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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Nécessité d'une géométrie non-euclidienne


 
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Nécessité d'une géométrie non-euclidienne

La relativité générale va être édifiée sur la base de la Relativité restreinte. Puisque cette dernière ne s'occupe que des référentiels en translation uniforme, elle ne remet pas en cause les propriétés géométriques classiques de l'espace. Ces propriétés sont celles de la géométrie dite euclidienne. Pour celle-ci, par exemple, la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés, le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle est égal à 3.14..., etc. Il n'en est plus de même lorsqu'on considère des systèmes de référence accélérés auxquels on applique les lois de la Relativité restreinte.

Systèmes de référence en rotation

Dans un système de référence d'inertie rapporté à des coordonnées galiléennes, l'intervalle $ ds$ est déterminé par la relation (1.4) :

$\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})$ (3.1)

Lorsqu'on passe à tout autre référentiel d'inertie, on sait que l'expression de l'intervalle n'est pas affectée. Mais si l'on passe à un référentiel non inertiel, l'expression de $ ds^{2}$ n'est plus alors la différence des carrés des différentielles temporelles et spatiales.

Considérons, par exemple, deux référentiels (Fig. 3.2) dont l'un R est supposé fixe, et l'autre R' tourne uniformément autour d'un axe commun $ Oz$. Un cercle dans le plan $ Oxy$ du référentiel R, centré sur $ Oz$, peut être aussi considéré comme un cercle dans le plan $ Ox'y'$ du référentiel tournant R'.

Figure 3.2
\includegraphics[width=70mm height=64mm]{fig6.eps}

Appelons $ \omega$ la vitesse de rotation angulaire, dirigée selon l'axe $ Oz$. On a les relations suivantes entre les coordonnées des deux référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre :

$\displaystyle x=x'\,$cos$\displaystyle \,\omega t-y'\,$sin$\displaystyle \,\omega t\,\,\,;\,\,\,y=x'\,$sin$\displaystyle \,\omega t+y'\,$cos$\displaystyle \,\omega t$ (3.2)

L'intervalle entre deux évènements qui ont lieu dans R' prend alors la forme :

$\displaystyle ds^{2}=[c^{2}-w^{2}\,(x'^{2}+y'^{2})]\,dt^{2}-(dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2})+2\omega\,y'\,dx'\,dt-2\omega\,x'\,dy'\,dt$ (3.3)

Quelle que soit la transformation du temps, l'expression (3.3) ne peut être réduite à la forme euclidienne (3.1). Cela signifie que la géométrie même du référentiel R', vue du référentiel R, n'est pas une géométrie euclidienne. On démontre, par exemple, que le rapport entre la circonférence d'un cercle de R' et son diamètre est différente de $ \pi$ (Exercice 3.9.1).

Décalage gravitationnel

Divers effets physiques mesurables se déduisent du principe d'équivalence. C'est le cas, par exemple, de la variation de la fréquence d'un phénomène lumineux dans un champ de gravitation. De la lumière émise par une source depuis le haut d'une boîte ayant une accélération $ g$ (Fig. 3.3) sera vue décalée vers le bleu si on l'observe depuis le bas de la boîte. Un calcul de mécanique classique met en évidence ce phénomène. C'est ce que montre Richard Feynman dans son ouvrage : Leçons sur la gravitation.

Figure 3.3
\includegraphics[width=55mm height=64mm]{fig7.eps}

Pour de faibles vitesses de la boîte, le temps nécessaire à la lumière pour parcourir la distance $ h$ qui sépare la source du récepteur vaut $ h/c$. Pendant ce laps de temps, le bas de la boîte s'est rapproché de la source avec une vitesse qui a augmenté de $ v=gh/c$. Le récepteur se déplace donc par rapport à l'émetteur de sorte que le décalage en fréquence $ \nu$ s'écrit :

$\displaystyle \nu_{\text{mesur\'ee}}=\nu_{\text{\'emise}}\,(1+v/c)=\nu_{\text{\'emise}}\,(1+gh/c^{2})$ (3.4)

Le signal reçu vers le bas de la boîte a une fréquence différente de la fréquence émise en haut. Selon le principe d'équivalence, une lumière émise dans un champ gravitationnel subira le même sort que dans un champ d'accélération. On observe un décalage des longueurs d'onde entre l'émission et la réception appelé décalage gravitationnel. Lorsque le récepteur se rapproche de la source, on obtient un décalage vers le bleu; par contre, lorsqu'il s'en éloigne, on a un décalage vers le rouge.

Il ne faut évidemment pas confondre ce décalage gravitationnel avec l'effet Doppler classique qui a lieu lorsque la source se déplace à vitesse constante. L'effet gravitationnel est beaucoup plus faible que l'effet classique. Il a été mesuré, avec une marge d'erreur assez importante, seulement à partir de 1925 lors de la découverte d'étoiles très denses où la gravitation est extrêmement intense. La première mesure précise n'a été obtenue en laboratoire qu'à partir de 1960.

La mesure du décalage d'origine gravitationnel des fréquence est d'une grande importance théorique car c'est un argument indéniable en faveur du principe d'équivalence.

Courbure des rayons lumineux

Les rayons lumineux qui passent au voisinage d'un astre très massif, comme le Soleil, sont déviés de leur trajectoire rectiligne qui se courbe légèrement. Or, la structure de l'espace-temps de Poincaré-Minkowski est déterminée par le cône de lumière qui est partout identique. Par contre, lors de la présence d'un champ de gravitation, le cône de lumière est plus ou moins déformé selon le lieu où la lumière se déplace. La métrique de l'espace-temps de la relativité restreinte est alors insuffisante pour prendre en compte cette variation spatiale. Il devient nécessaire de faire appel à un espace non euclidien pour décrire ce phénomène physique de courbure du trajet de la lumière qui, de même que le décalage gravitationnel, a été mesuré avec précision.

Systèmes de référence non inertiels

La formule (3.3) montre que pour des référentiels où règne un champ d'accélération, le carré de l'intervalle aura une forme plus compliquée qu'en considérant seulement des référentiels d'inertie. Dans un référentiel non inertiel, le carré de l'intervalle sera une forme quadratique générale des différentielles des coordonnées. Reprenons les notations (1.11) pour les coordonnées, à savoir : $ x_{0}=ct$, $ x_{1}=x$, $ x_{2}=y$, $ x_{3}=z$. Le carré de l'intervalle s'écrit sous sa forme la plus générale :

$\displaystyle ds^{2}=g_{00}\,dx_{0}^{2}+g_{01}\,dx_{0}\,dx_{1}+g_{02}\,dx_{0}\,dx_{2}+...+g_{32}\,dx_{3}\,dx_{2}+g_{33}\,dx_{3}^{2}$ (3.5)

Les seize coefficients $ g_{\alpha\beta}$ sont des fonctions de la coordonnée temporelle et des coordonnées spatiales. Lorsqu'on utilise des systèmes de référence accélérés, les coordonnées $ x_{0}$, $ x_{1}$, $ x_{2}$, $ x_{3}$ sont des coordonnées curvilignes. Les quantités $ g_{\alpha\beta}$ déterminent toutes les propriétés de la géométrie dans chaque système de coordonnées curvilignes. Elles définissent la métrique du système considéré. Les quantités $ g_{\alpha\beta}$ sont les les composantes du tenseur métrique de ce système ; étant définies en chacun des points de l'espace-temps, ces composantes forment le champ de composantes du tenseur métrique.

Les quantités $ g_{\alpha\beta}$ sont symétriques selon les indices, $ g_{\alpha\beta}=g_{\beta\alpha}$, puisqu'elles sont déterminées par la forme symétrique (3.5) où les $ g_{\alpha\beta}$ et $ g_{\beta\alpha}$ possèdent le même facteur $ dx_{\alpha}\,dx_{\beta}$. On a donc seulement 10 quantités $ g_{\alpha\beta}$ distinctes en général.

La géométrie d'un système de référence non inertiel dont la métrique est définie par  (3.5) n'est pas, en général, une géométrie euclidienne. Cette dernière n'est qu'un cas particulier des géométries possibles pour la relativité.

Dans le cas de la géométrie euclidienne, tous les systèmes de coordonnées curvilignes que l'on peut imaginer donnent un tenseur fondamental $ g_{\alpha\beta}$ qui peut être ramené par un changement approprié de coordonnées, à la forme $ g_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}$. Il n'en est plus de même pour des géométries non euclidiennes. Ainsi que nous le verrons, il n'existe qu'un seul espace euclidien, alors qu'on peut inventer une infinité d'espaces non euclidiens.

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