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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Gravitation et accélération équivalentes


 
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Gravitation et accélération équivalentes

La loi de la dynamique de Newton postule que la résultante $ F$ des forces appliquées à un corps est égale au produit de son accélération $ a$ par un coefficient appelé masse inerte ou inertielle, notée $ m_{i}$, du corps : $ F=m_{i}\,a$.

D'autre part, Newton introduisit ce que'on appelle la masse gravitationnelle, notée $ M_{g}$ ou $ m_{g}$, dans l'expression de la loi d'attraction universelle entre les corps. Cette dernière postule que le la force $ F$ qu'exerce une masse $ M_{g}$ sur une autre $ m_{g}$, est attractive et dirigée suivant la droite joignant le centre des masses, qu'elle est proportionnelle au produit des deux masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance $ r$ qui sépare ces centres : $ F=G\,M_{g}\,m_{g}/r^{2}$.

On peut considérer que ces masses gravitationnelles, encore appelées masses graves, agissent comme des sources qui engendrent la force de gravitation, ou encore comme des "charges" gravitationnelles qui s'attirent l'une l'autre.

Principe d'équivalence de Newton

La masse inerte $ m_{i}$ ainsi que la masse gravitationnelle $ m_{g}$ peuvent à priori être distinctes et varier suivant la substance du corps.

Newton postula, au contraire, que le rapport entre les masses $ m_{i}$ et $ m_{g}$ d'un même corps est indépendant de la substance dont il est constitué. Il se proposa de vérifier expérimentalement la validité de son postulat à l'aide d'expériences faites avec des pendules comportant des masses de différentes substances suspendues à des fils de même longueur. En mesurant la fréquence d'oscillations des pendules, Newton vérifia que le rapport $ m_{g}/m_{i}$ est indépendant de la substance formant la masse du pendule. Certes, la précision n'était que de l'ordre de $ 10^{-3}$ mais de nombreuses expériences ultérieures, jusqu'au cours du 20e siècle, ont permis d'atteindre une précision de $ 10^{-12}$.

Le rapport $ m_{i}/m_{g}$ est donc une constante universelle indépendante de toute substance particulière. En choisissant convenablement un système d'unités, on peut faire en sorte que $ m_{i}=m_{g}$. Le postulat de l'égalité entre les masses inertes et graves constitue le principe d'équivalence newtonien.

L'étude de la chute des corps dans le vide permet également de vérifier ce principe d'équivalence. Cette expérience classique montre que tous les corps tombent avec la même accélération $ a$ dans un champ de gravitation donné. En combinant la loi d'attraction universelle et la loi de la dynamique de Newton, on obtient pour expression de l'accélération : $ a=F/m_{i}=(G\,M_{g}/r^{2})/(m_{g}/m_{i})$. Puisque l'accélération $ a$ est une constante, le rapport $ m_{g}/m_{i}$ est identique pour tous les corps.

La loi d'attraction universelle présente donc une caractéristique fondamentale parmi les autres forces connues de la physique. En effet, l'accélération $ a$ communiquée à une masse $ m_{i}$ par une force quelconque $ F$, dépend en général de sa masse puisque : $ a=F/m_{i}$. Par contre un corps placé dans un champ de gravitation dû à une masse $ M_{g}$ acquiert une accélération indépendante de sa masse puisque $ m_{g}=m_{i}$, d'où : $ a=(G\,M_{g}/r^{2})$

Mesures dans des champs de gravitation et d'accélération

Un problème reste posé par cette identification entre masses inerte et grave. Newton n'avait fait que constater un résultat expérimental, puis l'avait posé comme postulat, mais sans donner une interprétation de l'origine d'une telle identité.

Pour comprendre cette dernière, imaginons les expériences suivantes décrites par la figure 3.1. Un masse $ m$ est suspendue à un ressort fixé dans la partie supérieure d'une boîte. Lorsque la boîte se trouve immobile sur la Terre, la masse $ m$ subit un champ de gravitation $ g$ et elle étire le resssort d'une certaine longueur $ L$. Imaginons à présent la même boîte suffisamment éloignée de la Terre pour ne plus subir d'influence gravifique, et supposons qu'elle soit soumise à une accélération de valeur $ g$. Le ressort subira également un allongement identique $ L$. Les effets d'un champ de gravitation ou d'un champ d'accélération sont les mêmes. Un observateur situé à l'intérieur de la boîte ne pourra pas savoir si l'étirement du ressort est dû à la gravitation ou à l'accélération.

Figure 3.1
\includegraphics[width=130mm height=54mm]{fig5.eps}

Dans un champ de gravitation, l'allongement du ressort est déterminé par la masse gravitationnelle $ m_{g}$ du corps. Par contre dans un champ d'accélération, ce même allongement est dû à la masse inertielle $ m_{i}$. Nous voyons apparaître l'égalité nécessaire entre la masse gravitationnelle et la masse inertielle puisque l'allongement $ L$ du ressort est identique dans les deux expériences.

Principe d'équivalence d'Einstein

C'est cette équivalence physique entre un champ de gravitation et l'accélération correspondante de la boîte, celle-ci pouvant être considérée comme un système de référence, qui constitue le principe d'équivalence d'Einstein.

Ce principe est publié par Einstein en 1907, dans un article intitulé : Le principe de la relativité et les conséquences tirés de celui-ci :

Nous considérons deux systèmes en mouvement $ S_{1}$ et $ S_{2}$. Supposons $ S_{1}$ accéléré selon l'axe des $ X$ et soit $ \gamma$ la grandeur constante dans le temps de cette accélération. On suppose $ S_{2}$ au repos mais placé dans un champ de gravitation homogène qui communique à tous les objets une accélération $ \gamma$ dans la direction des $ X$. Pour autant que nous sachions, les lois physiques par rapport à $ S_{1}$ ne diffèrent pas de celle par rapport à $ S_{2}$. Nous n'avons par conséquent, dans l'état actuel de notre expérience, aucune raison d'admettre que les systèmes $ S_{1}$ et $ S_{2}$ diffèrent l'un de l'autre sous quelque rapport que ce soit, et nous allons dans la suite faire la complète équivalence physique entre un champ de gravitation et l'accélération correspondant du système de référence.

En particulier, si la boîte située dans un champ de gravitation de la figure  3.1 est en chute libre avec une accélération $ g$, tous les corps présents dans cette boîte apparaîtront comme non accélérés par rapport à celle-ci. Donc, par rapport à un tel référentiel, le champ gravitationnel extérieur est "effacé". Les lois de la physique non gravitationnelle s'appliquent donc, dans ce référentiel local en chute libre, comme elles le faisaient dans un référentiel inertiel.

Équivalence locale entre gravitation et accélération

La formulation de l'équivalence d'Einstein a lieu pour une accélération constante et un champ de gravitation homogène. Dans ce cas, c'est tout le référentiel accéléré qui est équivalent à tout référentiel contenant le champ de gravitation.

On pourrait penser que, quel que soit le champ de gravitation, il est possible de trouver un référentiel accéléré donnant un champ d'accélération équivalent. Ce n'est pas vrai en général ; c'est le cas, par exemple, du champ de gravitation de notre planète. Celui-ci est en effet dirigé, en tout point de la surface du globe, vers le centre de la Terre. Aucun système de référence accéléré ne permet de recréer la totalité du champ de gravitation terrestre.

La principe d'équivalence entre gravitation et accélération ne s'applique, en général, qu'à un espace assez limité. Ce principe est donc le suivant :

Un champ de gravitation est localement équivalent à un champ d'accélération.

Il est donc seulement possible de remplacer localement les forces gravitationnelles par des forces d'inertie engendrées par une accélération.

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