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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Les équations de Maxwell-Lorentz


 
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Les équations de Maxwell-Lorentz

Rappelons que l'invariance relativiste de la charge électrique est un postulat de la relativité restreinte basé sur diverses considérations expérimentales.

Quadrivecteur densité de courant électrique

Considérons un ensemble de charges électriques discrètes formant une charge totale $ de$. Cette charge est contenue dans un volume élémentaire $ dV_{0}$ lié à un référentiel R$ _{0}$. La densité de charge au repos $ \rho_{0}$ est définie par :

$\displaystyle \rho_{0}=de/dV_{0}$ (2.16)

Dans un autre référentiel R en translation uniforme de vitesse $ \mathbf{v}$ par rapport à R$ _{0}$, la charge $ de$ est enfermée dans un élément de volume $ dV$. La densité de charge $ \rho$ dans le référentiel R est définie par :

$\displaystyle \rho=de/dV$ (2.17)

La mesure $ dV$ du volume élémentaire dans R est relié à $ dV_{0}$ par la relation :

$\displaystyle dV_{0}=\gamma(v)\,dV$ (2.18)

$ \gamma(v)=1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$. En combinant les trois formules précédentes, nous obtenons la densité de charge $ \rho$ en fonction de la densité au repos $ \rho_{0}$, soit :

$\displaystyle \rho=\gamma(v)\,\rho_{0}$ (2.19)

Lorsqu'une charge volumique de densité $ \rho$ est animée d'une vitesse $ \mathbf{v}$, on définit classiquement un vecteur densité de courant par $ \mathbf{j}=\rho\,\mathbf{v}$. En relativité restreinte, on appelle vecteur densité de courant électrique le quadrivecteur $ \mathbf{J}$ ayant pour composantes :

$\displaystyle J^{\alpha}=\rho_{0}\,c\,u^{\alpha}$ (2.20)

où les $ u^{\alpha}$ sont les composantes du quadrivecteur vitesse unitaire.

Les différentes composantes du quadrivecteur $ \mathbf{J}$ ont pour expression compte tenu de la définition de la quadrivitesse  (1.16) :

$\displaystyle J^{0}=\gamma(v)\,\rho_{0}\,c\,\,\,;\,\,\,J^{k}=\gamma(v)\,\rho_{0}\,v^{k}$ (2.21)

Compte tenu de (2.19), le quadrivecteur $ \mathbf{J}$ a pour composantes en fonction des composantes de la vitesse $ \mathbf{v}$ de la charge volumique :

$\displaystyle J^{0}=\rho\,c\,\,\,;\,\,\,J^{k}=\rho\,v^{k}$ (2.22)

Premier groupe des équations de Maxwell-Lorentz

Les équations de Maxwell-Lorentz peuvent être partagées en deux groupes. Dans un système d'axes rectangulaires $ Oxyz$, le premier groupe d'équations s'écrit :

rot$\displaystyle \,\mathbf{B}-\dfrac{1}{c^{2}}\,\dfrac{\partial\,\mathbf{E}}{\partial\,t}=\mu_{0}\,\mathbf{J}$ (2.23)

div$\displaystyle \,\mathbf{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_{0}}$ (2.24)

Effectuons une projection sur l'axe $ Ox$ des vecteurs qui figurent dans l'équation (2.23) ; on obtient :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,B_{z}}{\partial\,y}-\dfrac{\partial\,B_{y}}{\partial\,z}-\dfrac{1}{c^{2}}\,\dfrac{\partial\,E_{x}}{\partial\,t}=\mu_{0}\,J_{x}$ (2.25)

Cette dernière équation, compte tenu de l'expression des composantes contravriantes (2.13) du tenseur champ électromagnétique et celles du quadrivecteur densité de courant électrique (2.22), s'écrit :

$\displaystyle \partial_{2}\,F^{12}+\partial_{3}\,F^{13}+\partial_{0}\,F^{10}=\mu_{0}\,J^{1}$ (2.26)

Les projections de l'équation (2.23) sur les axes $ Oy$ et $ Oz$ conduisent à des relations analogues à  (2.26). Ces trois équations peuvent être écrites, en coordonnées galiléennes réduites, sous la forme condensée :

$\displaystyle \partial_{\lambda}\,F^{k\lambda}=\mu_{0}\,J^{k}$ (2.27)

De même, en écrivant l'expression de la divergence (2.24) sous forme explicite en coordonnées $ x$, $ y$, $ z$, puis en remplaçant les composantes du champ électrique $ \mathbf{E}$ par leurs expressions données par (2.13), il vient :

$\displaystyle \partial_{\lambda}\,F^{0\lambda}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_{0}\,c}=\mu_{0}\,\rho\,c=\mu_{0}\,J^{0}$ (2.28)

En rassemblant les deux équations précédentes, on voit que le premier groupe d'équations de Maxwell-Lorentz peut se mettre, en coordonnées galiléennes réduites, sous la forme :

$\displaystyle \partial_{\lambda}\,F^{\mu\lambda}=\mu_{0}\,J^{\mu}$ (2.29)

L'utilisation de coordonnées rectilignes fait apparaître les dérivées partielles des composantes du tenseur $ F_{\mu\lambda}$. Lorsqu'on utilise des coordonnées curvilignes, les dérivées partielles sont alors remplacées par des dérivées covariantes. Le premier groupe des équations de Maxwell-Lorentz s'écrit alors en coordonnées curvilignes :

$\displaystyle \nabla_{\lambda}\,F^{\mu\lambda}=\mu_{0}\,J^{\mu}$ (2.30)

La forme tensorielle (2.30) des équations (2.23) et (2.24) de Maxwell-Lorentz est valable pour des systèmes quelconques de coordonnées rectilignes ou curvilignes.

Second groupe des équations de Maxwell-Lorentz

Dans un système d'axes rectangulaires $ Oxyz$ à trois dimensions, le second groupe s'écrit :

rot$\displaystyle \,\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\,\mathbf{B}}{\partial\,t}$ (2.31)

div$\displaystyle \,\mathbf{B}=0$ (2.32)

Les composantes sur l'axe $ Ox$ des vecteurs qui figurent dans l'équation (2.31) sont les suivantes :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,E_{z}}{\partial\,y}-\dfrac{\partial\,E_{y}}{\partial\,z}+\dfrac{\partial\,B_{x}}{\partial\,t}=0$ (2.33)

En remplaçant les composantes des vecteurs à partir de l'expression des composantes covariantes (2.12) du tenseur champ électromagnétique, il vient :

$\displaystyle \partial_{2}\,F_{30}+\partial_{3}\,F_{02}+\partial_{0}\,F_{23}=0$ (2.34)

Une même projection sur les axes $ Oy$ et $ Oz$ montre que l'équation (2.31) peut s'écrire en coordonnées galiléennes réduites sous la forme tensorielle :

$\displaystyle \partial_{\gamma}\,F_{\alpha\,k}+\partial_{\alpha}\,F_{k\,\gamma}+\partial_{k}\,F_{\gamma\alpha}=0$ (2.35)

En écrivant l'expression de la divergence donnée par l'équation (2.32), puis en remplaçant les composantes des vecteurs en fonction de celles du tenseur champ électromagnétique, on obtient :

$\displaystyle \partial_{1}\,F_{23}+\partial_{2}\,F_{31}+\partial_{3}\,F_{12}=0$ (2.36)

Le regroupement des équations (2.35) et (2.36) montre que le second groupe des équations de Maxwell-Lorentz s'écrit, en coordonnées galiléennes réduites, sous la forme :

$\displaystyle \partial_{\gamma}\,F_{\alpha\beta}+\partial_{\alpha}\,F_{\beta\gamma}+\partial_{\beta}\,F_{\gamma\alpha}=0$ (2.37)

Ces équations étant écrites en coordonnées rectilignes, les dérivées partielles sont à remplacer par les dérivées covariantes en coordonnées curvilignes, soit :

$\displaystyle \nabla_{\gamma}\,F_{\alpha\beta}+\nabla_{\alpha}\,F_{\beta\gamma}+\nabla_{\beta}\,F_{\gamma\alpha}=0$ (2.38)

Loi de conservation de l'électricité

La conservation de la charge électrique exprime simplement le fait que la variation au cours du temps de la densité de charge $ \rho$ dans un volume unité est égale à la différence de la quantité d'électricité qui entre et sort de ce volume. L'équation de conservation s'écrit en fonction du courant électrique $ \mathbf{j}$ :

$\displaystyle \dfrac{\partial\,\rho}{\partial\,t}+$div$\displaystyle \,\mathbf{j}=0$ (2.39)

Pour obtenir la loi de conservation sous forme tensorielle, utilisons le premier groupe des équations de Maxwell-Lorentz écrit sous forme (2.29) :

$\displaystyle \partial_{\lambda}\,F^{\mu\lambda}=\mu_{0}\,J^{\mu}$ (2.40)

Dérivons chaque membre de cette équation par rapport à $ x^{\mu}$ et effectuons une sommation sur l'indice $ \mu$ ; il vient :

$\displaystyle \partial_{\mu\lambda}\,F^{\mu\lambda}=\mu_{0}\,\partial_{\mu}\,J^{\mu}$ (2.41)

Pour montrer que le nombre de gauche de cette équation est nul, utilisons l'antisymétrie de $ F^{\mu\lambda}$ puis échangeons l'ordre de dérivation ainsi que les noms des indices de sommation ; on obtient :

$\displaystyle \partial_{\mu\lambda}\,F^{\mu\lambda}=-\partial_{\mu\lambda}\,F^{...
...-\partial_{\lambda\mu}\,F^{\lambda\mu}=-\partial_{\mu\lambda}\,F^{\mu\lambda}=0$ (2.42)

L'équation (2.41) devient ainsi, en coordonnées rectilignes réduites :

$\displaystyle \partial_{\mu}\,J^{\mu}=0$ (2.43)

Si l'espace-temps est rapporté à des coordonnées curvilignes, l'équation précédente devient :

$\displaystyle \nabla_{\mu}\,J^{\mu}=0$ (2.44)

On obtient la loi de conservation de l'électricité sous sa forme tensorielle générale.

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