Dynamique classique des milieux continus

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Dynamique classique des milieux continus

Avant d'aborder la dynamique relativiste, nous rappellerons quelques formules de la dynamique classique des milieux continus mises sous forme tensorielle et que nous utiliserons par la suite.

Dérivées partielles et totale par rapport au temps

Tout milieu "continu" se compose en réalité d'un très grand nombre de particules microscopiques. Mais on peut décrire un milieu continu en considérant un élément de volume qui contient un nombre suffisant de particules permettant d'évaluer des grandeurs moyennes. Nous supposons qu'on peut ainsi définir une densité de matière, notée $\rho$ , et un vecteur vitesse $\mathbf{v}$ de ce volume élémentaire. Le référentiel dans lequel on étudie l'évolution dans le temps des caractéristiques de ce volume élémentaire est rapporté à des coordonnées curvilignes $(u^{1},u^{2},u^{3},t)$ où est le temps.

Notons une entité qui caractérise ce volume élémentaire, par exemple la densité $\rho$ , une composante de $\mathbf{v}$ , etc. L'évolution de cette entité peut être décrite en un point fixe du référentiel et, dans ce cas, la dérivée de est la dérivée partielle par rapport au temps :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,A}{\partial\,t}=\bigg(\dfrac{\partial\,A}{\partial\,t}\bigg)_{u^{k}=constante}$

(2.45)

Cette évolution peut également être rapportée à un système de coordonnées lié localement au mouvement du volume élémentaire. Les variations de au cours du mouvement sont alors obtenues au moyen de la dérivée totale par rapport au temps, soit :

$\displaystyle \dfrac{d\,A}{d\,t}=\dfrac{\partial\,A}{\partial\,t}+\sum_{k=1}^{k=3}\,\dfrac{\partial\,A}{\partial\,u^{k}}\,\dfrac{d\,u^{k}}{d\,t}$

(2.46)

Introduisons les composantes contravariantes $v^{k}=du^{k}/dt$ du vecteur vitesse $\mathbf{v}$ dans la formule précédente, il vient :

$\displaystyle \dfrac{d\,A}{d\,t}=\dfrac{\partial\,A}{\partial\,t}+v^{k}\,\partial_{k}\,A$

(2.47)

Équation de conservation

La densité $\rho$ d'un volume élémentaire et sa vitesse $\mathbf{v}$ sont liés ensemble car le changement de densité dépend des entrées et des sorties du flux $\rho\mathbf{v}$ de matière qui traverse la surface de ce volume. En coordonnées cartésiennes, on a une équation classique dite de continuité ou de conservation de la matière, analogue à (2.39) pour la charge électrique :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,\rho}{\partial\,t}+$ div $\displaystyle \,(\rho\,\mathbf{v})=0$

(2.48)

La divergence de $\rho\mathbf{v}$ comporte la somme des dérivées partielles par rapport aux coordonnées cartésiennes. En coordonnées curvilignes, ces dérivées sont remplacées par les dérivées covariantes ; il vient :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,\rho}{\partial\,t}+\nabla_{k}\,(\rho\,v^{k})=0$

(2.49)

Forces de masse et forces superficielles

Considérons un volume élémentaire d'un milieu continu qui possède une masse $dm=\rho\,dV$ . Des forces de masse agissent sur chaque volume élémentaire ; elles sont déterminées par des conditions extérieures, par exemple, la présence d'un champ de gravitation. La résultante des forces de masse est notée $\mathbf{f}\,dV$ où $\mathbf{f}$ est la force de masse par unité de volume, de composantes contravariantes $f^{i}$ .

D'autre part, des forces superficielles agissent sur la surface des volumes élémentaires et proviennent des flux de matière et des déformations internes du milieu continu.

Considérons un élément de surface à l'intérieur d'un milieu continu. Cette surface élémentaire subit de la part du milieu des forces qui proviennent de la matière contigue à . On note $d\mathbf{F}=\mathbf{T}\,dS$ la force qui agit sur cet élément de surface et qui est due aux particules intérieures au volume élémentaire. La force $-\mathbf{T}\,dS$ sera, en vertu du principe de l'égalité de l'action et de réaction, la force superficielle exercée sur par les particules extérieures. Cette force sera, en général, dirigée obliquement sur . Lorsqu'elle est dirigée vers l'intérieur d'un volume considéré, on dit que c'est une pression, dans le cas où elle est dirigée vers l'extérieur, on parle d'une tension.

Tenseur des contraintes

Nous allons voir que les composantes de la force $\mathbf{T}$ par unité de'aire s'expriment sous forme des composantes d'un tenseur du deuxième ordre appelé tenseur des contraintes. Considérons un tétraèdre élémentaire situé à l'intérieur d'un milieu continu, solide ou liquide, supposé en équilibre statique. Les extrémités des arêtes du tétraèdre sont notées respectivement (Fig. 2.1). Chaque face du tétraèdre est soumise à une force interne due au milieu lui-même et proportionnelle à l'aire de sa surface.

**Figure 2.1**
$\includegraphics[width=70mm height=64mm]{fig4.eps}$

Notons $dS_{k}$ les aires des faces, soit : $dS(OBC)=dS_{1}$ ; $dS(OAC)=dS_{2}$ ; $dS(OAB)=dS_{3}$ ; . Soit $\mathbf{n}$ un vecteur unitaire orthogonal à la face , dirigé de l'intérieur vers l'extérieur du tétraèdre.

Déterminons les expressions des composantes $n_{k}$ du vecteur $\mathbf{n}$ en fonction de l'aire et des aires $dS_{k}$ des faces du tétraèdre. Les aires $dS_{k}$ sont égales à la projection de l'aire sur le $k^{e}$ plan. Notons $d\mathbf{S}$ le vecteur orthogonal à la surface , de longueur égale à et dirigé de l'intérieur du tétraèdre vers l'extérieur. Soit $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ , $\mathbf{k}$ , les vecteurs de base orthonormés, on a :

$\displaystyle d\mathbf{S}=dS_{1}\,\mathbf{i}+dS_{2}\,\mathbf{j}+dS_{3}\,\mathbf{k}$

(2.50)

Le vecteur $\mathbf{n}$ a donc pour composantes :

$\displaystyle n_{1}=dS_{1}/dS\,\,\,;\,\,\,n_{2}=dS_{2}/dS\,\,\,;\,\,\,n_{3}=dS_{3}/dS$

(2.51)

Notons $d\mathbf{t^{i}}$ la force qui s'exerce sur une face d'aire $dS_{i}$ ; ses composantes sont notées suivant les axes orthogonaux $Ox^{k}$ :

$\displaystyle dt^{i1}=t^{i1}\,dS_{1}+t^{i2}\,dS_{2}+t^{i3}\,dS_{3}\,\,;\,i=1,2,3$

(2.52)

Soit $T^{j}$ les composantes de la force $\mathbf{T}$ , appelée contrainte, qui s'exerce par unité d'aire sur la face . L'équilibre des forces du milieu continu s'exprime pour les composantes, selon l'axe $Ox^{1}$ , par :

$\displaystyle T^{1}\,dS=dt^{11}+dt^{21}+dt^{31}=t^{k1}\,dS_{k}$

(2.53)

Compte tenu des expressions (2.52) des composantes du vecteur $\mathbf{n}$ , on a :

$\displaystyle T^{1}=t^{k1}\,(dS_{k}/dS)=t^{k1}\,n_{k}$

(2.54)

On obtient des expressions analogues pour les axes $Ox^{2}$ et $Ox^{3}$ , d'où finalement :

$\displaystyle T^{j}=t^{kj}\,n_{k}$

(2.55)

Les quantités $t^{kj}$ ainsi définies sont les composantes contravariantes d'un tenseur appelé tenseur des contraintes. Selon la direction des forces internes, on aura un tenseur des pressions ou tenseur des tensions. Le terme tenseur a précisément pour origine l'étude des tensions internes des milieux continus.

Dans un système de coordonnées curvilignes, le tenseur des contraintes $t^{kj}$ sera également défini en fonction de la force par unité d'aire.

Équations générales de la dynamique des milieux continus

Considérons dans un milieu continu, une surface fermée quelconque qui limite une portion de volume . Utilisons un système de coordonnées rectilignes orthogonales $x^{1},x^{2},x^{3}$ . Appelons $\gamma^{k}$ les composantes de l'accélération du centre d'un élément de volume du volume . La force élémentaire d'inertie qui s'exerce sur a pour expression : $-\gamma^{k}\,\rho\,dV$ . D'autre part, les forces superficielles sont représentées par le tenseur $t^{kj}$ . Écrivons les conditions classiques de nullité du vecteur du torseur formé par les forces d'inertie et les forces extérieures et superficielles, soit :

$\displaystyle \int\int\int_{V}\,(f^{i}-\rho\,\gamma^{i})\,dV-\int\int_{S}\,t^{ki}\,d\sigma_{k}=0$

(2.56)

où l'élément d'intégration $d\sigma_{k}$ est égal à $dS_{k}/dS$ . Annulons d'autre part le moment du torseur, soit :

$\displaystyle \int\int\int_{V}\,\big[(x^{i}(f^{j}-\rho\,\gamma^{j})-x^{j}(f^{i}... ...\gamma^{i})\big]\,dV-\int\int_{S}\,(x^{i}\,t^{kj}-x^{j}\,t^{ki})\,d\sigma_{k}=0$

(2.57)

L'intégrale de surface qui figure au premier membre de (2.56) peut être transformée en une intégrale triple en utilisant la formule de Green. L'équation (2.56) s'écrit alors :

$\displaystyle \int\int\int_{V}\,(f^{i}-\rho\,\gamma^{i}-\partial_{k}\,t^{ki})\,dV=0$

(2.58)

On peut faire de même pour l'intégrale de surface (2.57) ; on obtient :

$\displaystyle \int\int\int_{V}\,\big[(x^{i}(f^{j}-\rho\,\gamma^{j}-\partial_{k}... ...\,\gamma^{i}-\partial_{k}\,x^{ki})\big]\,dV-\int\int_{S}\,(t^{ij}-t^{ji})\,dV=0$

(2.59)

L'intégrale triple du premie membre de (2.58) étant indentiquement nulle quel que soit le colume considéré, il en résulte que l'élément d'intégration est nécessairement nul, soit :

$\displaystyle f^{i}-\rho\,\gamma^{i}-\partial_{k}\,t^{ki}=0$

(2.60)

La première intégrale triple de (2.59) est donc nulle. La seconde intégrale de cette même équation est alors également nulle, d'où :

$\displaystyle t^{ij}-t^{ji}=0$

(2.61)

Les équations (2.60) sont les équations de la dynamique des milieux continus dans un système de coordonnées rectilignes orthogonales. Dans un système de coordonnées curvilignes, ces équations s'écrivent :

$\displaystyle \rho\,\gamma^{k}=f^{k}-\nabla_{j}\,t^{jk}$

(2.62)

En coordonnées curvilignes, il correspond au tenseur des contraintes $t^{jk}$ une densité de force par unité de volume donnée par :

$\displaystyle K^{k}=\nabla_{j}\,t^{jk}=0$

(2.63)

Les relations (2.61) montrent que le tenseur des contraintes est symétrique par rapport à ses deux indices.

Autre expression des équations générales

En donnant une forme explicite à l'accélération $\gamma^{i}$ dans les équations générales (2.62) de la dynamique des milieux continus, on obtient une autre expression de ces équations. En effet, l'accélération est la dérivée totale par rapport au temps de la vitesse $\mathbf{v}$ de composantes $v^{i}$ . L'expression générale de l'accélération issue du calcul tensoriel nous donne :

$\displaystyle \gamma^{i}=\dfrac{dv^{i}}{dt}+\textrm{$\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{i... ...\Gamma^{}_{k}$$^{}_{}$$^{i}$$^{}_{m}$}\,v^{k}\,v^{m}+v^{k}\,\partial_{k}\,v^{i}$

(2.64)

En groupant les deux derniers termes du troisième membre de l'équation précdente, il vient :

$\displaystyle \gamma^{i}=\dfrac{\partial\,v^{i}}{\partial\,t}+v^{k}\,\nabla_{k}\,v^{i}$

(2.65)

Multiplions $\gamma^{i}$ par la densité $\rho$ et faisons entrer $\rho$ sous les signes de dérivation du second membre de (2.65) ; on obtient :

$\displaystyle \rho\,\gamma^{i}=\dfrac{\partial\,\rho\,v^{i}}{\partial\,t}+\nabl... ...^{i}\,\bigg[\dfrac{\partial\,\rho}{\partial\,t}+\nabla_{k}\,(\rho\,v^{k})\bigg]$

(2.66)

La quantité précédente entre crochets représente l'équation de conservation de la masse (2.49). Cette quantité est nulle et l'équation (2.66) se réduit à :

$\displaystyle \rho\,\gamma^{i}=\dfrac{\partial\,\rho\,v^{i}}{\partial\,t}+\nabla_{k}\,(\rho\,v^{k}\,v^{i})$

(2.67)

Les équations générales (2.62) de la dynamique des milieux continus s'écrivent alors, compte tenu de (2.67), sous la forme :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,\rho\,v^{i}}{\partial\,t}+\nabla_{k}\,(\rho\,v^{k}\,v^{i}+t^{ki})=f^{i}$

(2.68)

Ces nouvelles équations, ainsi que celle de conservation de la masse, permettent d'étudier les comportements d'un milieu continu sous l'action des différentes forces qu'il subit. Pour déterminer complètement ces évolutions, il faut naturellement connaître les expressions des composantes $f^{i}$ et $t^{ki}$ .

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