Sous-sections
Le quadrivecteur impulsion-énergie qui est introduit en coordonnées rectangulaires se généralise en coordonnées
curvilignes. Pour un milieu continu, les équations (2.82) conduisent à introduire un tenseur de deuxième ordre
:
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(2.83) |
Le tenseur
est appelé le tenseur impulsion-énergie d'un milieu continu. L'identité tensorielle
(2.80) montre qu'on a :
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(2.84) |
Ce tenseur permet d'écrire les équations tensorielles (2.82) sous la forme suivante qui généralise l'équation
fondamentale de la dynamique relativiste d'une masse :
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(2.85) |
Lorsqu'on considère un milieu constitué d'un grand nombre de charges électriques, formant ainsi un milieu continu, il faut
tenir compte des actions électromagnétiques pour déterminer l'impulsion-énergie du milieu. Auparavant, il faut
déterminer le vecteur force qui apparaît dans l'équation (2.85).
Pour cela, considérons la force qui s'exerce sur la quantité d'électricité contenue dans l'unité de volume. Cette
densité de force est donnée par la théorie de Maxwell-Lorentz et s'écrit en coordonnées galiléennes sous la forme :
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(2.86) |
Les vecteurs
et
sont les vecteurs champs électrique et magnétique ;
, une vitesse locale des particules
; , la densité des charges du milieu. Les composantes selon l'axe des vecteurs de l'équation (2.86) ont
pour relation :
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(2.87) |
Transformons cette dernière équation en remplaçant les composantes cartésiennes de la vitesse par leurs composantes
covariantes et introduisons les composantes contravariantes du tenseur champ électromagnétique ; il vient :
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(2.88) |
Un calcul analogue pour les composantes selon les axes te montre que l'on a :
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(2.89) |
Dans l'espace quadridimensionnel, la densité de force (2.89) doit être complétée par un terme conduisant
à un quadrivecteur valable dans un système quelconque de coordonnées curvilignes. Les composantes contravariantes sont
données par :
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(2.90) |
La quatrième composante ainsi introduite a pour expression en coordonnées galiléennes réduites :
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(2.91) |
Compte tenu de la formule (2.86), la composante s'écrit :
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(2.92) |
La composante représente au facteur près, le travail fourni par unité de temps et de volume par la densité
de force
. Le quadrivecteur défini par (2.90) est appelé quadrivecteur densité de force de Lorentz. On
démontre aisément que ce vecteur est orthogonal au vecteur courant .
Lorsque le nombre de charges électriques qui figurent dans un milieu continu est extrêmement élevé, chaque particule
chargée subit le champ électromagnétique
créé par l'ensemble des autres charges. Le milieu
considéré est donc soumis à la densité de force de Lorentz défini par (2.90).
Les équations générales du mouvement du milieu continu comportant des charges électriques sont donc les équations
(2.85) dans lesquelles le vecteur force par unité de volume
est remplacé par la densité de force
. Les équations (2.85) s'écrivent alors :
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(2.93) |
Le second membre de cette dernière équation peut être mis sous la forme de la dérivée covariante d'un tenseur du
deuxième ordre. Pour cela, substituons dans l'expression de
donnée par (2.90), le courant
donné par (2.30) et dont l'expression est :
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(2.94) |
il vient :
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(2.95) |
En intégrant par partie le second membre de l'équation précédente, on obtient :
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(2.96) |
Le dernier terme de l'équation (2.96) s'écrit en échangeant les indices de sommation
, et en tenant compte de l'antisymétrie du tenseur champ électromagnétique :
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(2.97) |
D'autre part, le second groupe des équations de Maxwell peut s'écrire sous la forme :
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(2.98) |
L'expression (2.97) s'écrit alors compte tenu de (2.98) :
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(2.99) |
En reportant le dernier terme de (2.99) dans la relation (2.96), on obtient :
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(2.100) |
Changeant les indices, il vient :
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(2.101) |
Cette dernière expression de
permet d'introduire un tenseur symétrique, appelé tenseur d'impulsion-énergie du champ électromagnétique, à savoir :
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(2.102) |
En ayant
, on peut aussi écrire :
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(2.103) |
Compte tenu de (2.102), les équations fondamentales (2.93) du mouvement d'un milieu
continu contenant des charges électriques s'écrit alors sous la forme :
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(2.104) |
Le tenseur impulsion-énergie
pour un milieu continu a pour origine les forces de
masse et les forces superficielles ; le tenseur
est lié aux forces
électromagnétiques agissant sur les particules chargées. Le tenseur :
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(2.105) |
est le tenseur impulsion-énergie total pour un milieu continu prenant en compte les actions
électromagnétiques.
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