Sous-sections
- L'opérateur gradient, noté
, de l'espace à trois dimensions peut être
généralisé pour l'espace-temps à quatre dimensions sous la forme :
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(2.106) |
où les coordonnées , , , sont les coordonnées galiléennes.
Montrer que l'opérateur
possède les propriétés d'un quadrivecteur lors du passage
d'un référentiel d'inertie R à un autre R' animé d'une vitesse uniforme de translation par
rapport au précédent.
- Écrire l'expression de la divergence d'un quadrivecteur
.
- Écrire l'expression du dalembertien, noté
, en fonction de l'opérateur
et en déduire que est un quadrivecteur.
- Utilisons les formules de la transformation de Lorentz-Poincaré qui sont des formules de
changement de variables. On obtient :
L'opérateur défini par :
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(2.109) |
possède bien les propriétés de transformation d'un quadrivecteur.
- La divergence d'un quadrivecteur
s'obtient en effectuant le
"produit scalaire" entre les quadrivecteurs
et
. On obtient :
div |
(2.110) |
- L'opérateur dalembertien s'obtient en effectuant le carré scalaire du quadrivecteur
. On obtient :
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(2.111) |
Puisque l'opérateur
est un quadrivecteur, sa norme est un invariant relativiste. Par
conséquent, le dalembertien reste invariant pour la transformation de Lorentz-Poincaré. On écrira
:
.
Les équations fondamentales de la dynamique relativiste des milieux continus sont données par les
relations (2.82), à savoir :
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(2.112) |
où est la densité d'un volume élémentaire du milieu continu ;
les
composantes du tenseur des pressions ou des tensions ;
est un vecteur qui a pour
composantes :
;
, où
est la force de masse par unité de volume,
de composantes contravariantes .
- Écrire les équations (2.112) pour
et pour dans un système de
coordonnées galiléennes S par rapport auquel la matière est au repos en un point de
l'espace-temps.
- Démontrer qu'on a la relation :
.
- Reporter dans les équations écrites en (1) les expressions de
.
- En substituant aux composantes
les composantes selon (2.70) dans les
équations précédentes, montrer qu'on retrouve les équations (2.77) et (2.78).
- Pour
et pour , les équations (2.112) s'écrivent :
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(2.113) |
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(2.114) |
- Les termes
qui figurent dans les équations (2.113) et
(2.114) peuvent s'écrirent au point :
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(2.115) |
Compte tenu de l'équation (2.80), on peut écrire :
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(2.116) |
Les relations (2.115) et (2.116) nous donnent :
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(2.117) |
- En reportant les expressions de
données par (2.117) dans
les équations (2.113) et (2.114), on obtient :
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(2.118) |
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(2.119) |
- Les dérivées partielles
de la vitesse unitaire sont liées aux dérivées des
composantes de la vitesse de la matière, qui est nulle au point , par les relations
(2.70), à savoir :
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(2.120) |
Substituons aux composantes les composantes données par (2.120) dans les
équations (2.118) et (2.119), il vient :
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(2.121) |
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(2.122) |
On vérifie ainsi que les équations fondamentales de la dynamique relativiste des milieux continus
redonnent bien les équations établies dans le cas d'un système galiléen orthogonal.
Les champs électrique
et magnétique
constituent des aspects parcellaires d'une seule
entité, le champ électromagnétique. Il en est de même pour le potentiel vecteur
et le
potentiel scalaire puisque ces derniers sont liés aux champs électrique et magnétique par
les équations de Maxwell.
- Déterminer les équations de propagation des potentiels électrique
et magnétique
à partir des équations de Maxwell en imposant la condition de jauge de Lorentz définie par
:
div |
(2.123) |
- On définit le quadripotentiel
par :
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(2.124) |
Déterminer l'équation de propagation du quadripotentiel
en partant des équations de
propagation de et .
- En déduire que le quadripotentiel est un quadrivecteur. Déterminer les formules de
transformation des composantes de
lors du passage d'un référentiel d'inertie à un autre.
- Avec le choix de jauge de Lorentz, les potentiels satisfont aux équations de propagation :
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(2.125) |
où est la densité de courant,
, le vecteur densité de courant.
- On définit le quadripotentiel
dans un référentiel R par :
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(2.126) |
Le vecteur
ainsi défini permet de mettre la jauge de Lorentz sous la forme d'une
quadridivergence :
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(2.127) |
L'équation de propagation du potentiel scalaire peut s'écrire sous la forme :
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(2.128) |
où est la quatrième composante du quadrivecteur densité de courant
. Le
quadripotentiel
permet alors de regrouper les équations de propagation des potentiels et
en une seule :
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(2.129) |
- Il en résulte de cette dernière équation que le quadripotentiel
est un
quadrivecteur. Le dalembertien est un invariant relativiste et
est un quadrivecteur.
Dans un autre référentiel d'inertie R', le quadripotentiel a pour expression :
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(2.130) |
Par conséquent, les formules de transformation des composantes du quadrivecteur
sont données
par :
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(2.131) |
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