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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Le tenseur champ électromagnétique


 
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Le tenseur champ électromagnétique

Les équations fondamentales de l'électromagnétisme sont relativistes. Ce fut précisément en étudiant leur invariance lors d'un changement de référentiel d'inertie que Lorentz découvrit la transformation qui porte son nom. Il est donc naturel que ces équations puissent être mise sous forme tensorielle.

Le champ électromagétique est décrit classiquement dans l'espace à trois dimensions par deux entités : d'une part, un vecteur d'espace champ électrique $ \mathbf{E}$ et d'autre part un vecteur d'espace champ magnétique $ \mathbf{B}$. Nous allons voir que l'introduction de l'espace-temps de la relativité restreinte permet de former une entité unique qui décrit globalement le champ électromagnétique.

Ces deux champs vectoriels peuvent être définis à l'aide d'un potentiel vecteur magnétique $ \mathbf{A}$ et d'un potentiel scalaire électrique $ V$ à l'aide des relations :

$\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{rot}\,\mathbf{A}\,\,\,\,;\,\,\,\,\mathbf{E}=-\mathbf{grad}\,V-\dfrac{\partial\,\mathbf{A}}{\partial\,t}$ (2.5)

Notons $ A_{x}$, $ A_{y}$, $ A_{z}$ les composantes de $ \mathbf{A}$ dans un système d'axes cartésiens $ Oxyz$. Formons le quadrivecteur $ \mathbf{Q}$ ayant pour composantes contravariantes dans le système de coordonnées galiléennes réduites  (2.4) :

$\displaystyle q^{0}=-V/c\,\,\,;\,\,\,q^{1}=-A_{x}\,\,\,;\,\,\,q^{2}=-A_{y}\,\,\,;\,\,\,q^{3}=-A_{z}$ (2.6)

Le quadrivecteur $ \mathbf{Q}$ est appelé le quadripotentiel du champ électromagnétique. Les composantes covariantes de $ \mathbf{Q}$ compte tenu du tenseur métrique (1.14) ont pour expression :

$\displaystyle q_{0}=V/c\,\,\,;\,\,\,q_{1}=A_{x}\,\,\,;\,\,\,q_{2}=A_{y}\,\,\,;\,\,\,q_{3}=A_{z}$ (2.7)

Les expressions développées du rotationel et du gradient permettent d'écrire les formules (2.5) sous la forme suivante :

$\displaystyle B_{x}=\partial_{2}\,q_{3}-\partial_{3}\,q_{2}\,\,\,;\,\,\,B_{y}=\...
...}-\partial_{1}\,q_{3}\,\,\,;\,\,\,B_{z}=\partial_{1}\,q_{2}-\partial_{2}\,q_{1}$ (2.8)

$\displaystyle \dfrac{E_{x}}{c}=\partial_{1}\,q_{0}-\partial_{0}\,q_{1}\,\,\,;\,...
...{0}\,q_{2}\,\,\,;\,\,\,\dfrac{E_{z}}{c}=\partial_{3}\,q_{0}-\partial_{0}\,q_{3}$ (2.9)

Les six composantes des vecteurs $ \mathbf{B}$ et $ \mathbf{E}$/c permettent de former les six composantes covariantes strictes d'un tenseur antisymétrique, noté $ F_{\lambda\mu}$. Ce tenseur est le rotationnel du quadripotentiel $ \mathbf{Q}$, soit :

rot$\displaystyle _{\lambda\mu}\,\mathbf{Q}=F_{\lambda\mu}=\partial_{\lambda}\,q_{\mu}-\partial_{\mu}\,q_{\lambda}$ (2.10)

Dans le système de coordonnées galiléennes réduites, les composantes strictes du tenseur $ F_{\lambda\mu}$ s'expriment en fonction des composantes des vecteurs champ magnétique et champ électrique sous la forme suivante :

$\displaystyle F_{23}=B_{x}\,\,\,;\,\,\,F_{31}=B_{y}\,\,\,;\,\,\,F_{12}=B_{z}\,\...
...{x}}{c}\,\,\,;\,\,\,F_{20}=\dfrac{E_{y}}{c}\,\,\,;\,\,\,F_{30}=\dfrac{E_{z}}{c}$ (2.11)

Le tenseur antisymétrique $ F_{\lambda\mu}$ est appelé le tenseur électromagnétique ou tenseur de Maxwell. Ce tenseur comporte 16 composantes covariantes que l'on peut mettre sous la forme matricielle suivante :

$\displaystyle [F_{\lambda\mu}]=\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c \\ E...
...&B_{z}&-B_{y} \\ E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x} \\ E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0 \end{bmatrix}$ (2.12)


Remarquons que selon l'ordre dans lequel les coordonnées galiléennes réduites ont été classées, l'expression matricielle du tenseur champ électromagnétique ne sera pas la même. Selon également la définition des signes des composantes du quadripotentiel, les $ F_{\lambda\mu}$ seront classées différemment.

Les composantes contravariantes strictes du tenseur champ électromagnétique ont pour expression :

$\displaystyle F^{23}=B_{x}\,\,\,;\,\,\,F^{31}=B_{y}\,\,\,;\,\,\,F^{12}=B_{z}\,\...
...}}{c}\,\,\,;\,\,\,F^{20}=-\dfrac{E_{y}}{c}\,\,\,;\,\,\,F^{30}=-\dfrac{E_{z}}{c}$ (2.13)

et sa forme matricielle :

$\displaystyle [F^{\lambda\mu}]=\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c \\ -E_{...
..._{z}&-B_{y} \\ -E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x} \\ -E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0 \end{bmatrix}$ (2.14)


La création d'une entité unique, le tenseur champ électromagnétique, englobant les champs magnétique et électrique montrent bien l'unité profonde du champ électromagnétique. L'existence d'une composante magnétique orthogonale à une composante électrique d'une onde électromagnétique plane montre bien physiquement cette unité.

Lors du passage d'un référentiel d'inertie à un autre, la transformation du tenseur champ électromagnétique montre également que les composantes du vecteur champ magnétique dépendent, dans le nouveau référentiel, à la fois des composantes du champ électrique et du champ magnétique dans le référentiel d'origine. Il en est de même pour le champ électrique.

Notons que le quadripotentiel $ \mathbf{Q}$ n'est pas déterminé d'une manière unique par la connaissance du champ électromagnétique. À tout quadripotentiel qui vérifie l'expression (2.10), on peut ajouter un champ gradient d'une fonction $ f$ quelconque; les composantes du quadripotentiel deviennent alors :

$\displaystyle q^{*}_{\mu}=q_{\mu}+\partial_{\mu}\,f$ (2.15)

Le rotationnel d'un gradient étant nul, les composantes $ F_{\lambda\mu}$ restent inchangées. L'addition d'un tel gradient à un potentiel vecteur s'appelle un changement de jauge. Des entités, comme le champ électromagnétique, qui ne sont pas modifiées lors d'un changement de jauge sont dites posséder l'invariance de jauge.

Nous allons voir que l'utilisation du tenseur champ électromagnétique permet d'exprimer les équations fondamentales de l'électrodynamique, dites de Maxwell-Lorentz, sous une forme particulièrement simple et condensée.

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