Sous-sections
Avant d'aborder la dynamique relativiste, nous rappellerons quelques formules de la dynamique classique des milieux continus
mises sous forme tensorielle et que nous utiliserons par la suite.
Tout milieu "continu" se compose en réalité d'un très grand nombre de particules microscopiques. Mais on peut décrire un
milieu continu en considérant un élément de volume qui contient un nombre suffisant de particules permettant d'évaluer
des grandeurs moyennes. Nous supposons qu'on peut ainsi définir une densité de matière, notée , et un vecteur
vitesse
de ce volume élémentaire. Le référentiel dans lequel on étudie l'évolution dans le temps des
caractéristiques de ce volume élémentaire est rapporté à des coordonnées curvilignes
où
est le temps.
Notons une entité qui caractérise ce volume élémentaire, par exemple la densité , une composante de
,
etc. L'évolution de cette entité peut être décrite en un point fixe du référentiel et, dans ce cas, la dérivée
de est la dérivée partielle par rapport au temps :
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(2.45) |
Cette évolution peut également être rapportée à un système de coordonnées lié localement au mouvement du volume
élémentaire. Les variations de au cours du mouvement sont alors obtenues au moyen de la dérivée totale par
rapport au temps, soit :
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(2.46) |
Introduisons les composantes contravariantes
du vecteur vitesse
dans la formule précédente, il
vient :
 |
(2.47) |
La densité d'un volume élémentaire et sa vitesse
sont liés ensemble car le changement de densité
dépend des entrées et des sorties du flux
de matière qui traverse la surface de ce volume. En coordonnées
cartésiennes, on a une équation classique dite de continuité ou de conservation de la matière, analogue à
(2.39) pour la charge électrique :
div |
(2.48) |
La divergence de
comporte la somme des dérivées partielles par rapport aux coordonnées cartésiennes. En
coordonnées curvilignes, ces dérivées sont remplacées par les dérivées covariantes ; il vient :
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(2.49) |
Considérons un volume élémentaire d'un milieu continu qui possède une masse
. Des forces de
masse agissent sur chaque volume élémentaire ; elles sont déterminées par des conditions extérieures, par exemple, la
présence d'un champ de gravitation. La résultante des forces de masse est notée
où
est la force de
masse par unité de volume, de composantes contravariantes .
D'autre part, des forces superficielles agissent sur la surface des volumes élémentaires et proviennent des flux de
matière et des déformations internes du milieu continu.
Considérons un élément de surface à l'intérieur d'un milieu continu. Cette surface élémentaire subit de la
part du milieu des forces qui proviennent de la matière contigue à . On note
la force qui agit
sur cet élément de surface et qui est due aux particules intérieures au volume élémentaire. La force
sera, en vertu du principe de l'égalité de l'action et de réaction, la force superficielle exercée sur par les
particules extérieures. Cette force sera, en général, dirigée obliquement sur . Lorsqu'elle est dirigée vers
l'intérieur d'un volume considéré, on dit que c'est une pression, dans le cas où elle est dirigée vers
l'extérieur, on parle d'une tension.
Nous allons voir que les composantes de la force
par unité de'aire s'expriment sous forme des composantes d'un tenseur
du deuxième ordre appelé tenseur des contraintes. Considérons un tétraèdre élémentaire situé à
l'intérieur d'un milieu continu, solide ou liquide, supposé en équilibre statique. Les extrémités des arêtes du
tétraèdre sont notées respectivement (Fig. 2.1). Chaque face du tétraèdre est soumise à une force interne due
au milieu lui-même et proportionnelle à l'aire de sa surface.
Figure 2.1
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Notons les aires des faces, soit :
;
;
;
. Soit
un vecteur unitaire orthogonal à la face , dirigé de l'intérieur vers l'extérieur du tétraèdre.
Déterminons les expressions des composantes du vecteur
en fonction de l'aire et des aires des
faces du tétraèdre. Les aires sont égales à la projection de l'aire sur le plan. Notons
le vecteur orthogonal à la surface , de longueur égale à et dirigé de l'intérieur du
tétraèdre vers l'extérieur. Soit
,
,
, les vecteurs de base orthonormés, on a :
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(2.50) |
Le vecteur
a donc pour composantes :
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(2.51) |
Notons
la force qui s'exerce sur une face d'aire ; ses composantes sont notées suivant les axes
orthogonaux :
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(2.52) |
Soit les composantes de la force
, appelée contrainte, qui s'exerce par unité d'aire sur la face .
L'équilibre des forces du milieu continu s'exprime pour les composantes, selon l'axe , par :
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(2.53) |
Compte tenu des expressions (2.52) des composantes du vecteur
, on a :
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(2.54) |
On obtient des expressions analogues pour les axes et , d'où finalement :
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(2.55) |
Les quantités ainsi définies sont les composantes contravariantes d'un tenseur appelé tenseur des
contraintes. Selon la direction des forces internes, on aura un tenseur des pressions ou tenseur des tensions. Le
terme tenseur a précisément pour origine l'étude des tensions internes des milieux continus.
Dans un système de coordonnées curvilignes, le tenseur des contraintes sera également défini en fonction de la
force par unité d'aire.
Considérons dans un milieu continu, une surface fermée quelconque qui limite une portion de volume . Utilisons un
système de coordonnées rectilignes orthogonales
. Appelons
les composantes de
l'accélération du centre d'un élément de volume du volume . La force élémentaire d'inertie qui s'exerce sur
a pour expression :
. D'autre part, les forces superficielles sont représentées par le tenseur
. Écrivons les conditions classiques de nullité du vecteur du torseur formé par les forces d'inertie et les forces
extérieures et superficielles, soit :
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(2.56) |
où l'élément d'intégration
est égal à . Annulons d'autre part le moment du torseur, soit :
![$\displaystyle \int\int\int_{V}\,\big[(x^{i}(f^{j}-\rho\,\gamma^{j})-x^{j}(f^{i}...
...\gamma^{i})\big]\,dV-\int\int_{S}\,(x^{i}\,t^{kj}-x^{j}\,t^{ki})\,d\sigma_{k}=0$](img335.gif) |
(2.57) |
L'intégrale de surface qui figure au premier membre de (2.56) peut être transformée en une intégrale triple en
utilisant la formule de Green. L'équation (2.56) s'écrit alors :
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(2.58) |
On peut faire de même pour l'intégrale de surface (2.57) ; on obtient :
![$\displaystyle \int\int\int_{V}\,\big[(x^{i}(f^{j}-\rho\,\gamma^{j}-\partial_{k}...
...\,\gamma^{i}-\partial_{k}\,x^{ki})\big]\,dV-\int\int_{S}\,(t^{ij}-t^{ji})\,dV=0$](img337.gif) |
(2.59) |
L'intégrale triple du premie membre de (2.58) étant indentiquement nulle quel que soit le colume considéré,
il en résulte que l'élément d'intégration est nécessairement nul, soit :
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(2.60) |
La première intégrale triple de (2.59) est donc nulle. La seconde intégrale de cette même équation est alors
également nulle, d'où :
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(2.61) |
Les équations (2.60) sont les équations de la dynamique des milieux continus dans un système de coordonnées
rectilignes orthogonales. Dans un système de coordonnées curvilignes, ces équations s'écrivent :
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(2.62) |
En coordonnées curvilignes, il correspond au tenseur des contraintes une densité de force par unité de volume
donnée par :
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(2.63) |
Les relations (2.61) montrent que le tenseur des contraintes est symétrique par rapport à ses deux indices.
En donnant une forme explicite à l'accélération
dans les équations générales (2.62) de la
dynamique des milieux continus, on obtient une autre expression de ces équations. En effet, l'accélération est la
dérivée totale par rapport au temps de la vitesse
de composantes . L'expression générale de
l'accélération issue du calcul tensoriel nous donne :
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(2.64) |
En groupant les deux derniers termes du troisième membre de l'équation précdente, il vient :
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(2.65) |
Multiplions
par la densité et faisons entrer sous les signes de dérivation du second membre de
(2.65) ; on obtient :
![$\displaystyle \rho\,\gamma^{i}=\dfrac{\partial\,\rho\,v^{i}}{\partial\,t}+\nabl...
...^{i}\,\bigg[\dfrac{\partial\,\rho}{\partial\,t}+\nabla_{k}\,(\rho\,v^{k})\bigg]$](img347.gif) |
(2.66) |
La quantité précédente entre crochets représente l'équation de conservation de la masse (2.49). Cette
quantité est nulle et l'équation (2.66) se réduit à :
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(2.67) |
Les équations générales (2.62) de la dynamique des milieux continus s'écrivent alors, compte tenu de
(2.67), sous la forme :
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(2.68) |
Ces nouvelles équations, ainsi que celle de conservation de la masse, permettent d'étudier les comportements d'un milieu
continu sous l'action des différentes forces qu'il subit. Pour déterminer complètement ces évolutions, il faut
naturellement connaître les expressions des composantes et .
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