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Afin d'obtenir la forme tensorielle générale de la dynamique relativiste des milieux continus, nous allons tout d'abord
établir ces équations pour un volume élémentaire situé en un point dans un référentiel R par
rapport auquel l'élément de volume est immobile. Le référentiel R choisi est un système galiléen orthogonal.
Puisque, par hypothèse, le volume est au repos au point , le vecteur vitesse
de la matière est nul. Les
composantes
de la quadrivitesse unitaire associée à sont donc telles qu'au point , on a :
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(2.69) |
Par contre, les dérivées des composantes
, de la vitesse ne sont pas nulles en général. Puisque
est unitaire, on a :
; les dérivées de
sont données
par :
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(2.70) |
D'autre part, l'équation de conservation de la masse (2.49) s'écrit au point dans le système R sous
la forme :
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(2.71) |
L'équation (2.68) devient également au point , puisque :
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(2.72) |
Dans ces équations, les sont les composantes du vecteur impulsion par unité de volume qui, pour la mécanique
classique, se réduit à
correspondant à la masse de matière par unité de volume. Or, en dynamique
relativiste, toutes les formes d'énergie apportent leur contribution au vecteur impulsion. Dans les milieux continus, il faut
donc ajouter l'énergie superficielle résultant des tensions ou des pressions. Nous verrons, par la suite, le cas où
intervient l'énergie d'interaction électromagnétique.
Calculons le flux d'énergie qui traverse une surface d'aire dont les "composantes" sont notées
. La force superficielle, selon (2.55), s'écrit :
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(2.73) |
Supposons que le milieu matériel se déplace à la vitesse
au voisinage de la surface . Notons les
composantes covariantes de cette vitesse dans la métrique d'espace
. Le
travail de la force (2.73) est alors donné par :
.
L'élément de surface est donc traversé par une certaine quantité d'énergie correspondant à la fois à la
densité de matière et au tenseur des contraintes . Il va en résulter un certain vecteur impulsion de
composantes par unité de volume. Ces composantes comportent une partie classique
et une masse
correspond, selon l'équivalence entre masse et énergie, à
; on obtient :
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(2.74) |
Au point , le vecteur impulsion a des composantes qui sont nulles mais leurs dérivées ne le sont pas en général.
Pour obtenir les équations de la dynamique relativiste des milieux continus, valables en dans le repère galiléen
R , on va substituer à qui figure dans les équations (2.71) et (2.72) l'expression
donnée par (2.74). En tenant compte du fait que les composantes de la vitesse en sont nulles, on
obtient :
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(2.75) |
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(2.76) |
Transformons les deux équations précédentes en effectuant les dérivations par rapport à la variable réduite
, il vient :
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(2.77) |
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(2.78) |
Ce sont les équations relativistes du mouvement d'un milieu continu au point par rapport au système de repos
R .
Cherchons à présent la forme tensorielle des équations générales de la dynamique relativiste des milieux continus.
Les équations de la dynamique classique (2.68) écrites dans l'espace tridimensionnel suggèrent d'utiliser dans
l'espace-temps un tenseur symétrique d'ordre deux, noté
. Ce tenseur doit admettre dans le système de
coordonnées R , au point , les composantes :
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(2.79) |
Le tenseur
est le tenseur relativiste des contraintes. Si est le quadrivecteur vitesse
unitaire, le tenseur
vérifie l'identité tensorielle :
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(2.80) |
En ce qui concerne le vecteur force qui apparaît dans les équations (2.68), nous introduisons le vecteur de
composantes
telles que au point dans le système de coordonnées R , on ait :
.
Le quadrivecteur joue le rôle d'un vecteur force ; il est constamment orthogonal à la quadrivitesse unitaire,
soit :
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(2.81) |
En utilisant les tenseurs
et
que nous venons d'introduire, les équations de la dynamique
relativiste (2.77) et (2.78) peuvent être mises sous une forme tensorielle valable dans un système de
coordonnées curvilignes quelconque. Nous vérifions, au cours de l'exercice ( ) que les équations suivantes
permettent de retrouver effectivement les équations (2.77) et (2.78) :
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(2.82) |
Les équations (2.82) sont les équations tensorielles générales de la dynamique relativiste des milieux continus.
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