1.Introduction:

Ce travail a été réalisé sous la direction de Jacques Harthong. L'expansion de l'Univers influence la trajectoire des rayons lumineux appelée aussi géodésique. La relativité restreinte permet d'étudier leurs comportement dans un référentiel galiléen, mais cette approche ne suffit pas dans le cas d'une expansion telle qu'elle est décrite dans les modèles du Big-Bang. Il faut donc utiliser les résultats issus de la relativité générale. Nous nous intéressons ici à la détermination de la trajectoire des rayons lumineux dans la métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). Cette métrique s'écrit :

avec k le paramètre de courbure. On parlera alors d'espaces de type sphérique (k=1), plat (k=0) ou hyperbolique (k=-1).

La figure suivante nous permet de voir le résultat recherché, c'est-à-dire le calcul de la géodésique lumineuse émise à l'instant t₁ par la galaxie de gauche et reçue par la nôtre à l'instant présent t₀.

2.Cas avec k=0 et Λ=0:

On modélise ici les géodésiques dans un espace plat (k=0) avec une constante cosmologique nulle (Λ=0). Dans ce cas, le facteur d'échelle a une forme analytique :

Nous pouvons établir le système différentiel régissant le comportement des rayons lumineux. Celui-ci sera résolu numériquement par la méthode de Runge-Kutta. En calcul tensoriel, l'équation vérifiée par les géodésiques est la suivante (avec la convention de sommation d'Einstein) :

3.Système différentiel:

4.Résolution numérique:

Nous pouvons maintenant résoudre numériquement ce système grâce à la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4 avec pas adaptatif. Le projet initial développé durant ma premiére année de l'ENSPS a été codé en langage C. Nous nous servirons plus tard des solveurs "ode" de Matlab pour faciliter l'implémentation de cette modélisation.

Voici le source et le script gnuplot associé:

•    main.c


•    geo.gp

Concernant les conditions initiales dans l'algorithme de Runge-Kutta, nous nous apercevons que les dérivées initiales sont liées entre elles de par la définition même de la métrique FLRW. On peut ainsi écrire :

avec wp=(d(ct)/ds)₀, xp=(dr/ds)₀, yp=(dθ/ds)₀, zp=(dφ/ds)₀ et w=ct₀, x=r₀, y=θ₀, z=φ₀. On prend pour l'instant le cas simple où xp=-1 (ceci implique dr<0 quand ds>0), yp=0 et zp=0. A noter que wp ((d(ct)/ds)₀) sera choisi positif, ce qui signifie que d(ct)>0 quand ds croît. Nous verrons plus loin le cas où yp≠0. Pour ce qui est de t₀, r₀, θ₀, et φ₀, nous choisissons : t₀=2/(3H₀), r₀=3000, θ₀=pi/2, φ₀=pi/2.

5.Résultats:

Les graphiques suivants ont été produits avec une distance initiale de 3000 Mégaparsecs (1 parsec=3.262 années-lumière=3.10¹³km), soit environ 9.8 Milliard d'années-lumière.
Une fois l'exécution terminée, nous produisons le graphique geo_r.ps ("gnuplot geo.gp"). En abcisse est représenté le temps exprimé en Mégaparsec (attention à faire la conversion en années) et en ordonnée la distance toujours en Mégaparsec. La ligne continue est la trajectoire de la galaxie qui s'éloigne de la nôtre (suivant la loi de Hubble) et en pointillé la trajectoire du rayon lumineux arrivant vers nous.

Nous voyons que le rayon arrive dans notre galaxie au bout de 7160 Mpc, soit 23.35 milliard d'années. On peut remarquer aussi la légère incurvation de la trajectoire qui traduit, de par la définition même de la métrique FLRW, la courbure de l'espace-temps. Par la suite, la variable "r" se met à augmenter, ce qui traduit l'éloignement du rayon après avoir atteint l'origine de notre référentiel. La trajectoire est modifiée lorsque nous prenons (dθ/ds)₀≠0 :

On s'apercoit que le rayon se rapproche de nous dans un premier temps puis s'éloigne. Nous en concluons qu'une légère déviation initiale ((dθ/ds)₀=0.0001) ne permet pas à la lumière d'arriver dans notre référentiel, ce qui peut se comprendre de manière intuitive. Ceci est confirmé par la figure 4 où est représenté θ en fonction de ct:

θ varie de π/2 à 3π/2 mettant en évidence le passage de la lumière au voisinage de notre galaxie. Regardons maintenant le résultat obtenu en prenant (dθ/ds)₀=0 et (dφ/ds)₀≠0 :

La géodésique obtenue est la même que celle de la figure(3). On peut se rendre compte en effet qu'il y a une symétrie entre θ et φ dans le système différentiel quand on prend un de ces deux paramètres constant et l'autre variable et vice-versa. Ceci est validé par la courbe suivante qui est la même que celle montrée précédemment pour θ (cf Fig(4)).

6.Portage sur Matlab:

Portons à présent le code en Matlab qui dispose de solveurs déjà implémentés.

Le source Matlab est disponible ici :

geodesiques.m

7.Autre validation par résolution analytique:

Dans le cas particulier où nous choisissons (dθ/dt)=(dφ/dt)=0, de sorte que les rayons lumineux qui nous intéressent suivent des trajectoires radiales, nous n'avons pas à manipuler des intervalles angulaires et cette approche ne considérera que deux variables: r et t. Puisque pour des géodésiques, ds=0, on peut écrire :

8.Conclusion:

Nous avons ainsi pu étudier la propagation de la lumière dans un espace évoluant avec le temps. La mise en évidence du comportement non linéaire des rayons remet en question notre perception euclidienne des phénomèmes physiques à une échelle plus modeste que les distances que nous avons pu considérer jusque là.