La diffusion est un outil fondamental pour étudier un certain nombre de systèmes physiques. Dans une expérience de diffusion, les particules de différents états initiaux interagissent avec le système diffuseur et les caractéristiques de ces particules sont alors modifiées. Nous étudions ici les phénomènes chaotiques engendrés par le système diffuseur de Gaspard-Rice. On mettra en évidence les phénomènes fractals associés au chaos et l'on mesurera la dimension fractale du diffuseur.
Le système de Gaspard-Rice consiste à faire réflechir des particules assimilées à des points sur la surface de trois disques dans un plan à deux dimensions. Initialement, la particule arrive par la gauche parallèlement à l'axe Ox avec une ordonnée noté "b", c'est à dire la distance entre l'axe 0x et la trajectoire initiale. L'angle avec lequel la particule sort du système dépend de la valeur du paramètre "b" et nous écrivons θ=θ(b).

Pour quantifier autrement la nature de la diffusion chaotique, il est commode de compiler la dimension fratcale de la position des singularités dans la diffusion et les fonctions de temps de retard. La dimension d'une position peut être définie par la dimension de la boîte comptante (capacité). Pour compiler cette dimension fractale, nous couvrons la position avec une grille de boîtes de cotés de longueur ε. N(ε) est le nombre de boîtes qui ont été nécessaires pour couvrir l'ensemble de la position. Ensuite, N(ε) croît comme ε décroît, et typiquement varie comme N(ε) ∝ ε^-D₀, où D₀ est la dimension de la boîte comptante de la position. Plus rigoureusement, nous avons l'équation (1):

Cela peut facilement être vérifié que l'équation (1) produit la dimension correcte pour des positions conventionnelles telles qu'une droite et une zone finie dans le plan. Pour calculer la valeur de D₀ pour la position de singularités dans la fonction de diffusion, nous comptons simplement les boîtes qui ont été nécessaires pour couvrir les singularités à différentes échelles ε. La pente de la ligne ajustée sur le graphique de ln(N(ε) en fonction de ln(1/ε) est une estimation de la valeur de D₀. Pour obtenir une bonne adaptation, il faut faire varier ε. Une telle tâche est habituellement difficile parce que N(ε) croît considérablement comme ε décroît, et nous cherchons des méthodes alternatives pour calculer la dimension fractale.
Une dimension fractale plus commode à calculer qui est souvent utilisée pour caractériser la diffusion chaotique, est la dimension d'incertitude. La dimension d'incertitude a été d'abord introduite par Grebogi et al. pour caractériser les limites fractales d'une cuvette qui surviennent communément dans les systèmes chaotiques dissipatifs avec des attracteurs multiples. Il a été conjecturé que la dimension d'incertitude est égale à la dimension des boîtes comptantes pour des positions chaotiques typiques. La procédure pour calculer la dimension d'incertitude est la suivante :
pour un emplacement arbitraire sur la gauche de la région de diffusion (x₀ dans notre exemple), on choisit de façon aléatoire un paramètre d'impact b dans la figure 1. On fait ensuite une petite peturbation à cette condition initiale pour obtenir une condition initiale proche: b+ε. Les trajectoires de diffusion des particules originaires de ces deux conditions initiales sont calculées. Si le nombre de rebonds dans la région de diffusion expérimentée par les deux particules est le même, on appelle la premiè condition initiale à être "certaine" contre des petites pertubations. Ce comportement a lieu si la condition initiale est choisie dans la gamme où les fonctions de diffusion et de temps de retard sont réguliès. Voici un exemple sur les figures suivantes (b=0.21005 et b=0.21010):

Cependant, due à la présence de singularités dans ces fonctions, il peut arriver que deux conditions initiales proches aboutissent à des trajectoires qui se comportent très différemment. En particulier, le nombre de rebonds entre les disques durs différeront. On appelle de telles conditions initiales "incertaines" contre des petites pertubations. Ceci est illustré sur les figures suivantes (b=0.33005 et b=0.33010):

Nous voyons qu'au voisinage "b=0.33" des paramètres d'impact, une petite différence sur les conditions initiales donne une grande différence dans les trajectoires de sortie. Cette sensibilité sur les conditions initiales est une signature claire du chaos. Cette dépendance se produit pour de nombreux paramètres d'impact (en fait, un nombre infini). Ce comportement peut être vu dans la figure suivante où θ(b) est plotté sur 100000 points de b dans l'intervalle 0 < b <0.5.

On peut distinguer à la fois des zones continues et des parties oscillantes. Ce double caractère se répète sur des échelles plus petites. La figure suivante montre que le comportement de θ pour 0.383 < b < 0.391 est similaire au comportement montré sur la figure précédente.

Pour une pertubation ε donnée, on peut calculer la fraction de conditions initiales incertaines f(ε) pour plusieurs conditions initiales choisies aléatoirement. Dans notre expérience numérique, f(ε) a éé obtenue en accumulant 200 conditions initiales incertaines parmi un total de N conditions initiales, ce qui donne, f(ε)=200/N. Comme ε décroît, on s'attend à ce que f(ε) aussi. Dans la plupart des situations physiques, f(ε) varie avec ε comme : f(ε) ∝ ε^α où α est l'exposant d'incertitude. La dimension de la position fractale est donnée par : D=1-α. Intuitivement, obtenir le nombre de conditions initiales incertaines pour des pertubations de diffénts ordre d'ampleur est équivalent à compter le nombre de singularités dans les fonctions de diffusion et de temps de retard pour différentes échelles. Nous nous attendons donc à que la dimension d'incertitude soit une bonne approcimation de la dimension des boîtes comptantes. L'algorithme d'incertitude offre un bon avantage de calcul parce qu'il requiert relativement peu de mémoire en comparaison à la procédure des boîtes comptantes. La figure 6 montre la fraction f(ε) d'incertitude en fonction de la perturbation ε sur une échelle logarithmique, où ε varie par sept ordre de grandeurs. Le graphique peut être assez bien ajusté par une ligne droite, la pente de celle-ci est α=0.390+-0.007. On conclue que la dimension fractale de la position des singularités dans les fonctions de diffusion et de temps de retard est D=1-α=0.610+-0.007.