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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Principe de relativité généralisé


 
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Principe de relativité généralisé

La nécessité d'utiliser une géométrie non euclidienne pour la description de l'espace-temps va nous amener à énoncer le principe de relativité généralisé sous une forme plus exacte que celle de la partie 3.3.2.

Espace non euclidien : surface sphérique à deux dimensions

Voyons tout d'abord un exemple d'espace non euclidien. Considérons une sphère de rayon $ R$, située dans l'espace ordinaire à trois dimensions. La localisation d'un point $ M$ sur la surface de cette sphère peut être exprimée, par exemple, en fonction des coordonnées sphériques, la longitude $ \varphi$ et la colatitude $ \theta$. La sphère est entièrement décrite si $ 0\leqslant\theta<\pi$ et $ 0\leqslant\varphi<2\pi$.

Deux tels paramètres, permettant de déterminer précisément un point sur la surface de la sphère, sont appelés des coordonnées de Gauss. D'autres paramètres quelconques , $ u$ et $ v$, peuvent évidemment être choisis comme coordonnées curvilignes sur cette surface.

Le carré $ ds^{2}$ de l'élément linéaire de la surface sphérique s'écrit en fonction des coordonnées de Gauss :

$\displaystyle ds^{2}=R^{2}\,d\theta^{2}+R^{2}\,$sin$\displaystyle ^{2}\theta\,d\varphi^{2}$ (3.6)

La distance élémentaire $ ds$ de la surface sphérique s'exprime en fonction de seulement deux paramètres. Cette surface est un espace à deux dimensions. C'est un exemple d'espace de Riemann à deux dimensions.

Les propriétés géométriques des figures tracées sur une telle surface ne sont plus celles de la géométrie euclidienne. Ainsi, le plus court chemin d'un point $ A$ à un autre point $ B$, sur la surface sphérique, est constitué d'un arc de grand cercle passant par les points $ A$ et $ B$. Les arcs de grand cercle jouent le même rôle pour la sphère que les droites dans le plan. Ce sont les géodésiques de la sphère qui sont les plus courts chemins d'un point à un autre.

Coordonnées curvilignes de Gauss

L'exemple de la surface sphérique peut être étendu à une surface continue de forme quelconque. Un système de coordonnées curvilignes arbitraire peut être utilisé pour repérer chaque point d'une surface, l'essentiel étant d'utiliser des coordonnées qui varient continûment. La géométrie sur une telle surface sera, en général, non euclidienne.

Le système de coordonnées curvilignes se généralise à des espaces ayant un nombre quelconque de dimensions. Chaque point de l'espace-temps à quatre dimensions peut être ainsi repéré par quatre coordonnées. Au lieu d'employer à présent un système de référence formé par des règles rigides et des horloges, comme cela a lieu en relativité restreinte, c'est le système de coordonnées de Gauss qui va jouer le rôle de référentiel.
Le principe de relativité généralisé qui a été énoncé au cours de la partie 3.3.2 doit alors être remplacé par l'énoncé suivant :

Tous les sytèmes de coordonnées de Gauss sont en principe équivalents pour la formulation des lois générales de la nature.

Covariance des lois de la nature

Nous avons vu, en relativité restreinte, que les lois de la physique sont covariantes. Cela signifie que les équations qui expriment les lois générales de la nature se transforment en équations de même forme par application de la transformation de Lorentz-Poincaré.

Une covariance plus complexe existe pour les équations de la relativité générale. Ces équations doivent se transformer en équations de même forme lorsqu'on opère des substitutions quelconques des coordonnées curvilignes de Gauss. C'est une invariance des lois de la nature vis-à-vis de certaines transformations que les mathématiciens appellent difféomorphismes.

Un difféomorphisme est une déformation de l'espace-temps qui déplace tous les points de manière arbitraire. Cependant, les valeurs attachées aux points (fonctions, vecteurs, tenseurs, etc) doivent être transportées en même temps qu'eux. L'espace-temps de départ est ainsi transformé en un autre espace-temps, différent du premier, mais qui lui est difféomorphe.

Le principe de relativité généralisé consiste donc en cette covariance des équations de la relativité générale qui s'exprime comme l'indifférence de ses lois vis-à-vis des difféomorphismes.

Alors que la relativité restreinte affirme que les lois de la physique sont les mêmes dans une classe particulière de référentiels, la relativité générale pose un principe d'indifférence : les phénomènes ne se déroulent pas, en général, de la même façon dans des systèmes de coordonnées différents, mais aucun des systèmes de coordonnées n'a de statut privilégié par rapport aux autres.

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