de la métrique de l'espace-temps entraîne également le changement de la métrique proprement spatiale. À des $ g_{\alpha\beta}$ galiléens dans un espace-temps plat correspond une géométrie euclidienne de cet espace.

Par contre, dans un champ de gravitation, la géométrie de l'espace devient non euclidienne. Ceci concerne aussi bien les champs gravitationnels "réels", dans lesquels l'espace-temps est déformé, que les champs devant leur existence à un référentiel non inertiel.

Dans le cas d'un champ de gravitation variable dans le temps, non seulement la géométrie de l'espace n'est pas euclidienne mais elle varie en outre avec le temps. Autrement dit, les rapports entre les diverses distances géométriques subissent des variations dans le temps.

C'est le tenseur impulsion-énergie total $ Q^{\lambda\mu}$ qui doit être la source du champ gravitationnel. Cette hypothèse est fondée sur l'idée que la masse gravitationnelle $ m_{g}$ est égale, au facteur $ c^{2}$ près, à l'énergie totale du corps considéré, c'est-à-dire à l'intégrale sur l'espace de la densité d'énergie $ T^{00}$. Au moins l'une des composantes du tenseur impulsion-énergie doit donc jouer le rôle de source pour le champ gravitationnel. Mais comme ce dernier est décrit par les composantes de la métrique $ g_{\lambda\mu}$, il est naturel de supposer que la source de $ g_{\lambda\mu}$ doit aussi avoir dix composantes indépendantes, ce qui est précisément le cas du tenseur symétrique $ T^{\lambda\mu}$.

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