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L'importance de la transcription tensorielle des lois de la physique en relativité restreinte est ce qu'en dit Einstein
ci-dessus : l'expression mathématique d'une loi sous forme tensorielle garantit son invariance par rapport à la
transformation de Lorentz-Poincaré. Ces lois sont dites covariantes.
Nous avons vu que les quadrivecteurs sont des vecteurs à quatre dimensions qui, par définition, sont dits covariants. Ainsi,
par exemple, l'énergie et l'impulsion forment une entité, le quadrivecteur énergie-impulsion, dont la norme se conserve
lors d'un changement de référentiel d'inertie.
Comment le terme "covariant" attribué aux quadrivecteurs rejoint-il la définition générale donnée pour les tenseurs
covariants ? Des tenseurs sont dits covariants si, lors d'un changement de base, leurs composants dans un référentiel
donné se transforment comme les vecteurs de base de ce même référentiel.
Les quadrivecteurs sont des tenseurs d'ordre un dont les composantes se modifient selon la transformation de Lorentz-Poincaré
lors d'un changement de référentiel d'inertie. D'une part, le passage d'un référentiel d'inertie à un autre correspond
bien à un changement de base. D'autre part, les quadrivecteurs se transforment comme les rayons-vecteurs de l'espace de
Poincaré-Minkowski. Ces derniers étant des combinaisons linéaires des vecteurs de base de cet espace, les quadrivecteurs
se transforment précisément comme ces vecteurs de base. Les quadrivecteurs sont donc des tenseurs covariants d'ordre un.
Un tenseur d'ordre quelconque peut être décomposé sous forme d'une combinaison linéaire de produits tensoriels. En
relativité, on considère essentiellement des tenseurs qui peuvent être décomposés comme des combinaisons linéaires
de quadrivecteurs.
Les tenseurs utilisés peuvent donc être écrits sous forme covariante. Les grandeurs physiques qu'ils représentent
peuvent également être écrites sous forme contravariantes grâce à l'utilisation du produit scalaire (1.12) défini
dans l'espace quadridimensionnel de Poincaré-Minkowski.
L'espace vectoriel  des quadrivecteurs est un espace à quatre dimensions associé à l'espace ponctuel de
Poincaré-Minkowski. Les tenseurs utilisés par la suite seront des tenseurs d'ordre  ayant donc un nombre de composantes
ègal à  . On verra apparaître des tenseurs d'ordre deux, trois et quatre ayant respectivement 16, 64 et 256
composantes.
Les indices des tenseurs utilisés en relativité sont des lettres de l'alphabet grec ou latin. Une convention classique est
que les indices grecs varient de 0 à 3, alors, alors que les indices latins varient de 1 à 3.
Par exmple, un vecteur
 de l'espace tridimensionnel s'écrira sur la base
 en utilisant les indices latins :
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(2.1) |
Par contre, un quadrivecteur
 de l'espace de Poincaré-Minkowski s'écrira sur une base
 en utilisant des indices grecs :
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(2.2) |
L'espace ponctuel de Poincaré-Minkowski a pour base les vecteurs
 dont les produits scalaires sont donnés
par (1.13), à savoir :
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(2.3) |
Le tenseur métrique de l'espace-temps plat de la relativité restreinte est donc donné par (1.14). Les relations
entre les composantes contravariantes et covariantes des tenseurs font intervenir des quantités
 .
L'espace-temps de Poincaré-Minkowski ayant les vecteurs de base (2.3) est rapporté aux coordonnées (1.11)
appelés coordonnées galiléennes réduites :
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(2.4) |
L'espace-temps plat relativiste peut naturellement être rapporté à des coordonnées curvilignes quelconques où les
composantes
 du tenseur métrique deviennent des fonctions de ces nouvelles coordonnées.
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