Tenseur Impulsion-Énergie

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Tenseur Impulsion-Énergie

Tenseur impulsion-énergie d'un milieu continu

Le quadrivecteur impulsion-énergie qui est introduit en coordonnées rectangulaires se généralise en coordonnées curvilignes. Pour un milieu continu, les équations (2.82) conduisent à introduire un tenseur de deuxième ordre $P^{\lambda\mu}$ :

$\displaystyle P^{\lambda\mu}=\rho\,u^{\lambda}\,u^{\mu}+\dfrac{1}{c^{2}}\,T^{\lambda\mu}$

(2.83)

Le tenseur $P^{\lambda\mu}$ est appelé le tenseur impulsion-énergie d'un milieu continu. L'identité tensorielle (2.80) montre qu'on a :

$\displaystyle P^{\lambda\mu}\,u_{\mu}=\rho\,u^{\lambda}$

(2.84)

Ce tenseur permet d'écrire les équations tensorielles (2.82) sous la forme suivante qui généralise l'équation fondamentale de la dynamique relativiste d'une masse :

$\displaystyle \nabla_{\mu}\,P^{\lambda\mu}=\dfrac{1}{c^{2}}\,\Phi^{\lambda}$

(2.85)

Quadrivecteur densité de force de Lorentz

Lorsqu'on considère un milieu constitué d'un grand nombre de charges électriques, formant ainsi un milieu continu, il faut tenir compte des actions électromagnétiques pour déterminer l'impulsion-énergie du milieu. Auparavant, il faut déterminer le vecteur force qui apparaît dans l'équation (2.85).

Pour cela, considérons la force qui s'exerce sur la quantité d'électricité contenue dans l'unité de volume. Cette densité de force est donnée par la théorie de Maxwell-Lorentz et s'écrit en coordonnées galiléennes sous la forme :

$\displaystyle \mathbf{K}=\rho\,\mathbf{E}+\rho\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$

(2.86)

Les vecteurs $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ sont les vecteurs champs électrique et magnétique ; $\mathbf{v}$ , une vitesse locale des particules ; $\rho$ , la densité des charges du milieu. Les composantes selon l'axe des vecteurs de l'équation (2.86) ont pour relation :

$\displaystyle K_{x}=\rho\,E_{x}+\rho\,v_{y}\,H_{z}-\rho\,v_{z}\,H_{y}$

(2.87)

Transformons cette dernière équation en remplaçant les composantes cartésiennes de la vitesse par leurs composantes covariantes et introduisons les composantes contravariantes du tenseur champ électromagnétique ; il vient :

$\displaystyle K^{1}=J_{0}\,F^{01}+J_{2}\,F^{21}+J_{3}\,F^{31}=J_{\lambda}\,F^{\lambda 1}$

(2.88)

Un calcul analogue pour les composantes $K^{k}$ selon les axes te montre que l'on a :

$\displaystyle K^{k}=J_{\lambda}\,F^{\lambda k}$

(2.89)

Dans l'espace quadridimensionnel, la densité de force (2.89) doit être complétée par un terme $K^{0}$ conduisant à un quadrivecteur valable dans un système quelconque de coordonnées curvilignes. Les composantes contravariantes sont données par :

$\displaystyle K^{\mu}=J_{\lambda}\,F^{\lambda\mu}$

(2.90)

La quatrième composante $K^{0}$ ainsi introduite a pour expression en coordonnées galiléennes réduites :

$\displaystyle K^{0}=J_{1}\,F^{10}+J_{2}\,F^{20}+J_{3}\,F^{30}$

(2.91)

Compte tenu de la formule (2.86), la composante $K^{0}$ s'écrit :

$\displaystyle K^{0}=\dfrac{1}{c}\,\rho\,\mathbf{v}\,\cdot\,\mathbf{E}=\dfrac{1}{c}\,\mathbf{K}\,\cdot\,\mathbf{v}$

(2.92)

La composante $K^{0}$ représente au facteur près, le travail fourni par unité de temps et de volume par la densité de force $\mathbf{K}$ . Le quadrivecteur défini par (2.90) est appelé quadrivecteur densité de force de Lorentz. On démontre aisément que ce vecteur est orthogonal au vecteur courant $J^{\mu}$ .

Tenseur impulsion-énergie du champ électromagnétique

Lorsque le nombre de charges électriques qui figurent dans un milieu continu est extrêmement élevé, chaque particule chargée subit le champ électromagnétique $F^{\lambda\mu}$ créé par l'ensemble des autres charges. Le milieu considéré est donc soumis à la densité de force de Lorentz $K^{\mu}$ défini par (2.90).

Les équations générales du mouvement du milieu continu comportant des charges électriques sont donc les équations (2.85) dans lesquelles le vecteur force par unité de volume $\Phi^{\mu}$ est remplacé par la densité de force $K^{\mu}$ . Les équations (2.85) s'écrivent alors :

$\displaystyle \nabla_{\mu}\,P^{\lambda\mu}=\dfrac{1}{c^{2}}\,K^{\lambda}$

(2.93)

Le second membre de cette dernière équation peut être mis sous la forme de la dérivée covariante d'un tenseur du deuxième ordre. Pour cela, substituons dans l'expression de $K^{\lambda}$ donnée par (2.90), le courant $J_{\mu}$ donné par (2.30) et dont l'expression est :

$\displaystyle K_{\lambda}=J^{\mu}\,F_{\lambda\mu}$

(2.94)

il vient :

$\displaystyle K_{\lambda}=\dfrac{1}{\mu_{0}}\,F_{\lambda\mu}\,\nabla_{\nu}\,F^{\mu\nu}$

(2.95)

En intégrant par partie le second membre de l'équation précédente, on obtient :

$\displaystyle \mu_{0}\,K_{\lambda}=-\nabla_{\nu}(F_{\lambda\mu}\,F^{\mu\nu})+F^{\mu\nu}\,\nabla_{\nu}\,F_{\lambda\mu}$

(2.96)

Le dernier terme de l'équation (2.96) s'écrit en échangeant les indices de sommation $\mu$ , $\nu$ et en tenant compte de l'antisymétrie du tenseur champ électromagnétique :

$\displaystyle F^{\mu\nu}\,\nabla_{\nu}\,F_{\lambda\mu}=\dfrac{1}{2}\,(F^{\mu\nu... ...{1}{2}\,F^{\mu\nu}\,(\nabla_{\nu}\,F_{\lambda\mu}+\nabla_{\mu}\,F_{\nu\lambda})$

(2.97)

D'autre part, le second groupe des équations de Maxwell peut s'écrire sous la forme :

$\displaystyle \nabla_{\nu}\,F_{\lambda\mu}+\nabla_{\mu}\,F_{\nu\lambda}+\nabla_{\lambda}\,F_{\mu\nu}=0$

(2.98)

L'expression (2.97) s'écrit alors compte tenu de (2.98) :

$\displaystyle F^{\mu\nu}\,\nabla_{\nu}\,F_{\lambda\mu}=-\dfrac{1}{2}\,F^{\mu\nu... ...{\lambda}\,F_{\mu\nu}=-\dfrac{1}{4}\,\nabla_{\lambda}\,(F^{\mu\nu}\,F_{\mu\nu})$

(2.99)

En reportant le dernier terme de (2.99) dans la relation (2.96), on obtient :

$\displaystyle -\mu_{0}\,K_{\lambda}=\nabla_{\nu}(F_{\lambda\mu}\,F^{\mu\nu})+\dfrac{1}{4}\,\nabla_{\lambda}\,(F_{\alpha\beta}\,F^{\alpha\beta})$

(2.100)

Changeant les indices, il vient :

$\displaystyle -\mu_{0}\,K_{\lambda}=\nabla_{\mu}\bigg(F_{\lambda\alpha}\,F^{\alpha\mu}+\dfrac{1}{4}\,g^{\mu}_{\lambda}\,F_{\alpha\beta}\,F^{\alpha\beta}\bigg)$

(2.101)

Cette dernière expression de $K_{\lambda}$ permet d'introduire un tenseur symétrique, appelé tenseur d'impulsion-énergie du champ électromagnétique, à savoir :

$\displaystyle M_{\lambda\mu}=\dfrac{1}{\mu_{0}\,c^{2}}\,\bigg(\dfrac{1}{4}\,g_{... ...mu}\,F_{\alpha\beta}\,F^{\alpha\beta}-F_{\lambda\alpha}\,F^{\alpha}_{\mu}\bigg)$

(2.102)

En ayant $\varepsilon_{0}\,\mu_{0}\,c^{2}=1$ , on peut aussi écrire :

$\displaystyle M_{\lambda\mu}=\varepsilon_{0}\,\bigg(\dfrac{1}{4}\,g_{\lambda\mu}\,F_{\alpha\beta}\,F^{\alpha\beta}-F_{\lambda\alpha}\,F^{\alpha}_{\mu}\bigg)$

(2.103)

Compte tenu de (2.102), les équations fondamentales (2.93) du mouvement d'un milieu continu contenant des charges électriques s'écrit alors sous la forme :

$\displaystyle \nabla_{\mu}\,(P^{\lambda\mu}+M^{\lambda\mu})=0$

(2.104)

Le tenseur impulsion-énergie $P^{\lambda\mu}$ pour un milieu continu a pour origine les forces de masse et les forces superficielles ; le tenseur $M^{\lambda\mu}$ est lié aux forces électromagnétiques agissant sur les particules chargées. Le tenseur :

$\displaystyle Q^{\lambda\mu}=P^{\lambda\mu}+M^{\lambda\mu}$

(2.105)

est le tenseur impulsion-énergie total pour un milieu continu prenant en compte les actions électromagnétiques.

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