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Sciences > Électromagnétisme et dynamique des milieux continus - Exercices
 
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Sous-sections

Exercices

Quadrivecteur dalembertien

  1. L'opérateur gradient, noté $ \nabla$, de l'espace à trois dimensions peut être généralisé pour l'espace-temps à quatre dimensions sous la forme :

    $\displaystyle \nabla_{4}=\bigg(-\dfrac{\partial}{\partial\,x},-\dfrac{\partial}... ...al}{\partial\,ct}\bigg)=\bigg(-\nabla_{3},-\dfrac{\partial}{\partial\,ct}\bigg)$ (2.106)

    où les coordonnées $ x$, $ y$, $ z$, $ ct$ sont les coordonnées galiléennes.

    Montrer que l'opérateur $ \nabla_{4}$ possède les propriétés d'un quadrivecteur lors du passage d'un référentiel d'inertie R à un autre R' animé d'une vitesse uniforme de translation par rapport au précédent.

  2. Écrire l'expression de la divergence d'un quadrivecteur $ \mathbf{A}=(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4})$.

  3. Écrire l'expression du dalembertien, noté $ \square$, en fonction de l'opérateur $ \nabla_{4}$ et en déduire que $ \square$ est un quadrivecteur.

Correction

  1. Utilisons les formules de la transformation de Lorentz-Poincaré qui sont des formules de changement de variables. On obtient :

      $\displaystyle -\dfrac{\partial}{\partial\,x'}=\gamma(V)\,\bigg(-\dfrac{\partial... ...\,y}\,\,\,;\,\,\,-\dfrac{\partial}{\partial\,z'}=-\dfrac{\partial}{\partial\,z}$ (2.107)
      $\displaystyle -\dfrac{\partial}{\partial\,ct'}=\gamma(V)\,\bigg(\dfrac{\partial}{\partial\,ct}-\beta\,\dfrac{\partial}{\partial\,x}\bigg)$ (2.108)

    L'opérateur défini par :

    $\displaystyle \nabla_{4}=\bigg(-\dfrac{\partial}{\partial\,x},-\dfrac{\partial}... ...al}{\partial\,ct}\bigg)=\bigg(-\nabla_{3},-\dfrac{\partial}{\partial\,ct}\bigg)$ (2.109)

    possède bien les propriétés de transformation d'un quadrivecteur.

  2. La divergence d'un quadrivecteur $ \mathbf{A}=(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4})$ s'obtient en effectuant le "produit scalaire" entre les quadrivecteurs $ \nabla_{4}$ et $ \mathbf{A}$. On obtient :

    div$\displaystyle \,\mathbf{A}=\nabla_{4}\,\cdot\,\mathbf{A}=-\bigg(-\dfrac{\partia... ...dfrac{\partial\,A_{3}}{\partial\,z}\bigg)+\dfrac{\partial\,A_{4}}{\partial\,ct}$ (2.110)

  3. L'opérateur dalembertien s'obtient en effectuant le carré scalaire du quadrivecteur $ \nabla_{4}$. On obtient :

    $\displaystyle \nabla_{4}\,\cdot\,\nabla_{4}=\dfrac{1}{c^{2}}\,\dfrac{\partial^{... ...}}\bigg)=\dfrac{1}{c^{2}}\,\dfrac{\partial^{2}}{\partial\,t^{2}}-\Delta=\square$ (2.111)

    Puisque l'opérateur $ \nabla_{4}$ est un quadrivecteur, sa norme est un invariant relativiste. Par conséquent, le dalembertien reste invariant pour la transformation de Lorentz-Poincaré. On écrira : $ \square=\square'$.

Équations fondamentales de la dynamique relativiste des milieux continus

Les équations fondamentales de la dynamique relativiste des milieux continus sont données par les relations (2.82), à savoir :

$\displaystyle \nabla_{\mu}\,(\rho\,c^{2}\,u^{\lambda}\,u^{\mu}+T^{\lambda\mu})=\Phi^{\lambda}$ (2.112)

où $ \rho$ est la densité d'un volume élémentaire du milieu continu ; $ T^{\lambda\mu}$ les composantes du tenseur des pressions ou des tensions ; $ \Phi^{\lambda}$ est un vecteur qui a pour composantes : $ \Phi^{k}=f^{k}$ ; $ \Phi^{0}=0$, où $ \mathbf{f}$ est la force de masse par unité de volume, de composantes contravariantes $ f^{i}$.

  1. Écrire les équations (2.112) pour $ \lambda=0$ et pour $ \lambda=k$ dans un système de coordonnées galiléennes S$ _{0}$ par rapport auquel la matière est au repos en un point $ M_{0}$ de l'espace-temps.

  2. Démontrer qu'on a la relation : $ \partial_{\lambda}\,T^{0\mu}=-\partial_{\lambda}\,u_{k}\,T^{k\mu}$.

  3. Reporter dans les équations écrites en (1) les expressions de $ \partial_{\lambda}\,T^{0\mu}$.

  4. En substituant aux composantes $ u^{i}$ les composantes $ \nu^{i}$ selon (2.70) dans les équations précédentes, montrer qu'on retrouve les équations (2.77) et (2.78).

Correction

  1. Pour $ \lambda=0$ et pour $ \lambda=i$, les équations (2.112) s'écrivent :

    $\displaystyle c^{2}\,\partial_{0}\,\rho+c^{2}\,\rho\,\partial_{k}\,u^{k}+\partial_{k}\,T^{0k}+\partial_{0}\,T^{00}=0$ (2.113)

    $\displaystyle c^{2}\,\partial_{0}\,u^{i}+\partial_{k}\,t^{ik}+\partial_{0}\,T^{i0}=f^{i}$ (2.114)

  2. Les termes $ \partial_{\lambda}\,T^{0\mu}$ qui figurent dans les équations (2.113) et  (2.114) peuvent s'écrirent au point $ M_{0}$ :

    $\displaystyle \partial_{\lambda}\,T^{0\mu}=\partial_{\lambda}\,(u_{0}\,T^{0\mu})$ (2.115)

    Compte tenu de l'équation (2.80), on peut écrire :

    $\displaystyle \partial_{\lambda}\,(u_{0}\,T^{0\mu})=-\partial_{\lambda}\,(T^{hu}\,u_{h})=-\partial_{\lambda}\,u_{h}\,T^{h\mu}$ (2.116)

    Les relations (2.115) et (2.116) nous donnent :

    $\displaystyle \partial_{\lambda}\,T^{0\mu}=-\partial_{\lambda}\,u_{h}\,T^{h\mu}$ (2.117)

  3. En reportant les expressions de $ \partial_{\lambda}\,T^{0\mu}$ données par (2.117) dans les équations (2.113) et (2.114), on obtient :

    $\displaystyle c^{2}\,\partial_{0}\,\rho+c^{2}\,\rho\,\partial_{k}\,u^{k}-\partial_{k}\,u_{h}\,t^{kh}=0\,\,\,;\,\,\,\lambda=0$ (2.118)

    $\displaystyle c^{2}\,\partial_{0}\,u^{i}+\partial_{k}\,t^{ik}-\partial_{0}\,u_{h}\,t^{hi}=f^{i}\,\,\,;\,\,\,\lambda=i$ (2.119)

  4. Les dérivées partielles $ u^{i}$ de la vitesse unitaire sont liées aux dérivées des composantes $ \nu^{i}$ de la vitesse de la matière, qui est nulle au point $ M_{0}$, par les relations  (2.70), à savoir :

    $\displaystyle \partial_{\mu}\,u^{0}=0\,\,\,;\,\,\,\partial_{\mu}\,u^{i}=\dfrac{1}{c}\,\partial_{\mu}\,v^{i}$ (2.120)

    Substituons aux composantes $ u^{i}$ les composantes $ \nu^{i}$ données par (2.120) dans les équations (2.118) et (2.119), il vient :

    $\displaystyle c\,\partial_{0}\,\rho+\rho\,\partial_{k}\,u^{k}-\dfrac{1}{c^{2}}\,\partial_{k}\,v_{h}\,t^{kh}=0$ (2.121)

    $\displaystyle c\,\partial_{0}\,v^{i}+\partial_{k}\,t^{ik}-\dfrac{1}{c}\,\partial_{0}\,v_{h}\,t^{ih}=f^{i}$ (2.122)

    On vérifie ainsi que les équations fondamentales de la dynamique relativiste des milieux continus redonnent bien les équations établies dans le cas d'un système galiléen orthogonal.

Quadrivecteur potentiel

Les champs électrique $ \mathbf{E}$ et magnétique $ \mathbf{B}$ constituent des aspects parcellaires d'une seule entité, le champ électromagnétique. Il en est de même pour le potentiel vecteur $ \mathbf{A}$ et le potentiel scalaire $ \Phi$ puisque ces derniers sont liés aux champs électrique et magnétique par les équations de Maxwell.

  1. Déterminer les équations de propagation des potentiels électrique $ \mathbf{E}$ et magnétique $ \mathbf{B}$ à partir des équations de Maxwell en imposant la condition de jauge de Lorentz définie par :

    div$\displaystyle \,\mathbf{A}+\dfrac{1}{c^{2}}\,\dfrac{\partial\,\Phi}{\partial\,t}=0$ (2.123)

  2. On définit le quadripotentiel $ \mathbf{A}$ par :

    $\displaystyle \mathbf{A}=(A_{x},A_{y},A_{z},\Phi/c)=(A,\Phi/c)$ (2.124)

    Déterminer l'équation de propagation du quadripotentiel $ \mathbf{A}$ en partant des équations de propagation de $ A$ et $ \Phi$.

  3. En déduire que le quadripotentiel est un quadrivecteur. Déterminer les formules de transformation des composantes de $ \mathbf{A}$ lors du passage d'un référentiel d'inertie à un autre.

Correction

  1. Avec le choix de jauge de Lorentz, les potentiels satisfont aux équations de propagation :

    $\displaystyle \square\,\mathbf{A}=\dfrac{1}{c^{2}}\,\dfrac{\partial^{2}\,\mathb... ...\partial^{2}\,\Phi}{\partial\,t^{2}}-\Delta\,\Phi=\dfrac{\rho}{\varepsilon_{0}}$ (2.125)

    où $ \rho$ est la densité de courant, $ \mathbf{j}$, le vecteur densité de courant.

  2. On définit le quadripotentiel $ \mathbf{A}$ dans un référentiel R par :

    $\displaystyle \mathbf{A}=(A_{x},A_{y},A_{z},\Phi/c)=(A,\Phi/c)$ (2.126)

    Le vecteur $ \mathbf{A}$ ainsi défini permet de mettre la jauge de Lorentz sous la forme d'une quadridivergence :

    $\displaystyle \nabla_{4}\,\cdot\,\mathbf{A}=0$ (2.127)

    L'équation de propagation du potentiel scalaire $ \Phi$ peut s'écrire sous la forme :

    $\displaystyle \square\,\dfrac{\Phi}{c}=\dfrac{\rho\,c}{\varepsilon_{0}\,c^{2}}=\mu_{0}\,c\,\rho=\mu_{0}\,J_{4}$ (2.128)

    où $ J_{4}$ est la quatrième composante du quadrivecteur densité de courant $ \mathbf{J}$. Le quadripotentiel $ \mathbf{A}$ permet alors de regrouper les équations de propagation des potentiels $ A$ et $ \Phi$ en une seule :

    $\displaystyle \square\,\mathbf{A}=\mu_{0}\,\mathbf{J}$ (2.129)

  3. Il en résulte de cette dernière équation que le quadripotentiel $ \mathbf{A}$ est un quadrivecteur. Le dalembertien $ \square$ est un invariant relativiste et $ \mathbf{J}$ est un quadrivecteur. Dans un autre référentiel d'inertie R', le quadripotentiel a pour expression :

    $\displaystyle \mathbf{A'}=(A'_{x},A'_{y},A'_{z},\Phi'/c)=(A',\Phi'/c)$ (2.130)

    Par conséquent, les formules de transformation des composantes du quadrivecteur $ \mathbf{A}$ sont données par :

    $\displaystyle A'_{x}=\gamma(V)\,\bigg(A_{x}-\beta\,\dfrac{\Phi}{c}\bigg)\,\,\,;... ...\,\,;\,\,\,\dfrac{\Phi'}{c}=\gamma(V)\,\bigg(\dfrac{\Phi}{c}-\beta\,A_{x}\bigg)$ (2.131)


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