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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Dynamique relativiste des milieux continus


 
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Dynamique relativiste des milieux continus

Afin d'obtenir la forme tensorielle générale de la dynamique relativiste des milieux continus, nous allons tout d'abord établir ces équations pour un volume élémentaire $ dV$ situé en un point $ M_{0}$ dans un référentiel R$ _{0}$ par rapport auquel l'élément de volume est immobile. Le référentiel R$ _{0}$ choisi est un système galiléen orthogonal.

Équations relativistes dans un système de repos

Puisque, par hypothèse, le volume $ dV$ est au repos au point $ M_{0}$, le vecteur vitesse $ \mathbf{v}$ de la matière est nul. Les composantes $ u^{\alpha}$ de la quadrivitesse unitaire associée à $ v^{i}$ sont donc telles qu'au point $ M_{0}$, on a :

$\displaystyle u^{0}=1\,\,\,;\,\,\,u^{i}=0$ (2.69)

Par contre, les dérivées des composantes $ v^{i},i=1,2,3$, de la vitesse ne sont pas nulles en général. Puisque $ u^{\alpha}$ est unitaire, on a : $ u^{\alpha}\,\partial_{\mu}\,u^{\alpha}=0$ ; les dérivées de $ u^{\alpha}$ sont données par :

$\displaystyle \partial_{\mu}\,u^{0}=0\,\,\,;\,\,\,\partial_{\mu}\,u^{i}=\dfrac{1}{c}\,\partial_{\mu}\,v^{i}$ (2.70)

D'autre part, l'équation de conservation de la masse (2.49) s'écrit au point $ M_{0}$ dans le système R$ _{0}$ sous la forme :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,\rho}{\partial\,t}+\partial_{k}\,(p^{*k})=0$ (2.71)

L'équation (2.68) devient également au point $ M_{0}$, puisque $ v^{i}=0$ :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,p^{*k}}{\partial\,t}+\partial_{k}\,t^{ki}=f^{i}$ (2.72)

Dans ces équations, les $ p^{*k}$ sont les composantes du vecteur impulsion par unité de volume qui, pour la mécanique classique, se réduit à $ \rho\,v^{k}$ correspondant à la masse de matière par unité de volume. Or, en dynamique relativiste, toutes les formes d'énergie apportent leur contribution au vecteur impulsion. Dans les milieux continus, il faut donc ajouter l'énergie superficielle résultant des tensions ou des pressions. Nous verrons, par la suite, le cas où intervient l'énergie d'interaction électromagnétique.

Calculons le flux d'énergie qui traverse une surface d'aire $ dS$ dont les "composantes" sont notées $ d\sigma_{k}=dS_{k}/dS=n_{k}$. La force superficielle, selon (2.55), s'écrit :

$\displaystyle T^{j}=t^{kj}\,n_{k}$ (2.73)

Supposons que le milieu matériel se déplace à la vitesse $ \mathbf{v}$ au voisinage de la surface $ dS$. Notons $ v_{j}$ les composantes covariantes de cette vitesse dans la métrique d'espace $ dl^{2}=-[(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}+(dx^{3})^{2}]$. Le travail de la force (2.73) est alors donné par : $ -v_{j}\,t^{kj}\,d\sigma_{k}$.

L'élément de surface $ dS$ est donc traversé par une certaine quantité d'énergie correspondant à la fois à la densité de matière $ \rho$ et au tenseur des contraintes $ t^{kj}$. Il va en résulter un certain vecteur impulsion de composantes $ p^{k}$ par unité de volume. Ces composantes comportent une partie classique $ \rho\,v^{k}$ et une masse correspond, selon l'équivalence entre masse et énergie, à $ -(1/c^{2})v_{j}\,t^{kj}$ ; on obtient :

$\displaystyle p^{k}=\rho\,v^{k}-\dfrac{1}{c^{2}}\,v_{j}\,t^{kj}$ (2.74)

Au point $ M_{0}$, le vecteur impulsion a des composantes qui sont nulles mais leurs dérivées ne le sont pas en général. Pour obtenir les équations de la dynamique relativiste des milieux continus, valables en $ M_{0}$ dans le repère galiléen R$ _{0}$, on va substituer à $ p^{*k}$ qui figure dans les équations (2.71) et (2.72) l'expression $ p^{k}$ donnée par (2.74). En tenant compte du fait que les composantes $ v^{i}$ de la vitesse en $ M_{0}$ sont nulles, on obtient :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,\rho}{\partial\,t}+\rho\,\partial_{k}\,v^{k}-\dfrac{1}{c^{2}}\,\partial_{k}\,v_{j}\,t^{kj}=0$ (2.75)

$\displaystyle \rho\,\dfrac{\partial\,v^{i}}{\partial\,t}-\dfrac{1}{c^{2}}\,\dfrac{\partial\,v_{j}}{\partial\,t}\,t^{ij}+\partial_{k}\,t^{ik}=f^{i}$ (2.76)

Transformons les deux équations précédentes en effectuant les dérivations par rapport à la variable réduite $ x^{0}=ct$, il vient :

$\displaystyle c\,\partial_{0}\,\rho+\rho\,\partial_{k}\,v^{k}-\dfrac{1}{c^{2}}\,\partial_{k}\,v_{j}\,t^{kj}=0$ (2.77)

$\displaystyle \rho\,c\,\partial_{0}\,v^{i}-\dfrac{1}{c^{2}}\,\partial_{0}\,v_{j}\,t^{ij}+\partial_{k}\,t^{ik}=f^{i}$ (2.78)

Ce sont les équations relativistes du mouvement d'un milieu continu au point $ M_{0}$ par rapport au système de repos R$ _{0}$.

Équations relativistes sous forme tensorielle

Cherchons à présent la forme tensorielle des équations générales de la dynamique relativiste des milieux continus. Les équations de la dynamique classique (2.68) écrites dans l'espace tridimensionnel suggèrent d'utiliser dans l'espace-temps un tenseur symétrique d'ordre deux, noté $ T^{\lambda\mu}$. Ce tenseur doit admettre dans le système de coordonnées R$ _{0}$, au point $ M_{0}$, les composantes :

$\displaystyle T^{ik}=t^{ik}\,\,\,;\,\,\,T^{0i}=T^{i0}=T^{00}=0$ (2.79)

Le tenseur $ T^{\lambda\mu}$ est le tenseur relativiste des contraintes. Si $ u_{\mu}$ est le quadrivecteur vitesse unitaire, le tenseur $ T^{\lambda\mu}$ vérifie l'identité tensorielle :

$\displaystyle T^{\mu\lambda}\,u_{\mu}=0$ (2.80)

En ce qui concerne le vecteur force $ f^{i}$ qui apparaît dans les équations (2.68), nous introduisons le vecteur de composantes $ \Phi^{\lambda}$ telles que au point $ M_{0}$ dans le système de coordonnées R$ _{0}$, on ait : $ \Phi^{k}=f^{k}\,\,;\,\,\Phi^{0}=0$.

Le quadrivecteur $ \Phi^{k}$ joue le rôle d'un vecteur force ; il est constamment orthogonal à la quadrivitesse unitaire, soit :

$\displaystyle \Phi^{\mu}\,u_{\mu}=0$ (2.81)

En utilisant les tenseurs $ T^{\lambda\mu}$ et $ \Phi^{\mu}$ que nous venons d'introduire, les équations de la dynamique relativiste (2.77) et (2.78) peuvent être mises sous une forme tensorielle valable dans un système de coordonnées curvilignes quelconque. Nous vérifions, au cours de l'exercice ([*]) que les équations suivantes permettent de retrouver effectivement les équations (2.77) et (2.78) :

$\displaystyle \nabla_{\mu}\,(\rho\,c^{2}\,u^{\lambda}\,u^{\mu}+T^{\lambda\mu})=\Phi^{\lambda}$ (2.82)

Les équations (2.82) sont les équations tensorielles générales de la dynamique relativiste des milieux continus.

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