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Sciences > Introduction à la Relativité Générale - Covariance des lois de la Physique


 
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Covariance des lois de la Physique

L'importance de la transcription tensorielle des lois de la physique en relativité restreinte est ce qu'en dit Einstein ci-dessus : l'expression mathématique d'une loi sous forme tensorielle garantit son invariance par rapport à la transformation de Lorentz-Poincaré. Ces lois sont dites covariantes.

Quadrivecteurs

Nous avons vu que les quadrivecteurs sont des vecteurs à quatre dimensions qui, par définition, sont dits covariants. Ainsi, par exemple, l'énergie et l'impulsion forment une entité, le quadrivecteur énergie-impulsion, dont la norme se conserve lors d'un changement de référentiel d'inertie.

Comment le terme "covariant" attribué aux quadrivecteurs rejoint-il la définition générale donnée pour les tenseurs covariants ? Des tenseurs sont dits covariants si, lors d'un changement de base, leurs composants dans un référentiel donné se transforment comme les vecteurs de base de ce même référentiel.

Les quadrivecteurs sont des tenseurs d'ordre un dont les composantes se modifient selon la transformation de Lorentz-Poincaré lors d'un changement de référentiel d'inertie. D'une part, le passage d'un référentiel d'inertie à un autre correspond bien à un changement de base. D'autre part, les quadrivecteurs se transforment comme les rayons-vecteurs de l'espace de Poincaré-Minkowski. Ces derniers étant des combinaisons linéaires des vecteurs de base de cet espace, les quadrivecteurs se transforment précisément comme ces vecteurs de base. Les quadrivecteurs sont donc des tenseurs covariants d'ordre un.

Tenseurs covariants d'ordre quelconque

Un tenseur d'ordre quelconque peut être décomposé sous forme d'une combinaison linéaire de produits tensoriels. En relativité, on considère essentiellement des tenseurs qui peuvent être décomposés comme des combinaisons linéaires de quadrivecteurs.

Les tenseurs utilisés peuvent donc être écrits sous forme covariante. Les grandeurs physiques qu'ils représentent peuvent également être écrites sous forme contravariantes grâce à l'utilisation du produit scalaire (1.12) défini dans l'espace quadridimensionnel de Poincaré-Minkowski.

L'espace vectoriel $ E_{4}$ des quadrivecteurs est un espace à quatre dimensions associé à l'espace ponctuel $ E_{4}$ de Poincaré-Minkowski. Les tenseurs utilisés par la suite seront des tenseurs d'ordre $ n$ ayant donc un nombre de composantes ègal à $ 4^{n}$. On verra apparaître des tenseurs d'ordre deux, trois et quatre ayant respectivement 16, 64 et 256 composantes.

Composantes covariantes et contravariantes

Les indices des tenseurs utilisés en relativité sont des lettres de l'alphabet grec ou latin. Une convention classique est que les indices grecs varient de 0 à 3, alors, alors que les indices latins varient de 1 à 3.

Par exmple, un vecteur $ \mathbf{x}$ de l'espace tridimensionnel s'écrira sur la base $ (\mathbf{e_{1}},\mathbf{e_{2}},\mathbf{e_{3}})=(\mathbf{e_{k}})$ en utilisant les indices latins :

$\displaystyle \mathbf{x}=x^{k}\,\mathbf{e_{k}}$ (2.1)

Par contre, un quadrivecteur $ \mathbf{A}$ de l'espace de Poincaré-Minkowski s'écrira sur une base $ (\mathbf{e_{0}},\mathbf{e_{1}},\mathbf{e_{2}},\mathbf{e_{3}})=(\mathbf{e_{\mu}})$ en utilisant des indices grecs :

$\displaystyle \mathbf{A}=A^{\mu}\,\mathbf{e_{\mu}}$ (2.2)

L'espace ponctuel de Poincaré-Minkowski a pour base les vecteurs $ \mathbf{e_{\alpha}}$ dont les produits scalaires sont donnés par (1.13), à savoir :

$\displaystyle \mathbf{e_{\alpha}}\,\cdot\,\mathbf{e_{\beta}}=0\,\,\,(\alpha\neq...
...,\mathbf{e_{0}}=1\,\,;\,\,\mathbf{e_{j}}\,\cdot\,\mathbf{e_{j}}=-1\,\,(j=1,2,3)$ (2.3)

Le tenseur métrique de l'espace-temps plat de la relativité restreinte est donc donné par (1.14). Les relations entre les composantes contravariantes et covariantes des tenseurs font intervenir des quantités $ g_{\alpha\beta}=\eta_{\alpha\beta}$.

L'espace-temps de Poincaré-Minkowski ayant les vecteurs de base (2.3) est rapporté aux coordonnées (1.11) appelés coordonnées galiléennes réduites :

$\displaystyle x^{0}=ct\,\,\,\,;\,\,\,\,x^{1}=x\,\,\,\,;\,\,\,\,x^{2}=y\,\,\,\,;\,\,\,\,x^{3}=z$ (2.4)

L'espace-temps plat relativiste peut naturellement être rapporté à des coordonnées curvilignes quelconques où les composantes $ g_{\alpha\beta}$ du tenseur métrique deviennent des fonctions de ces nouvelles coordonnées.

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